Практикум по лабораторным работам

Изучение нормального закона распределения

Приобретение студентами навыков обработки выборочных совокупностей, изучение этапов статистической обработки, определять числовые характеристики выборки, строить гистограмму, вычислять доверительный интервал, сделать оценку достоверности и объема выборки.

Экспериментально получить выборочную совокупность путем измерения ряда сопротивлений. Нормировать полученный ряд. Определить статистические параметры и характеристики выборки. Построить гистограмму и оценить репрезентативность выборки.

Измерительный макет из сорока сопротивлений одного номинала, соединительные провода, многопредельные цифровые мультимеры типа DT- 838.

1. Что такое закон распределения случайных величин? Каковы формы задания закона распределения?

2. Что такое случайная величина? Дискретная и непрерывная случайная величина. (Ответ поясните примерами)

3. Что такое вероятность случайного события? (Определение, формула). Чему равна вероятность достоверного, невозможного и случайного события? (Ответ поясните примерами)

4. Закон сложения вероятностей случайных величин. Когда применим этот закон? (Приведите пример)

5. Закон умножения вероятностей случайных величин, когда применим этот закон? (Приведите пример).

6. Плотность вероятности. Напишите формулу плотности вероятности, нарисуйте график плотности в зависимости от величины среднеквадратичного отклонения, сделайте пояснения.

7. Приведите формулу функции нормального распределения случайной величины и сделайте пояснения.

8. Что такое нормальный закон распределения случайных величин? (Ответ поясните графиком и примерами)

9. Что такое точечная оценка распределения? (Определение). Приведите формулы числовых характеристик выборочной совокупности.

10. Какова надежность полученного результата, если расчетное значение критерия Стьюдента tpac.=2.3 при объеме выборки n=20? Что нужно сделать для того, чтобы повысить надежность результата?

11. Что такое интервальная оценка распределения? Когда применяется интервальная оценка? Доверительный интервал. (Определение, формула)

12. Приведите числовые характеристики выборочной совокупности. (Формулы, сделайте пояснения).

13. Что такое выборка? Основные требования к выборке, способы отбора. (Сделайте пояснения)

14. Что такое доверительная вероятность? Как с заданной надежностью оценить значение генеральной средней по показателям выборки? (Приведите формулы и сделайте пояснения).

15. Что такое распределение Стьюдента? Приведите формулы для расчета выборочной средней и среднеквадратического отклонения, сделайте пояснения.

16. Функция распределения. Основные свойства функции. Графическое изображение функции распределения.

17. Что такое гистограмма? Каковы правила ее построения?

18. Коэффициент Стьюдента. (Определение, формула). Зависимость коэффициента Стьюдента от надежности и объема выборки.

Для анализа статистических характеристик некоторой генеральной совокупности, мы пользуемся, как правило, информацией о выборке. Когда врач хочет получить представление о составе и состоянии крови пациента, он проводит анализ небольшой выборки крови. Любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Работники здравоохранения постоянно имеют дело с информацией, базирующейся на ограниченных выборках. Поэтому они должны хорошо представлять себе границы надежности анализа информации на основе выборочных данных.

В биологической и медицинской статистике часто приходится исследовать распределение того или иного признака для весьма большой совокупности индивидуумов, образующих статистический коллектив (таким признаком может быть, например, содержание белка в зерне пшеницы, вес новорожденного ребенка, период колебаний маятника и т.д.). Данный признак является случайной величиной, значение которой от индивидуума к индивидууму меняется. Однако, для того чтобы составить представление о распределении этой случайной величины или о ее важнейших характеристиках, нет необходимости обследовать каждый объект данной обширной (генеральной) совокупности, а можно обследовать некоторую выборку достаточно большого объема для того, чтобы в ней были выявлены существенные черты изучаемого распределения.

Статистическая совокупность представляет собой множество объектов, однородных относительно признака, характеризующего эти объекты.

Генеральной совокупностью называется совокупность, состоящая из всех объектов, которые могут быть охарактеризованы некоторой величиной X. Теоретически это бесконечно большая или приближающаяся к бесконечности совокупность. Число объектов генеральной совокупности называют ее объемом и обозначают N.

Выборочной совокупностью или выборкой называется множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Число объектов выборки называют ее объемом и обозначают n.

Для того чтобы свойства выборки достаточно хорошо отражали свойства генеральной совокупности, выборка должна быть осуществлена случайно, то есть все объекты должны иметь одинаковую вероятность попасть в выборку.

Поскольку на практике приходится иметь дело с ограниченным количеством экспериментальных данных, то результаты наблюдений и их обработки содержат больший или меньший элемент случайности.

Характеристики статистического распределения выборки применяются для оценки неизвестных параметров теоретического распределения вероятностей.

Различают точечные оценки случайной величины (одним числом) и интервальные (оценивание параметра совокупности в виде интервала).

Генеральная средняя равна математическому ожиданию случайной величины:

Выборочная средняя

_в — среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности X₁ X₂,..., Х_n_.

Генеральная средняя

_г — среднее арифметическое значение признака X₁, Х₂,..., Х_n генеральной совокупности.

Выборочная средняя Х_в — среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности X₁X₂,..., Х_n, то есть

Генеральная средняя Х_г — среднее арифметическое значение признака X₁, Х₂,..., Х_nгенеральной совокупности, т.е. Генеральная дисперсия:

Точечные оценки. За оценку неизвестного значения μ измеряемой величины принимается выборочная средняя:

За оценку генеральной дисперсии Dпринимается (при малом обьеме выборки n<30 nберется как число степеней свободы (n-1)) значение исправленной выборочной дисперсии σ²в:

Интервальная оценка математического ожидания (доверительный интервал для математического ожидания случайной величины, распределенной по нормальному закону, при неизвестном σ).

Пусть случайная величина Xимеет нормальное распределение, причем неизвестны μ и σ.

В ряде задач требуется не только найти для параметра μ подходящее численное значение, но и оценить его точность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра μ его точечной оценкой Х_в, и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы.

Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна и приближенная замена может привести к серьезным ошибкам.

Чтобы дать представление о точности и надежности в математической статистике пользуются так называемыми доверительным интервалом и доверительной вероятностью.

Разные выборки дадут разные оценки. Пусть для параметра μ получена из некоторого опыта точечная оценка Х_в. При этом, заменяя μ на Х_в, мы совершаем некоторую ошибку.

В теории математической статистики показывается, что с заданной вероятностью γ неизвестное значение μ случайной величины попадает в определенный интервал:

Вероятность γ принято называть доверительной вероятностью. С такой вероятностью мы «доверяем» результату. Величина γ выбирается самим исследователем самостоятельно, например,

γ = 0,95; 0,99 и т.п.

Иногда говорят, что с заданной вероятностью, а доверительный интервал накрывает точку μ.

Величина

Х — полуширина доверительного интервала. Точки Х_в+

Х и Х_в —

Х — границы доверительного интервала.

Величины Х_в и

Х вычисляются на основе экспериментальных данных.

Допустим, случайная величина подчиняется нормальному закону распределения.

В эксперименте получены ее значения: X_1, X₂,... Х_n.

Если объем выборки невелик, (n < 30), то полуширина доверительного интервала для оценки неизвестного математического ожидания в этом случае вычисляется по формуле:

где t_γ _n — коэффициент Стьюдента, значение которого зависит от доверительной вероятности γ и от объема выборки n. Его значения приведены в специальной таблице (приложение).

Тогда доверительный интервал для μ можно представить как:

Таким образом, математическое ожидание μ находится в доверительном интервале:

Чем выше мы задаем вероятность γ, тем шире становится доверительный интервал. И, наоборот, чем меньше γ, тем уже интервал.

При увеличении объема выборки ширина интервала уменьшается.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: