Заметим, что полезно найти так же точку пересечения с осью ординат f(0)

Чётность-нечётность функции.

Если ∀хÎD(f)®f(-x)=f(x), то функция чётная.

Если ∀хÎD(f)®f(-x)=-f(x), то функция нечётная.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

График нечётной функции симметричен относительно начала.координат.

Промежутки монотонности и экстремумы.

Функция y=f(x) на интервале (𝛂;𝛃)ÌD(f):

1) возрастает, если из условия х₁>х₂®f(x₁)>f(x₂₎

2) убывает, если из условия х₁>х₂®f(x₁)<f(x₂₎

3) не возрастает, если из условия х₁>х₂®f(x₁)≤f(x₂₎

4) не убывает, если из условия х₁>х₂®f(x₁)³f(x₂₎

для всех х₁ и х₂ из интервала (𝛂;𝛃).

Экстремумы (минимумы и максимумы)

Если в некоторой окрестности точки х₀ (х₀ÎD(f))

f(x)>f(x₀), то х₀- точка минимума, а f(x₀)-минимальное значение.

Если в некоторой окрестности точки х₀ (х₀ÎD(f))

f(x)<f(x₀), то х₀- точка максимума, а f(x₀)- максимальное значение.

Можно использовать различные виды записи:

min у|_x=x0=f(x₀) или min y(x₀)=f(x₀)

max у|_x=x0=f(x₀) или max y(x₀)=f(x₀)

Заметим, что это определение локальных экстремумов и на множестве определения функция может иметь конечное или даже бесконечное (например, тригонометрические функции) число экстремумов.

Периодические функции.

Функции, которые имеют период, называются периодическими. (этот вопрос подробно рассмотрен в главе 8)

Асимптоты

А) Вертикальные асимптоты.

f(x)®

b) Наклонная асимптота.

Прямая у=кх+b называется наклонной асимптотой, если

§2 «Полезные» функции

1. у=|х|«у=

2. у=к|х-а|+b (порядок построения графика)

· при к>0® Ú, при к<0®Ù

· ось симметрии х=а

· вершина (узел) ломаной (a;b)

· корни: k|x-a|=-b«|x-a|=- ®

· при к>0®min y(a)=b; при k<0® max y(a)=b

· y(0)=k|a|+b

Пример 1

Построить график и провести исследование по предложенной выше схеме.

у=2|х+1|-3

· к=2>0® Ú

· ось симметрии х=-1

· вершина ломаной (-1;-3)

· корни: у=0 «2 | х+1 | -3=0«2|х+1|=3«|х+1|= « «

·

·

Пример 2

y=4-|2x+1| «y=4-2|x+0,5|

· k=-2<0 ®Ù

·

·

·

· у(0)=3

· max y(-0,5)=4

В точках А и В имеем узлы ломаной.

у(а)=|а-b|=𝛂 ®A(a;𝛂)

v(b)=|b-a|=𝛂 ®B(b;𝛂)

Дополнительные точки:

y(a-1)=1+|a-1-b|=𝛃; C(a-1;𝛃)

y(b+1)=|b+1-a|+1=1+|a-1-b|=𝛃; D(b+1;𝛃)

Если раскрыть знак модуля, то получим следующее аналитическое задание функции: у =

4. «ступенька» у=|x-a|-|x-b|

Можно провести исследования, аналогичные предыдущей функции и получим следующие характерные графики:

x0=

Обратите внимание! y=0«x= ; y>0«x< ; y<0 «x>

b>a

y=0«x= y>0«x> y<0«x<

x0=

Пример 3

Решить уравнение.

+ =4

Решение:

О.Д.З.: х³4

«|

Пусть t= ; t³0® |t+2|+|t-2|=4

Покажем графическое решение этого уравнения.

Строим графики этих функций на одном чертеже и находим решение системы

Решение системы:0≤t≤2 «0≤ «0≤x-4≤4«4≤x≤8.

Ответ: хÎ[4;8]

Пример 4.

Решить уравнение.

Решение:

«|

Пусть =t; t³0 ® |t+1|-|t-5|=6

Покажем графическое решение этого уравнения.

; у(-1)=-6; у(5)=6

Решение системы: t³5« «x+2³25 «x³23

Ответ: хÎ[23;+∞)

5.y=||x-a|-b| (W)

Ось симметрии х=а.

Пример 5.

Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра «а»

||х+1|-2|=х+а.

Решение:

Покажем графическое решение примера.

Ответ: при а<-1®∅, при ®бесконечно много решений при ®единственное решение

Построение графиков и исследование функций со знаком модуля.

Пример 1

Исследовать и построить график функции:

у=

Решение:

y=

1) D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞)

2) E(f)={-1;1}

Корней нет

4) чётность-нечётность: f(x)= ; f(-x)= =-f(x)® функция нечётная

5) наибольшее значение: у=1; наименьшее значение у=-1®extr нет

Функция кусочно- постоянная

Пример 2

Исследовать и построить график функции:

у= +1

Решение:

y=

1) D(f)=(-∞;1)∪(1;+∞)

2) E(f)={0;2}

3) множество корней: (-∞;1)

4) чётность-нечётность: f(x)≠ ® функция общего вида

5) наибольшее значение: у=2; наименьшее значение у=0®extr нет

6)

Пример 3

Исследовать и построить график функции:

y= +x-1.

Решение:

у=

1)D(f)=(-∞;0,5)∪(0,5;+∞)

В точке х=0,5 функция имеет разрыв.Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва.

(предельное значение функции слева от точки разрыва, т.к. при х<0,5® у=х-3)

(предельное значение функции справа от точки разрыва, т.к. при х>0,5® у=х+1)

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: