Предмет начертательной геометрии.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ДИСЦИПЛИНЫ

«НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА»

Направление подготовки: 110800 «Агроинженерия»

Профили: «Технические системы в агробизнесе», «Электрооборудование и электротехнологии», «Технический сервис в агропромышленном комплексе»

Кафедра: Механики и инженерной графики

Кинель 2013

Лекция №1

Начертательная геометрия как наука. Методы проецирования. Чертёж Монжа. Точка. Образование чертежа на двух и трёх плоскостях проекций. Координатный метод задания точки на чертеже. Конкурирующие точки, их видимость.

План лекции.

1. Введение.

2. Предмет начертательной геометрии.

3. Образование проекций.

4. Эпюр Монжа. Система двух плоскостей проекций

5. Система трех плоскостей проекций.

6. Координатный способ построения эпюра.

7. Конкурирующие точки.

1.1. Введение.

Начертательная геометрия – это одна из основных дисциплин общеинженерного цикла. Она представляет для изучения методы точного изображения пространственных объектов на плоскости, а так же выявление геометрических форм фигур по заданным изображениям. То есть данная дисциплина призвана дать будущим инженерам знания и умения по построению и чтению чертежей.

Вызывая усиленную работу пространственного мышления студентов, начертательная геометрия способствует развитию пространственного представления. В начертательной геометрии плоское изображение пространственного объекта называется эпюром (чертежом).

Студенты, изучающие начертательную геометрию знакомятся с примерами практического использования теоретических положений начертательной геометрии в курсовом и дипломном проектировании.

Студент должен знать:

· аппарат проецирования для получения различных проекций геометрических объектов;

· классификацию геометрических объектов, способы формообразования, названия фигур и элементов этих фигур.

Студент должен уметь:

· решать задачи геометрического характера (позиционные, метрические) с использованием графических методов начертательной геометрии;

· производить анализ и синтез форм объектов посредством геометрических примитивов.

Предмет начертательной геометрии.

Начертательная геометрия является теоретической основой построения технических чертежей, которые представляют собой полные графические модели конкретных инженерных изделий. Она имеет свою цель, метод и содержание.

Целью начертательной геометрии является изучение пространственных форм объектов окружающего нас мира и взаимоотношений этих форм, познание соответствующих закономерностей и применение их к решению практических задач.

Основным средством изучения геометрических свойств предметов в начертательной геометрии является изображение. Однако не всякое изображение может быть принято для изучения геометрических свойств предметов. Существуют изображения предметов, которые являются лишь иллюстрационным, дополнительным материалом и не соответствуют полностью геометрическим формам объектов, не отражают геометрических свойств предметов.

Для изучения геометрических свойств предмета необходимо иметь такое его изображение, по которому можно определить все геометрические элементы изображаемого оригинала. Изображение, по которому можно определить взаимопринадлежность или позиционную взаимосвязь элементов объекта называют полным изображением. Если же по изображению можно еще и определить размеры объекта, то изображение является метрически определенным. Полное изображение должно быть основано на взаимно однозначном соответствии точек оригинала точкам изображения, что достигается проецированием первых во вторые и возможностью восстановления по вторым первых. Изображение, полученное при помощи операции проецирования, называется проекцией предмета. Слово «проекция» произошло от латинского слова «projicere» – метать, а проецированием называется операция проведения («метания») из некоторой точки (центра проецирования) проецирующих лучей через точки изображаемого предмета. Геометрическое место точек пересечения этих лучей с плоскостью и является проекционным изображением или проекцией предмета.

Проекционный метод построения изображений является основным методом начертательной геометрии. В результате применения этого метода можно пользоваться проекционными свойствами фигур и на проекционном изображении – графически оформлять геометрические задачи и их решения.

Проекционное изображение, по которому можно восстановить предмет, является чертежом. Чертеж отличается от других изображений тем, что он построен по правилам начертательной геометрии и в соответствии с этими правилами позволяет определять геометрические свойства изображенного предмета.

Чертежи имеют большое значение в жизни общества, это подтверждается широким их применением в конструкторских работах, в машиностроении, в архитектуре, в графических задачах механики и т.д. Без знания правил выполнения чертежа нельзя читать чертежи, имеющихся конструкций, и создавать чертежи новых машин и приборов.

Создатель первого систематического труда по начертательной геометрии французский ученый и инженер Гаспар Монж говорил: «Чертеж является языком техники», к чему русский профессор В. И. Курдюмов добавил, что начертательная геометрия является грамматикой этого языка. Однако, как показал опыт, значение начертательной геометрии несравненно шире.

Изучение и применение начертательной геометрии значительно способствует развитию пространственных представлений и воображения человека, а так же развитию его логических рассуждений. Умение же мысленно представлять предметы в их взаимном расположении имеет большое значение в творческой деятельности человека. Изучение начертательной геометрии,способствующее развитию пространственного мышления,делает возможным представлять геометрические образы по их изображению. Поэтому ни одна задача начертательной геометрии не решается механически.

Цель и метод начертательной геометрии определяют ее содержание.

Содержанием или предметом начертательной геометрии являются: исследования способов построения проекционного изображения пространственных форм на плоскости, исследования графических способов решения геометрических задач по заданным изображениям и приложение способов начертательной геометрии к исследованиям практических и теоретических задач науки и техники.

Образование проекций.

Двумя основными видами проецирования являются:

1. центральное проецирование;

2. параллельное проецирование.

Для получения центральных проекций надо задаться плоскостью проекций и центром проекций – точкой, не лежащей в этой плоскости (рис.1: плоскость – π₀ , точка – О).

Рис.1

Взяв некоторую точку А и проведя через О и А прямую линию до пересечения ее с плоскостью π₀, получим точку А′. Так же поступаем с точкой В. Точки А′ и В′ являются центральными проекциями точек А и В на плоскости π₀ , они получаются в пересечении проецирующих лучей ОА и ОВ с плоскостью проекций.

Призаданных плоскости проекций и центре проекций можно построить проекцию точки; но имея проекцию, нельзя по ней определить положение самой точки в пространстве. Так как любая точка проецирующей прямой ОС проецируется в одну и ту же точку на плоскость проекций π₀ (А′ ≡ В′ ≡ С′), (≡ знак совпадения), см. рис. 2.

В подобных случаях, для единственного решения необходимы дополнительные условия.

Рис.2

Проекцию линии можно построить, проецируя ряд ее точек (рис. 3). При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют коническую поверхность или могут оказаться в одной плоскости (например, при проецировании прямой линии, не проходящей через центр проекций, или кривой линии, все точки которых лежат в плоскости, совпадающей с проецирующей).

Проекция линии получается в пересечении проецирующей поверхности с плоскостью проекций (рис.3). Но как показывает рис.4, проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей поверхности можно разместить ряд линий, проецирующихся в одну и ту же линию на плоскости проекций.

Рис.3 Рис. 4

Рассмотрим теперь способ проецирования, называемый параллельным. Условимся считать все проецирующие прямые параллельными. Для их проведения должно быть указано некоторое направление (рис. 5). И такпостроенные проекции называются параллельными.

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, если принять, что центр проекций бесконечно удален.

Параллельной проекцией точки называется точка пересечения прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций.

Рис.5

Чтобы получить параллельную проекцию некоторой линии, можно построить проекции ряда ее точек и провести через эти проекции линию. При этом проецирующие прямые в своей совокупности могут образовать цилиндрическую поверхность, поэтому параллельные проекции также называют цилиндрическими.

В параллельном проецировании так же как и в центральном:

1) для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случае служит плоскость и поэтому прямая линия проецируется в виде прямой;

2) каждая точка и линия в пространстве имеют единственную свою проекцию;

3) каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общая для них проецирующая прямая;

4) каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества линий, если они расположены в общей для них проецирующей плоскости;

5) для построения проекций прямой достаточно спроецировать две ее точки и через полученные проекции этих точек провести прямую линию;

6) если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит

проекции этой прямой;

7) если прямая параллельна направлению проецирования, то проекцией прямой является точка;

8) отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную свою величину.

Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом случае направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол, не равный 90^о во втором случае проецирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций (рис. 6).

Рис.6

На рис. 6 изображены: π₀ – плоскость проекций;А – точка в пространстве;S – направление проецирования (S_┴ π₀);А′ - ортогональная проекция точки А;

Простота построений и свойств параллельных проекций, обеспечивающие сохранение натуральных размерных соотношений, объясняют широкое применение параллельного проецирования.

Рис. 8 Рис. 9

При наличии на чертеже оси проекций «х» положение точки А относительно плоскостей проекций π ₁ и π ₂ установлено и отрезок А′А_х выражает расстояние точки А от плоскости проекций π ₂, а отрезок А′′А_х – расстояние точки А от плоскости проекций π ₁.

Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций.

В системе π ₁, π ₂ пространство разделено на четыре четверти – I,II, III, IV (рис. 10).

Рис. 10

Рис. 11

Помимо оси проекций x, появляются еще оси z и y, перпендикулярные к оси «x». Буквой О обозначена точка пересечения всех трех осей проекций.

На рисунке 11 показана схема совмещения плоскостей π ₁, π ₂ и π ₃ в одну плоскость.

Построим пространственную модель и чертеж точки А, содержащие горизонтальную, фронтальную и профильную проекции этой точки (рис. 12, рис.13).

Рис. 12 Рис. 13

Построение А′ и А′′ аналогично рассмотренному на рисунке 7, затем из точки А проводят проецирующий луч S₃ перпендикулярно к π ₃ до пересечения с ней, в результате чего, получают профильную проекцию точки А, обозначаемую А′′′. Выполняя построение эпюра (чертежа) точки А в трех проекциях, плоскость π ₁ поворачивают вокруг оси x до совмещения с π ₂; плоскость π ₃ поворачивают вокруг оси z так же до совмещения с π ₂ (рис. 12).

Эпюр точки А в трех проекциях дан на рисунке 13.

Рис. 14

Плоская модель пространственного макета восьми октантов пространства показана на рисунке 15.

Рис. 15

Данная плоская модель пространственного макета несет такую же информацию, что и пространственный макет.

Данная координатная система является наиболее удобной для фиксирования положения геометрической фигуры в пространстве и выявления формы предмета по ортогональным (прямоугольным) проекциям.

Эта система называется декартова система координат, по имени французского математика и философа Декарта (1596 – 1650), предложившего эту систему.

Таблица 1.1.

Знаки координат в октантах

Например, точка А (-30; +15; -25) находится в восьмом октанте, выполним эпюр этой точки. Совмещение плоскостей производится согласно рисунка14, т.е. плоскость π ₃ поворачивается против часовой стрелки, вращаясь вокруг оси z; плоскостьπ₁ вращается вокруг оси x.

Эпюр данной точки А выполнен на рисунке 16.

Рис. 16

Горизонтальную проекцию точки А задают координаты - x и y; фронтальную проекцию задают координаты -x, z; профильную проекцию – координаты -y, z; А′(-20; 15); А′′ (-20; -25); А′′′(15; -25);

Конкурирующие точки

Точки, которые расположены на одном и том же проецирующем луче, т.е. одноименные проекции которых совпадают, называют конкурирующими.

а) горизонтально -конкурирующие точки (рис. 17, 18);

Рассмотрим точки А и В, расположенные на одном проецирующем луче S₁ (S_1┴ π ₁). Горизонтальные проекции этих точек совпадают (А'≡В').

Рис. 17 Рис. 18

Точка А закрывает собой точку В при проецировании на плоскость проекций π ₁, поэтому ее горизонтальная проекция будет видима, а у точки В – невидима.

б) фронтально – конкурирующие точки (рис. 19, 20);

Рассмотрим точки С и D, расположенные на одном проецирующем луче S₂ (S_2┴ π ₂). Фронтальные проекции этих точек совпадают (C''≡D'').

Рис. 19 Рис. 20

Точка D закрывает собой точку С по отношению к плоскости проекций π ₂,поэтому на фронтальной проекции точка С будет невидима, а точка D – видима.

в) профильно – конкурирующие точки (рис. 21,22);

Рассмотрим точки Е и F, расположенные на одном проецирующем луче S₃(S_3┴ π ₃). Профильные проекции этих точек совпадают (E'''≡F''').

Рис. 21 Рис. 22

Точка Е закрывает собой точку F по отношению к плоскости проекций π ₃, поэтому на профильной проекции точка Е будет видима, а точка F – невидима.

Контрольные вопросы

1.Значение начертательной геометрии в решении инженерно-технических задач.

2. Назовите виды проецирования.

3. В чем заключается способ образования эпюра Монжа?

4. Как образуется система трех плоскостей проекций?

5. В чем сущность координатного способа построения эпюра точки?

6. Что позволяют определять конкурирующие точки?

Рекомендуемая литература

1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.

1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2009. – 272 с.:ил.

4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.

Лекция №2

Прямая. Точка на прямой. Задание и изображение чертежа. Следы прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное расположение двух прямых. Безосный чертёж.

План лекции.

1. Проекции прямой.

2. Положения прямой относительно плоскостей проекций.

3. Точка на прямой.

4. Построениенатуральной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника

5. Взаимное расположение прямых.

6. Следы прямой.

7. Безосный чертёж.

Проекции прямой

При ортогональном проецировании на плоскость прямая, не перпендикулярная плоскости проекций, проецируется в прямую. В противоположном случае она спроецируется на плоскость в точку.

Для определения проекций прямой достаточно знать проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.

Допустим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А и В. Проведя через одноименные проекции этих точек прямые линии, получим проекции отрезка АВ в системе π ₁, π ₂ (рис. 1).

А′′ В′′ - фронтальная проекция отрезка прямой АВ; А′В′ - горизонтальная проекция отрезка прямой АВ.

Рис. 1

Можно утверждать, что такой чертеж (рис. 1) выражает отрезок прямой линии АВ, т.к. если представить себе, что через А′ В′ и через А′′ В′′ проведены проецирующие плоскости (т.е. перпендикулярные соответственно к π ₁ и к π ₂), то в пересечении этих плоскостей получается прямая и ее отрезок АВ (рис.2).

Рис. 2

Проекции прямой могут быть заданы положением относительно осей проекций.

Проекции заданных таким образом прямых обозначаются малыми латинскими буквами (рис. 3).

а ′′- фронтальная проекция прямой а; а ′ - горизонтальная проекция прямой а.

Рис. 3

Горизонтальная прямая

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной. На рисунках 4, 5 изображен отрезок прямой АВ║ π ₁.

Рис. 4 Рис. 5

Следует отметить:

а) горизонтальная проекция горизонтальной прямой равна длине самого отрезка (А′В′ = [AB]);

б) фронтальная проекция горизонтальной прямой параллельна оси проекций «х». Если, например, А″В″ совпадает с осью проекций х, то это соответствует положению отрезка АВ в плоскости проекций π ₁;

в) угол, образованный горизонтальной проекцией прямой и осью «х», равен углу наклона этой прямой к фронтальной плоскости проекций

(А′В′; х=[AB]; π ₂=<α^o).

Фронтальная прямая

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной. На рисунках 6, 7 изображен отрезок прямой CD║ π ₂.

Рис. 6 Рис. 7

Для фронтальной прямой следует отметить:

а) фронтальная проекция этой прямой равна длине самого отрезка (С″D″=[CD]);

б) горизонтальная проекция фронтальной прямой параллельна оси х (С′D′║х); Если, например, С′D′ совпадает с осью проекций х, то это соответствует положению CD в пл. π ₂.

в) угол, образованный фронтальной проекцией прямой и осью х, равен углу наклона этой прямой к горизонтальной плоскости проекций

(С″D″; х = [CD]; π ₁ = <β^о).

Профильная прямая

Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной. На рисунках 8, 9 изображен отрезок прямой EF║ π ₃.

Рис. 8 Рис. 9

Для профильной прямой характерно:

а) профильная проекция этой прямой равна длине самого отрезка (E″′F″′=[EF]);

б) горизонтальная и фронтальная проекции профильной прямой располагаются на одном перпендикуляре к оси проекций х;

в) Е′′′F′′′; у = [EF]; π ₁= <α^о. Е′′′F′′′; z = [EF]; π ₂= <β^о

Прямые, параллельные одной плоскости проекций, т.е. горизонтальные, фронтальные и профильные называются прямыми уровня.

Рис. 10 Рис. 11

У горизонтально - проецирующей прямой проекция на горизонтальную плоскость проекций представит собой точку. На фронтальную и профильную плоскости проекций она спроецируется в отрезки прямых, параллельных между собой и равных по длине самому отрезку (M″N″≡ M″′N″′=[MN]).

Рис.12 Рис.13

У фронтально-проецирующей прямой проекцией на фронтальную плоскость будет являться точка. На горизонтальную и профильную плоскости проекций она спроецируется в отрезки, равные по длине самому отрезку прямой (K′ L′ = K′′′ L′′′ = [KL]).

Рис. 14 Рис. 15

У профильно-проецирующей прямой проекция на профильную плоскость проекций представит собой точку. На горизонтальную и фронтальную плоскости она спроецируется в отрезки прямых, параллельных между собой и равных по длине самому отрезку (G′F′=G′′F′′=[GF]).

Прямые, параллельные двум плоскостям проекций и перпендикулярные к третьей называются проецирующими.

Прямые уровня и проецирующие называют прямыми частного положения.

Прямая общего положения

Прямая, непараллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. На рисунках 16, 17 изображен отрезок прямой ВС – общего положения.

Рис. 16 Рис. 17

У прямой общего положения ни одна из проекций не параллельна оси проекций и не перпендикулярна к ней. Каждая из проекций меньше самого отрезка, (В′С′<ВС, В′′С′′<ВС, В′′′С′′′<ВС).

Точка на прямой

Если известно, что точка принадлежит прямой (например, точка С принадлежит прямой АВ), то горизонтальная проекция точки находится на горизонтальной проекции данной прямой, фронтальная проекция этой точки находится на фронтальной проекции прямой (рис. 18, 19).

Рис. 18 Рис. 19

На рисунке 20 показано построение точки на профильной прямой. Положим, что дана фронтальная проекция этой точки (С′′), надо найти ее горизонтальную проекцию (С′).

Построение горизонтальной проекции выполнено при помощи профильной проекции отрезка прямой АВ. Ход построения показан стрелками. Сначала определена профильная проекция точки С, а по ней найдена искомая проекция – С′ (рис. 20).

Рис. 20

Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рис. 21).

Рис. 21

, так как прямые АА′, СС′, ВВ′ параллельны между собой. Аналогично отношение отрезков на проекции прямой линии равно отношению отрезков на этой прямой. Следует, что на рисунке 44 деление проекций А′′В′′ и А′В′ точками С′′ и С′ соответствует делению в пространстве отрезка прямой АВ точкой С в том же отношении.

На рисунке 46 показано деление отрезка прямой СD общего положения в отношении 2:5. Из точки С′ проведена вспомогательная прямая, на которой отложено семь отрезков произвольной длины, но равных между собой. Проведя отрезок D′7 и параллельно ему через точку 2 прямую, получаем точку К′, причем С′К′:К′Д′= 2:5; затем находим К′′.

Точка К делит отрезок СD в отношении 2:5 (рис. 22).

Рис. 22

Рис. 25

Если даны параллельные между собой проекции прямых лишь на двух плоскостях проекций, то параллельность прямых в пространстве этим подтверждается всегда для прямых общего положения (рис. 25), но может не подтвердиться для прямых уровня (рис. 26).

Рис. 26 Рис. 27

Профильные прямые АВ и СDна рисунке 26 заданы проекциями А′В′║С′D′ и А′′В′′║С′′D′′, но построенные профильные проекции этих прямых не подтверждают параллельность прямых в пространстве.

В случае, изображенном на рисунке 27, параллельные прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций π ₁, поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой.

1) Пересекающиеся прямые (а∩в)

Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых.

Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения, независимо от того, даны ли проекции на трех или двух плоскостях проекций(рис. 28).

Необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения одноименных проекций находились на одном и том же перпендикуляре к оси проекций или на чертеже без осей проекций, эти точки оказались бы на линии связи, установленного для нее направления.

Рис. 28

Рис. 29

Если одна из данных пересекающихся прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, а на чертеже не даны проекции прямых на этой плоскости, то нельзя утверждать, что прямые пересекаются между собой в пространстве. Это может быть подтверждено построением недостающих проекций (рис. 29).

Прямые а и в на рисунке 29 не пересекаются (а ∩ в), это видно по расположению профильных проекций этих прямых.

2) Скрещивающиеся прямые (а ÷ в)

 

Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой. На рис. 30 изображены две скрещивающиеся прямые а и в общего положения.

Рис. 30

 

Хотя одноименные проекции прямых а и в пересекаются между собой, но эти точки представляют собой проекции двух точек, из которых одна принадлежит прямой а, другая прямой в. Так точки К и N принадлежат прямой а, точки М и L принадлежат прямой в. В данном примере на рис.30имеют место фронтально – конкурирующие точки – М и N, а К и L – горизонтально – конкурирующие. Точка М закрывает собой точку N по отношению к плоскости проекций π ₂, а по отношению к плоскости π ₁ точка К закрывает собой точку L. Направление взгляда указано стрелками.

Если хотя бы одна из скрещивающихся прямых параллельна профильной плоскости проекций, то о взаимном расположении прямых можно судить по изображению прямых на профильной плоскости проекций.

 

Следы прямой

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой.

Точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций называется фронтальным следом прямой.

Точка пересечения с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным следом прямой.

На рисунке 31 показаны точки Н и F, в которых прямая, заданная отрезком АВ пересекает плоскости проекций π ₁ и π ₂.

Горизонтальная проекция Н′ горизонтального следа Н совпадает с этим следом, а его фронтальная проекция Н′′ лежит на оси проекций х.

Фронтальная проекция F′′ фронтального следа F совпадает с этим следом, а его горизонтальная проекция F′ лежит на той же оси проекций – х.

Рис. 31

 

Чтобы найти горизонтальный след прямой АВ, надо продолжить фронтальную проекцию А′′В′′ до пересечения с осью «х» и через найденную фронтальную проекцию Н′′ горизонтального следа Н, провести линию связи проекций Н′′ и Н′ до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А′В′, что определит горизонтальную проекцию Н′ горизонтального следа Н, которая совпадает с самим следом (H′≡H), (рис. 32).

Рис. 32

 

Для нахождения фронтального следа продолжаем горизонтальную проекцию А′В′ до пересечения с осью х и найденную горизонтальную проекцию F′ фронтального следа F проводим линию связи проекций F′ и F′′ до пересечения с продолжением фронтальной проекции А′′В′′, что обозначит фронтальную проекцию F′′ фронтального следа F, которая совпадает с самим следом (F′′≡F).

Если плоскости проекций принять за плоскости координат, то у горизонтального следа прямой координата z = 0, у фронтального следа – у = 0.

По положению точек Н и F можно судить, к каким четвертям пространства отнесена данная прямая. На рисунке 32прямая АВ проходит через, I, II, IV четверти.

Прямая не имеет следа на плоскости проекций в том случае, когда она параллельна этой плоскости.

Безосные чертежи

 

Пусть дан некоторый отрезок прямой АВ, отнесенный к системе плоскостей π ₁ и π ₂. По чертежу этого отрезка (рис. 33) можно судить о его расположении относительно системы плоскостей; наличие оси х фиксирует это.

Пусть горизонтальная плоскость проекций π ₁ будет приближена к неподвижному отрезку АВ, соответственно ось х займет некоторое положение х₁, при этом ни длина, ни положение, относительно линий связи проекций А′В′ и А′′В′′ не изменятся (рис. 33).

Приближение (ось х₂ на рис. 33) фронтальной плоскости проекций π ₂ или удаление (ось х₁ на рис. 33) горизонтальной плоскости проекций π ₁ от отрезка не отразится на проекциях этого отрезка прямой АВ.

Следовательно, удаление или приближение к отрезку прямой плоскостей проекций параллельно самим себе не изменяет проекций этого отрезка. Поэтому на чертежах во многих случаях можно отказаться от изображения оси х (рис. 34).

 

 

Рис. 33 Рис. 34

 

По безосному чертежу нельзя определить расстояния концов отрезка, точек А и В, до плоскостей проекций π ₁ и π ₂, так как положение π ₁ и π ₂ не зафиксировано, хотя их направления известны, как соответственно перпендикулярные линиям связи. По такому чертежу можно судить о разности расстояний точек А и В до плоскостей проекций, следовательно, о взаимном расположении, например, отдельно взятых отрезков прямых.

Контрольные вопросы

1. Как могут быть заданы проекции прямой на эпюре?

2. Сколько положений может занимать прямая линия относительно плоскостей проекций?

3. В чем заключена сущность метода прямоугольного треугольника?

4. Назовите признак параллельности прямых на эпюре.

5. Всегда ли подтверждается признак параллельности двух прямых на эпюре?

6. Каково необходимое и достаточное условие на эпюре признака пересекающихся прямых?

7. Что характерно на эпюре для скрещивающихся прямых?

8. Сколько следов имеют проецирующие прямые, прямые уровня, прямые общего положения?

9. О чем можно судить на безосном чертеже прямой линии?

 

Рекомендуемая литература

1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.

1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2009. – 272 с.:ил.

4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.

Лекция №3

Плоскость. Задание плоскости на чертеже. Следы плоскости. Положение плоскости относительно плоскостей проекций. Точка и прямая в плоскости. Главные линии плоскости.

План лекции

1. Способы задания плоскости на эпюре.

2. Следы плоскости.

3.Положения плоскости относительно плоскостей проекций.

4. Прямая в плоскости.

5. Точка в плоскости.

6. Главные линии плоскости.

3.1. Способы задания плоскости на эпюре

Положение плоскости в пространстве определяется:

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линии(рис. 1);

 

Рис. 1

 

б) прямой линией и точкой взятой вне прямой(рис. 2);

 

Рис. 2

 

в) двумя пересекающимися прямыми(рис. 3);

 

Рис. 3

 

г) д

12345678910Следующая ⇒

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: