Условие устойчивости линейных систем

Утверждение. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественная часть всех собственных значений матрицы A (корней характеристического уравнения) была отрицательной.

Re() < 0,

(4.10)

Для доказательства найдем корни характеристического уравнения системы (4.1) по выражению

A(p) = (pI-A) =

(4.11)

и используем модальное представление процессов при некратных корнях

(4.12)

Как видим, полный процесс представляет собой сумму экспонент, а качественный характер переходных процессов полностью определяется значениями корней .

Рис.4.3. Процессы в системе с вещественными корнями

Если все корни характеристического уравнения вещественные, то в выражении имеем линейную комбинацию экспонент. При выполнении условия (4.10) они носят затухающий характер, следовательно, и их сумма также будет с течением времени стремиться к нулю (рис.4.3, график 2).

Рис.4.4. Процессы в системе с комплексными корнями и отрицательной вещественной частью

В случае, когда корни характеристического уравнения комплексные, для каждой пары получим колебательную составляющую, которая мажорируется затухающей экспонентой при отрицательной вещественной части данной парыкорней.

Следовательно, и процесс, определяемый соотношением (4.12), будет затухающим при выполнении условия (4.10).

Таким образом, мы доказали достаточность условия устойчивости (4.10).

Рис.4.5. Процессы в системе с положительной вещественной частью корней Рис.4.6. Процессы в системе с чисто мнимыми корнями

Необходимость этого условия докажем способом “от противного”. Предполагаем, что хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть. Тогда соответствующая экспонента будет с течением времени стремиться к бесконечности Следовательно, полный процесс, определяемый выражением (4.12), будет иметь расходящийся характер, а система (4.1) никогда не сможет стать устойчивой.

Корни характеристического уравнения (4.11) можно представить на комплексной плоскости в виде точек (рис.4.7). При этом получим графическую интерпретацию условия (4.10): для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости плоскости корней.

Рис.4.7. Распределение корней устойчивой системы.

Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости плоскости корней, то система будет неустойчива. Мнимая ось представляет собой границу устойчивости системы, то есть при наличии хотя бы одного корня на этой оси система находится на границе устойчивости (при условии. что все остальные корни имеют отрицательную вещественную часть).

Необходимым (но не достаточным) условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. В этом нетрудно убедиться, если представить характеристический полином A(p) в виде произведения

Если корни вещественные, то есть и > 0, то характеристическое уравнение принимает вид

Раскрывая скобки, получим уравнение типа (4.11), где все коэффициенты будут положительными. Аналогичный результат получится и в случае, когда корни комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью.

Таким образом, при положительных коэффициентах характеристического уравнения (4.11) система может быть как устойчивой, так и неустойчивой - необходима дополнительная проверка. При наличии хотя бы одного отрицательного коэффициента она неустойчива, дополнительных исследований не требуется.

Пример 4.2.

Проверим устойчивость системы первого порядка, передаточная функция которой имеет вид:

Ее характеристическое уравнение, Tp + 1 = 0, имеет только один корень , который будет отрицательным при Т > 0.

Следовательно, положительность коэффициентов характеристического уравнения для системы 1-го порядка является необходимым и достаточным условием устойчивости.

Пример 4.3.

Получим условия устойчивости для системы 2-го порядка:

Запишем ее характеристическое уравнение,

T²p²+ 2dTp + 1 = 0,

и определим корни:

Они будут иметь отрицательную вещественную часть, когда знаки коэффициентов d и T совпадают.

Таким образом, положительность коэффициентов характеристического уравнения для системы 2-го порядка также является необходимым и достаточным условием устойчивости.

Критерии устойчивости

Разработаны критерии, которые позволяют оценить устойчивость, то есть отрицательность вещественной части корней по характеристическому уравнению или частотной характеристике. Их называют критериями устойчивости.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: