Построить график функции и провести исследование.

у=

Решение:

Сначала выделим целую часть:

у=2- (к=-7)

Исследование:

1. Область определения функции:D(f)=(-∞;-3)∪(-3;+∞)

Прямая х=-3- вертикальная асимптота

2. Множество значений функции: E(f)=(-∞;2)∪(2;+∞).

Прямая У=2- горизонтальная асимптота.

Точка (-3;2)- центр симметрии.

: у=0«2х-1=0«х=0,5

т -1/3

4. f(x)≠ ®функция общего вида

5.Функция возрастает, т.к. к=-7<0.

Экстремумов нет.

Схема данного графика имеет вид:

Пример 2.

Построить график функции и провести исследование.

у =

Решение:

Сначала построим график данной функции, используя метод преобразования графиков в следующем порядке:

Построим график функции у= в области х³0, а затем сделаем чётное продолжение.

На рисунке показана схема полученного графика.

Исследование:

1. Область определения функции:

D(f)=(-∞;-1)∪(-1;1)∪(1;+∞)

Прямые х=-1 и х=1 - вертикальные асимптоты.

2. Множество значений функции: E(f)=(-∞;-2]∪(3;+∞)

прямая у=3 -горизонтальная асимптота

3) : у≠0® корней нет.

4) Чётность - нечётность.

f(-x)=f(x)-®функция чётная (график симметричен относительно оси ординат))

5) Экстремумы: max y(0)=-2.

Пример 3.

Построить график функции и провести исследование.

у=|

Решение:

у=| «у=|1- |

Сначала построим график данной функции, используя метод преобразования графиков в следующем порядке:

1) у=

2) у=1-

3) у=1-

4) у= | 1- |

На рисунке показана схема полученного графика.

Далее, используя график, можно продолжить исследование

Проведём исследование этой функции.

1).Область определения функции:D(f)=(-∞;+∞)

2) Множество значений функции: E(f)=[0;2,5]

Прямая у=1 - горизонтальная асимптота.

3).Множество корней: у=0 «| х | -5=0 «| х | =5 «

4) Чётность - нечётность.

f(-x)=f(x)-®функция чётная (график симметричен относительно оси ординат))

5) Экстремумы: max y(0)=2,5; min y(±5)=0

Пример 4 (самостоятельно).

Построить график функции и провести исследование.

у= .

Пример 5 (самостоятельно).

Построить график функции и провести исследование.

у= .

Пример 6 (самостоятельно).

Построить график функции и провести исследование.

у=| .

Степенная функция.

Функция вида:

у=х^𝛂, 𝛂ÎQ

Называется степенной функцией

Примечание:.

При любом значении «𝛂» график степенной функции проходит через точку (1;1)

Исследуем степенную функцию для различных значений «𝛂».

𝛂=2к; kÎN	𝛂=2k+1; kÎN
Y= ; y= ; y= ;…	Y= ; y= ; y= ;…
y x
D(f)=R	D(f)=R
E(f)=[0;+∞)	E(f)=R
Y=0«x=0	Y=0 «x=0
f(-x)=f(x)® функция чётная	f(-x)=-f(x)®функция нечётная
Если хÎ(-∞;0), то функция убывает Если хÎ(0; +∞),то функция возрастает.	Функция возрастает на всей области определения.
Экстремумов нет	Экстремумов нет

𝛂=1/2к; kÎN	𝛂=1/2k+1; kÎN
Y= ; y= ; y= ;…	Y= ; y= ; y= ;…
D(f)=[0;+∞)	D(f)=R
E(f)=[0;+∞)	E(f)=R
Y=0«x=0	Y=0 «x=0
Функция общего вида	f(-x)=-f(x)®функция нечётная
Функция возрастает	Функция возрастает
Экстремумов нет	Экстремумов нет

𝛂=-2к; кÎN	𝛂=-(2k-1); kÎN
Y= ; y= ; y= ;…	Y= ; y= ; y= ;…
D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞) X=0-вертикальная асимптота	D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞) X=0-вертикальная асимптота
E(f)=(0;+∞) Y=0-горизонтальная асимптота	E(f)=(-∞;0)∪(0;+∞) Y=0-горизонтальная асимптота
у≠0® корней нет	у≠0® корней нет
f(-x)=f(x)® функция чётная	f(-x)=-f(x)®функция нечётная
Экстремумов нет	Экстремумов нет

Общий случай.

α= >0 y=

Пусть х³0.

>1

0< <1

Примечание:

При х<0 нужно провести дополнительное исследование.

Возможны варианты:

а) Если D(f)=[0;+∞),то при х<0 нет продолжения.

б) Если D(f)=R, то возможно чётное или нечётное продолжение

Пример 1.

Построить схемы графиков и провести исследование данных функций:

1) у= ;

2) у= ;

3) у=

4) у=

Решение:

у= ; у=	у= ; у=	у= у=	у= у=
𝛂=2/3 <1	𝛂=3/2>1	𝛂=5/3>1	𝛂=3/5<1
D(f)=R	D(f)=[0;+∞)	D(f)=R	D(f)=R
f(-x)=f(x)® функция чётная	Функция общего вида	f(-x)=-f(x)® функция нечётная	f(-x)=-f(x)® функция нечётная

Если <0, то у=

при х>0®

Примечание:

Пример 2.

Построить схемы графиков и провести исследование данных функций:

1)Y= ; 2)Y= ; 3)Y= .

Решение:

Y=	Y=	Y=
У=	У=	У=
D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞)	D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞)	D(f)=(0;+∞)
Функция нечётная	Функция чётная	Функция общего вида

Пример 3.

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= -1.

Решение:

Сначала построим схему графика у= ( >1®)

Заметим, что. функция у= чётная.

Затем сдвигаем ось абсцисс на 1 вверх.

Исследование этой функции проводим с использованием построенного графика.

1) D(f)=R

2) E(f)=[-1;+∞)

3) y=0«|x|=1« ; f(0)=-1

4) f(-x)=f(x)® функция чётная

5) на интервале (-∞;0) функция убывает

на интервале (0;+∞) функция возрастает.

6) min y(0)=-1

Пример 4.

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= +2

Решение:

Сначала построим схему графика у= «у= , а затем опустим ось абсцисс на 2 единицы вниз.

1) D(f)=(0;+∞); прямая х=0 - вертикальная асимптота

2) E(f)=(2;+∞); прямая у=2 - горизонтальная асимптота

Корней нет

Функция общего вида

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: