|
Если уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа-1, т.е. равен 1 или -1. Проверка показывает, что х1=-1. По формулам Виета имеем: х1*х2=- ® х2= . Ответ:{-1; } Пример 6 При каких значениях параметра «а» число является корнем уравнения х4-2х2+3а=0? Решение: Пусть х2=t®t2-2t+3a=0. По формулам Виета: Если х= корень уравнения, то t1=x2=2- ®t2=2-t1® ®a= -1. Ответ: a= -1. Следующие примеры решите самостоятельно. Пример 7 Найти все натуральные решения неравенств: 1) –х4+8х2+9> 0; 2) < 0. Ответ: 1){1;2}; 2) {1;2} Пример 8 Дано: A={xÎN| x2-7x-8≤ 0}; B={xÎZ| ≤3} Найти: 1) С=А 2)D=A . Ответ: С={-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8}; D={1;2;3;4;5;6}. Пример 9 Дано: A={xÎZ | ≤ 0}; B={xÎN| }. Найти: 1) С=А 2)D=A . Ответ: С={-1;0;1;7;8;9;10}; D={-1;1} Пример 10 Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5. Найдите это двузначное число. Ответ: 23 Пример 11 Решить уравнения: 1) 2002х2-2001х-1=0; 57х2-101х-26=0. Ответ:1) {1;- };2) {2;- }. Пример 12 При каких значениях параметра «а» число является корнем уравнения: х4-6х2+4а2=0? Ответ:а=-1;а=1. ГЛАВА 2. Модуль вещественного числа. Решение уравнений и неравенств со знаком модуля. |f(x)|= Простейшие уравнения со знаком модуля. 1. |f(x)|=a® 2. | f(x) | =g(x) « 3. |f(x)|=|g(x)|« частный случай:|х-а|=|х-в| «х= 4. |f(x)|+|g(x)|=0 « Пример 1 Решить уравнения: 1) |5-3х|=2; 2) |х2-13х+40|=0; 3) |4-х2|=-2. Решение: 1) |5-3х|=2« « Ответ:{1; } 2) | х2-13х+40 | =0 «х2-13х+40=0 « Ответ:{5;8} 3) | 4-х2 | =-2 « Ответ: Пример 2 Решить уравнения: 1) |х2-5х-6|=2х-12; 2) |х2-3х-10|=2х+14; 3) |х2-25|=-30-6х; 4) |х2-7х+18|=2х-2; 5) |х2+5х+13|=-2х+1. Решения: 1) |х2-5х-6|=2х-12 О.Д.З. 2х-12³0«х³6 Заметим, что х2-5х-6³0 при х³6, т.к. х2-5х-6=(х-6)*(х+1)
|х2-5х-6|= х2-5х-6® х2-5х-6=2х-12 «х2-7х+6=0 « Ответ: {6} 2) | х2-3х-10 | =2х+14 « « « Ответ:{-5;8} 3) |х2-25|=-30-6х О.Д.З. -30-6х³0«х≤-5
|х2-25|= х2-25 ® х2-25=-30-6х «х2+6х+5=0 « Ответ: {-5} 4) |х2-7х+18|=2х-2 « « « Ответ: {4;5} 5) | х2+5х+13 | =-2х+1 « « « Ответ: {3;4} Пример 3 Решить уравнения: 1) |2х2+3х+5|=|2х2+3х-3|; 2) |х3+х-1|=|х3+х+5|; 3) |х2-4х+8|=|х2-14|; 4)|х3-27|+|х2-4х+3|=0; 5) | -1|+|х4-5х2+4|=0 Решения: 1) | 2х2+3х+5 | = | 2х2+3х-3 |; пусть 2х2+3х=t ®| t+5 | = | t-3 |«t= =-1 ® 2х2+3х=-1« Ответ: {-0,5; -1} 2) | х3+х-1 | = | х3+х+5 |; пусть х3+х=t ®| t-1 | = | t+5 |«t= =-2 ® х3+х=-2«х3+х+2=0 «(x3+1)+(x+1)=0«(x+1)(x2-x+2)=0 «x=-1 (x2-x+2 Ответ: {-1} 3) | х2-4х+8 | = | х2-14 |« « « « Ответ: {-1;3;5,5} 4)|х3-27|+|х2-4х+3|=0 « « «x=3 Ответ: {3} 5) | -1|+|х4-5х2+4|=0 « « « «x=2 Ответ: {2} Пример 4 Решить уравнение: |х-3|-|2х+1|=х-4 Решение: |х-3|-|2х+1|=х-4
« Ответ:{1,5} Пример 5 Решить уравнения (самостоятельно) 1) |7+12х|=4; 2) |х4-27х|=0; 3) |5-х3+х|=-1 Ответ:1){- ; }; 2) {0;3}; 3) . Пример 6 Решить уравнения (самостоятельно) 1) |х2-7х+6|=х-6; 2) |х2-10х+2|=-5х+54; 3) |49-х2|=-3х-21; 4) |х2-4х+3|=2х+10; 5) |х2+9х+8|=4х+2. Ответ: 1){6}; 2) {7;8; };3) {-7}; 4) {-1;7}; 6) Пример 7 Решить уравнения (самостоятельно) 1) |4х2-6х-1|=|4х2-6х-7|; 2) |2х3-х|=|2х3-х-2|; 3)|х2+2х+10|=|х2-50|; 4)|х3+125|+|х2+4х-5|=0; 5) | -1|+|х4-10х2+9|=0. Ответ: 1){-0,5;2}; 2) {1}; 3) {-30;-5;4}; 4) {-5};5){-1} Пример 8 Решить уравнение (самостоятельно) |3х+1|-|х+2|=4-2х. Ответ: { } Простейшие неравенства со знаком модуля. 1.
2.
Ответ: xÎ[x0-a;x0+a] 3.
Ответ: xÎ( 4.
Ответ: xÎ -a] [x0+a;+ 5. |f(x)|≤a (a>0) « 6. |f(x)|³a (a>0) « 7. ³0 «f(x)>0 8. ≤0 «f(x)<0 9. 10. |f(x)|³g(x) « 11. |f(x)|³|g(x)| « «(f(x)-g(x))*(f(x)+g(x))³0 12. |f(x)|≤|g(x)| « «(f(x)-g(x))*(f(x)+g(x))≤0 Пример 1 Решить следующие неравенства: 1) |3х-15|>10; 2) |7х+12|≤5; 3) |7-5х|³7; 4) |4-3х|≤4; 5) ³0; ≤0; 7) ≤0; 8) >0. 1)
Ответ: хÎ(- ;5/3) 2)
Ответ: хÎ[- ;-1] 3)
Ответ:хÎ 4)
Ответ: хÎ[0;8/3] 5) ³ 0 « « Ответ: хÎ ≤0 « « Ответ: хÎ( 6) ≤0 « « Ответ: 8) >0 « « Ответ: хÎ( Пример 2 Решить следующие неравенства:(самостоятельно) 1) |5х-2|³ 10; 2) |4-3х|<12; 3) |2х+10|>1; 4) |10х+1|≤20; 5) ³0; 6) ≤0; 7) <0; 8) ³0. Ответы: 1) 4) [-2,1;1,9]; 5) ( 7) ; 8) Пример 3 Решить следующие неравенства: 1) |х2+25|≤10х; 2) |х2+6х+10|³5; 3) |х+8|≤х2+6; 4) |х2-4|³2х-5; 5) |х2-5х|<3х-7; 6) |х2-6|≤|х2+4х|; 7) |2х+5|>|х2-4х-2|; 8) |х2+5х+9|≤|х2-7х-4| Решения: 1) | х2+25 | ≤10х(т.к. х2+25>0, то | х2+25 | =х2+25) «х2+25≤ 10х « «х2-10х+25≤0 «(х-5)2≤0 «х=5 Ответ: {5} 2) | х2+6х+10 |³ 5 (т.к. х2+6х+10>0 /дискриминант отрицательный/,то |х2+6х+10|=х2+6х+10) «х2+6х+10³5 «х2+6х+5³0 «(х+5)*(х+1)³0
Ответ: хÎ ] 3) | х+8 | ≤х2+6 (x2+6>0) « « «
Ответ: хÎ[-1;2] 4) | х2-4 |³ 2х-5 « « « « Ответ: хÎ 5) | х2-5х |< 3х-7 « « « « 3.8
Ответ: хÎ(1+ 7) 6) | х2-6 | ≤ | х2+4х |«6) (х2-6)2≤(х2+4х)2 «(х2-6)2-(х2+4х)2≤0 «
Ответ: xÎ[-3;-3/2] 7) | 2х+5 | > | х2-4х-2 |«(2х+5)2>(х2-4х-2)2 «(2х+5)2-(х2-4х-2)2>0 «
Ответ: хÎ(1;7) 8) |х2+5х+9|≤|х2-7х-4| Заметим. что х2+5х+9>0 т.к. D<0 ® | х2+5х+9 | =х2+5х+9®|x2-7x-4|³х2+5х+9 « « «x≤- Ответ: хÎ (- Пример 4 Решить следующие неравенства (самостоятельно): 1) |х2+81|³ -18х; 2) |х2-8х+14|≤2; 3) |2х+1|³х2+2; 4) |х2-10х+14|<2х+3; 5) |4х-13|³х2-9; 6) |х2-2х+2|³|6-х2|; 7) |х2-2х-3|>2|х-3|; 8) |х2-7х+2|≤|х2-7х+10|. Ответы: 1) (-∞;+∞); 2) [2;6]; 3) {1}; 4) (1;11); 5)[-2- ;-2+ ]; 6) (- ;-1] ; 8) Пример 5 Решить следующие неравенства: 1) |х-1|-|2х+5|³3х-4; 2) |2х+1|+|4-2х|≤6х+1. Решения: 1)
2)
« Ответ: хÎ[2/3;+∞) Пример 6 Решить следующие неравенства (самостоятельно) 1) |3х+1|-|2х-3|≤х+5; 2) |4х-8|+|4х+12|³5-4х. Ответы: 1)[ -4,5;+∞); 2) (-∞;+∞). Пример 7 Решить следующие неравенства: 1) ≤0; 2) | ³-11; 3) | ≤1; 4) ≤0 Решение: 1) ≤0 « ≤0 « « Ответ: хÎ(-1/3; 1/3) 2) | ³ -11 « « Ответ: хÎ[-5/3;-1) 3) | ≤1 (x2+4>0) « « «
Ответ: xÎ(- 4) ≤0 « ≤0 «x+3 < 0 «x < -3, Ответ: хÎ(-∞;-3) Пример 8 Решить следующие неравенства (самостоятельно) 1) ³0; 2) | ; 3) | |³2; 4) . Ответ: 1) хÎ : 3) xÎ . Пример 9 Решить системы неравенств: 1) ; 2) . Решение: 1)
Ответ: xÎ[2;5] 2)
« Ответ: xÎ[1,5;2] Пример 10 Решить системы неравенств (самостоятельно): 1) ; 2) . Ответ: 1) xÎ[2;4] ; 2){1,6} ГЛАВА 3. Элементы теории множеств. §1 Основные понятия. Напомним, что универсальное множество, которое содержит в себе все другие множества, обозначается буквой W. Пустое множество обозначается . А A «{x| (xÎA)Ù((xÎB)} A\B (разность множеств) «{x| (xÎA)Ù(x B)} =W\A (дополнение множества А до W) При работе с множествами будем использовать следующие свойства основных операций над множествами.
Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|