Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Практикум по лабораторным работам





 

Работа №1.

Лабораторная работа 21

Тема занятия

Изучение нормального закона распределения

Цели работы

 

Приобретение студентами навыков обработки выборочных совокупностей, изучение этапов статистической обработки, определять числовые характеристики выборки, строить гистограмму, вычислять доверительный интервал, сделать оценку достоверности и объема выборки.

Экспериментально получить выборочную совокупность путем измерения ряда сопротивлений. Нормировать полученный ряд. Определить статистические параметры и характеристики выборки. Построить гистограмму и оценить репрезентативность выборки.

 

Приборы и принадлежности

Измерительный макет из сорока сопротивлений одного номинала, соединительные провода, многопредельные цифровые мультимеры типа DT- 838.

Вопросы к занятию

1. Что такое закон распределения случайных величин? Каковы формы задания закона распределения?

2. Что такое случайная величина? Дискретная и непрерывная случайная величина. (Ответ поясните примерами)

3. Что такое вероятность случайного события? (Определение, формула). Чему равна вероятность достоверного, невозможного и случайного события? (Ответ поясните примерами)

4. Закон сложения вероятностей случайных величин. Когда применим этот закон? (Приведите пример)

5. Закон умножения вероятностей случайных величин, когда применим этот закон? (Приведите пример).

6. Плотность вероятности. Напишите формулу плотности вероятности, нарисуйте график плотности в зависимости от величины среднеквадратичного отклонения, сделайте пояснения.

7. Приведите формулу функции нормального распределения случайной величины и сделайте пояснения.



8. Что такое нормальный закон распределения случайных величин? (Ответ поясните графиком и примерами)

9. Что такое точечная оценка распределения? (Определение). Приведите формулы числовых характеристик выборочной совокупности.

10. Какова надежность полученного результата, если расчетное значение критерия Стьюдента tpac.=2.3 при объеме выборки n=20? Что нужно сделать для того, чтобы повысить надежность результата?

11. Что такое интервальная оценка распределения? Когда применяется интервальная оценка? Доверительный интервал. (Определение, формула)

12. Приведите числовые характеристики выборочной совокупности. (Формулы, сделайте пояснения).

13. Что такое выборка? Основные требования к выборке, способы отбора. (Сделайте пояснения)

14. Что такое доверительная вероятность? Как с заданной надежностью оценить значение генеральной средней по показателям выборки? (Приведите формулы и сделайте пояснения).

15. Что такое распределение Стьюдента? Приведите формулы для расчета выборочной средней и среднеквадратического отклонения, сделайте пояснения.

16. Функция распределения. Основные свойства функции. Графическое изображение функции распределения.

17. Что такое гистограмма? Каковы правила ее построения?

18. Коэффициент Стьюдента. (Определение, формула). Зависимость коэффициента Стьюдента от надежности и объема выборки.

 

Теоретическое введение

 

Для анализа статистических характеристик некоторой генеральной совокупности, мы пользуемся, как правило, информацией о выборке. Когда врач хочет получить представ­ление о составе и состоянии крови пациента, он проводит анализ небольшой выборки крови. Любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Работники здравоохранения пос­тоянно имеют дело с информацией, базирующейся на ограниченных выборках. Поэтому они должны хорошо представлять себе границы надежности анализа информации на основе выборочных данных.

В биологической и медицинской статистике часто приходится иссле­довать распределение того или иного признака для весьма большой совокупности индивидуумов, образующих статистический коллектив (таким признаком может быть, например, содержание белка в зерне пшеницы, вес новорожденного ребенка, период колебаний маятника и т.д.). Данный признак является случайной величиной, значение которой от индивидуума к индивидууму меняется. Однако, для того чтобы соста­вить представление о распределении этой случайной величины или о ее важнейших характеристиках, нет необходимости обследовать каждый объект данной обширной (генеральной) совокупности, а можно обследо­вать некоторую выборку достаточно большого объема для того, чтобы в ней были выявлены существенные черты изучаемого распределения.

Статистическая совокупность представляет собой множество объ­ектов, однородных относительно признака, характеризующего эти объекты.

Генеральной совокупностью называется совокупность, состоящая из всех объектов, которые могут быть охарактеризованы некоторой величиной X. Теоретически это бесконечно большая или приближа­ющаяся к бесконечности совокупность. Число объектов генеральной совокупности называют ее объемом и обозначают N.

Выборочной совокупностью или выборкой называется множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Число объектов выборки называют ее объемом и обозначают n .

Для того чтобы свойства выборки достаточно хорошо отражали свойства генеральной совокупности, выборка должна быть осущест­влена случайно, то есть все объекты должны иметь одинаковую веро­ятность попасть в выборку.

Поскольку на практике приходится иметь дело с ограниченным количеством экспериментальных данных, то результаты наблюдений и их обработки содержат больший или меньший элемент случайности.

Характеристики статистического распределения выборки приме­няются для оценки неизвестных параметров теоретического распре­деления вероятностей.

Различают точечные оценки случайной величины (одним числом) и интервальные (оценивание параметра совокупности в виде интервала).

Введем некоторые понятия.

, (1)

Генеральная средняя равна математическому ожиданию случай­ной величины:

(2)

Выборочная средняя в — среднее арифметическое значение при­знака выборочной совокупности X1 X2, ..., Хn .

Генеральная средняя г — среднее арифметическое значение при­знака X1, Х2, ..., Хn генеральной совокупности.

Выборочная средняя Хв — среднее арифметическое значение при­знака выборочной совокупности X1X2, ..., Хn, то есть

Генеральная средняя Хг — среднее арифметическое значение при­знака X1, Х2, ..., Хnгенеральной совокупности, т.е. Генеральная дисперсия:

(3)

Выборочная дисперсия:

(4)

 

Точечные оценки.За оценку неизвестного значения μ измеряемой величины принимается выборочная средняя:

(5)

За оценку генеральной дисперсии Dпринимается (при малом обьеме выборки n<30 nберется как число степеней свободы (n-1)) значение исправленной выбо­рочной дисперсии σ2в:

(6)

Интервальная оценка математического ожидания (доверительный интервал для математического ожидания случайной величины, распре­деленной по нормальному закону, при неизвестном σ).

Пусть случайная величина Xимеет нормальное распределение, причем неизвестны μ и σ.

В ряде задач требуется не только найти для параметра μ подходя­щее численное значение, но и оценить его точность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра μ его точечной оценкой Хв, и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы.

Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюде­ний, когда точечная оценка в значительной мере случайна и прибли­женная замена может привести к серьезным ошибкам.

Чтобы дать представление о точности и надежности в математичес­кой статистике пользуются так называемыми доверительным интер­валом и доверительной вероятностью.

Разные выборки дадут разные оценки. Пусть для параметра μ получена из некоторого опыта точечная оценка Хв. При этом, заменяя μ на Хв, мы совершаем некоторую ошибку.

В теории математической статистики показывается, что с заданной вероятностью γ неизвестное значение μ случайной величины попада­ет в определенный интервал:

или

Вероятность γ принято называть доверительной вероятностью. С такой вероятностью мы «доверяем» результату. Величина γ выбирается самим исследователем самостоятельно, например, γ = 0,95; 0,99 и т.п.

Иногда говорят, что с заданной вероятностью, а доверительный интервал накрывает точку μ.

Величина Х — полуширина доверительного интервала. Точки Хв+ Х и Хв Х — границы доверительного интервала.

Величины Хв и Х вычисляются на основе экспериментальных данных.

Допустим, случайная величина подчиняется нормальному зако­ну распределения.

В эксперименте получены ее значения: X1, X2, ... Хn.

Если объем выборки невелик, (n < 30), то полуширина доверитель­ного интервала для оценки неизвестного математического ожидания в этом случае вычисляется по формуле:

(7)

где tγ n — коэффициент Стьюдента, значение которого зависит от доверительной вероятности γ и от объема выборки n. Его значения приведены в специальной таблице (приложение).

Тогда доверительный интервал для μ можно представить как:

(8)

Таким образом, математическое ожидание μ находится в довери­тельном интервале:

с заданной доверительной вероятностью γ.

 

(9)

Чем выше мы задаем вероятность γ, тем шире становится довери­тельный интервал. И, наоборот, чем меньше γ, тем уже интервал.

При увеличении объема выборки ширина интервала уменьша­ется.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.