На всей области определения функция убывает

Экстремумов нет

Пример 5.

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= -2

Решение:

Сначала построим схему графика у= ( <1®), а затем поднимем ось абсцисс на две единицы вверх.

у= «у= (чётная)

1) D(f)=R

2) E(f)=[-2;+∞)

3) y=0« =2«|x|= ≈2,4; y(0)=-2

4) f(-x)=f(x)®функция чётная

5) на интервале (-∞;0) функция убывает,

на интервале (0;+∞) функция возрастает

6) min y(0)=-2

Пример 6.

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у=

Решение:

у= (нечётное продолжение)

(исследование проведите самостоятельно)

Пример 7 (самостоятельно).

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= +4.

Пример 8 Самостоятельно).

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= -1.

Пример 9 (самостоятельно).

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= -1.

Пример 10 (самостоятельно)

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= +3.

Квадратичная функция.

Функция вида:

у=ax²+bx+c

Называется квадратичной функцией.

Выделим полный квадрат:

Графиком квадратного трехчлена является парабола.

Если , то ветви параболы направлены вверх, если , то вниз. Ось симметрии параболы – прямая .

Вершина параболы , где ; ,

Таким образом:

Заметим, если , то корни различные

Ось симметрии, , где ,

Исследование:

а>0	а<0
D(f)=R	D(f)=R
E(f)=[- ;+∞)	E(f)=(-∞;- ]
D>0® D=0® D<0®∅ У(0)=с	D>0® D=0® D<0®∅ У(0)=с
b=c=0®f(-x)=f(x) в других случаях функция общего вида	b=c=0®f(-x)=f(x) в других случаях функция общего вида
min y(- )=-	max y(- )=-
На интервале (-∞;- ) функция убывает На интервале (- ;+∞) функция возрастает	На интервале (-∞;- ) функция возрастает На интервале (- ;+∞) функция убывает

Пример 1.

Найти параметр С и построить график функции:

1. , если известно, что ее наименьшее значение равно -4.

2. , если известно, что ее наибольшее значение равно 4

3. , если известно, что ее наименьшее значение равно 1

4. , если известно, что ее наибольшее значение равно -1

Решение:

1.

Выделим полный квадрат:

Ответ:

График:

1)

2) ось симметрии:

3) вершина параболы:

4)

2.

Выделим полный квадрат:

Ответ:

График:

1)

1) ось симметрии

2) вершина параболы:

3)

3.

Выделим полный квадрат:

Ответ:

График:

1)

2) ось симметрии

3) вершина

4) нет точек пересечения с осью OX

4.

Выделим полный квадрат:

Ответ:

График:

1)

2) ось симметрии:

3) вершина:

4) нет точек пересечения с осью ОХ

Пример 2 (самостоятельно)

Найти параметр С и построить график функции

1. , если известно, что ее наименьшее значение равно -4

2. , если известно, что ее наибольшее значение равно 4

3. , если известно, что ее наименьшее значение равно 3

4. , если известно, что ее наибольшее значение равно -3

Ответы: 1) , 2) , 3) , 4)

Пример 3.

Построить график функции и найти:

1. Наименьше значение функции, если известно, что:
2. Наибольшее значение функции, если известно, что:
3. Наименьше значение функции, если известно, что:
4. Наибольшее значение функции, если известно, что:

Решение:

1.

Ось симметрии параболы: , где =>

Вершина параболы: , где

Ответ: miny(1)=-4

График функции:

2.

х₀=

Ось симметрии:

Вершина параболы

Ответ:

График функции:

3.

х₀= =1

Ось симметрии:

Вершина параболы

Ответ:

График функции:

4.

х₀= =-2

Ось симметрии:

Вершина параболы

Ответ:

График функции:

Пример 4.(самостоятельно)

Построить график функции и найти:

1. Наименьше значение функции, если известно, что:
2. Наибольшее значение функции, если известно, что:
3. Наименьше значение функции, если известно, что:
4. Наибольшее значение функции, если известно, что:

Ответы: 1) , 2) 3) 4)

Пример 5.

Найдите значение параметра а. Постройте график функции и найдите минимальное(максимальное) значение функции:

1. – ось симметрии параболы

2. – ось симметрии параболы

3. – ось симметрии параболы

4. – ось симметрии параболы

Решение:

1.

По определению

. Ответ:

Вершина параболы Ответ:

График функции:

2.

Ответ:

Ответ:

График функции:

3.

Ответ:

Ответ:

График функции:

х₀=-1® ®а=- ®у=- х²- х+ ,

у₀=у(х₀)=3 ® Ответ: max y(-1)=3

Пример 6 (самостоятельно).

Найти значение параметра а. Постройте график функции и найдите минимальное (максимальное) значение функции

1) , если х=-2 – ось симметрии

2) , если x=2 - ось симметрии

3) , если x=-1/3 - ось симметрии

4) , если x=-1/4

Ответы:

1) a=1/2; min y=-2

2) a=-1/2; max y=8

3) a=3; min у=-4

4) a=-2; max y=-3

Пример 7.

Найти минимальное (максимальное) значение функции , если известно, что её график проходит через точки:

1) A(0;-3); B(-1;-2); C(2;7);

2) A(-1;-4); B(2;2); C(3;-4);

3) A(2;1); B(1; 4); C(3;4);

4) A(-2,-4); B(-3;-7); C(-4;-16);

Решение:

Если график проходит через заданные точки, то координаты точек удовлетворяют уравнению.

1) A(0;-3); B(-1;-2); C(2;7);

=> =>

Ответ:

2) A(-1;-4); B(2;2); C(3;-4);

͞ => ͞ => =>

=> => =>

Ответ:

3) A(2;1); B(1;4); C(3;4);

=> ͞ => =>

=> =>

Ответ:

4) A(-2;-4); B(-3;-7); C(-4;-16);

=> =>

Ответ:

Пример 8.

Найти минимальное (максимальное) значение функции , если известно, что её график проходит через точки:

Координаты точек А,В и С задайте самостоятельно.

Пример 9.

Для квадратичной функции на отрезке [α,β] найти наибольшее М и наименьшее m значение функции. Постройте график.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Решение:

1)

;

Вычислим значение функции на границах интервала.

Ответ: M=3; m=-1

2)

;

Ответ: M=1; m=-3

3)

;

Ответ: M=0; m=-2

4)

;

Ответ: M=3; m=0

5)

;

Ответ: M=-6; m=-7,5

6)

;

Ответ: M=-1; m

Пример 10.

Задайте самостоятельно функцию и интервал [α,β]. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на этом интервале.

Пример 11.

Постройте график функции используя основные методы преобразований графиков. Найдите точки экстремумов и множество значений функции

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Решение:

1)

Заметим, что - функция четная, и по условию

Выполняем последовательно построение графиков следующих функций:

А) или

Б) симметричное дополнение графику (А) относительно оси OY.

В) - искомая функция.

Рис.1

3

Рис.1

Ответ: Точки экстремумов

2)

Заметим, что

Будем строить график функции помощью преобразований графиков.

А)

;

Б)

В)

Рис.2

Рис.2

Ответ: Точки экстремумов

3)

Раскроем знак модуля

Рис.3

рис. 3

Ответ: Точки экстремумов

4)

Раскроем знак модуля на данном интервале:

Рис.5

Рис.5

Ответ: Точки экстремумов

Пример 12.

Построить график функции y = f(x), используя основные методы преобразований графиков. Найдите точки экстремумов и множества значений функции E(f).

1)

2)

3)

4)

Ответы: 1)

2)

3)

4)

Показательная функция.

Функция вида:

у= , а>0; а≠1

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: