Составление математической модели

ВВЕДЕНИЕ

Основные понятия и определения

Объект управления – техническое устройство или процесс, поведение которого необходимо изменить.

Управление - процесс воздействия на объект управления с целью изменения его поведения.

Регулирование - частный случай управления, целью которого является приведение состояния объекта к заданному.

Автоматический процесс - процесс, который совершается без участия человека.

Управляющее устройство (регулятор) - устройство, предназначенное для реализации процесса управления (регулирования).

Система - совокупность элементов, объединенных общим режимом функционирования.

Динамическая система – это система, в которой процессы изменяются во времени.

Совокупность объекта управления и управляющего устройства (регулятора) называется системой автоматического управления (регулирования).

Теория автоматического управления (ТАУ) - научно-техническая дисциплина, в рамках которой изучаются свойства систем автоматического управления и разрабатываются принципы их построения и расчета.

Основными элементами САУ являются:

- объект управления (ОУ);

- управляющее устройство или регулятор (Р), который сравнивает выход управляемого объекта с желаемым и в зависимости от этого вырабатывает управляющий сигнал на объект.

Рис.1.1. Функциональная схема замкнутой системы

Рассмотрим подробнее объект управления и выделим переменные, которые его характеризуют.

Рис.1.2. Функциональная схема объекта управления

- Управляющие воздействияu1,..., um - это входные сигналы объекта управления, с помощью которых можно влиять на режим работы объекта. - Входными (задающими) принято называть воздейсвия (сигналы), поступающие на вход системы и определяющие требуемые законы изменения выходных переменных (сигналов)

- Выходные переменные y₁,..., y_m - это измеряемые выходные сигналы динамической системы.

- Переменные состояния x₁,..., x_n - это внутренние, как правило, недоступные измерению переменные, которые определяют состояние объекта в каждый момент времени; причем .

- Возмущающие воздействия M₁,..., M_l - отражают случайные воздействия окружающей среды на объект управления и обычно недоступны измерению. Требование парирования их влияния и приводит к необходимости создания систем автоматического управления.

Все переменные, которые характеризуют объект, удобно представить в векторной форме:

Входные воздействия на систему (или задание на регулятор) принято обозначать буквой v. Их число обычно совпадает с числом выходных переменных и изображается следующим вектором:

В зависимости от числа входных и выходных переменных выделяют:

- одноканальные объекты (или системы) - объекты, в которых есть только одна выходная переменная (m =1);

- многоканальные (многосвязные, многомерные, взаимосвязные) объекты (или системы) - объекты, в которых число выходных переменных больше единицы (m >1).

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Под динамической характеристикой (математической моделью) системы понимают любое соотношение, заданное аналитически, графически или в виде таблицы, которое позволяет рассчитать поведение системы во времени.

2.1. Дифференциальные уравнения

2.2. Составление математической модели

2.3. Структурные схемы

2.4. Переходная функция (переходная характеристика)

2.5.Импульсная функция (импульсная характеристика)

2.6. Переходная матрица

2.7. Передаточная функция

2.8. Модальные характеристики

2.9. Частотные характеристики

Дифференциальные уравнения

Наиболее часто в качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в различной форме.

Линейные многоканальные объекты обычно описывают системой дифференциальных уравнений первого порядка, представленной в векторно-матричном виде:

.

(2.1)

Здесь - вектор состояния, n - порядок объекта; - вектор управляющих воздействий, A - квадратная матрица коэффициентов; B - прямоугольная матрица коэффициентов. Уравнения (2.1) называются дифференциальными уравнениями состояния.

Выходные переменные объекта изменяются в соответствии с уравнением выхода

y = Cx

(2.2)

где - вектор выхода; C - прямоугольная матрица коэффициентов.

Уравнения (2.1) и (2.2) описывают линейный стационарный объект. Если его параметры меняются с течением времени, то такой объект называется нестационарным, а математическая модель имеет вид (2.1)-(2.2), где элементы матриц являются функциями времени: A=A(t); B=B(t); C=C(t).

Для описания одноканального объекта обычно используется скалярное дифференциальное уравнение:

,

(2.3)

которое также может быть приведено к описанию типа (2.1) и (2.2) после соответствующего выбора линейно-независимых переменных состояния. Их число всегда равно порядку объекта (n), а и .

Наиболее простое (каноническое) описание получается в случае, когда в качестве переменных состояния выбирается выходная переменная y и ее производные до (n-1) включительно

При этом вместо (2.3) имеем систему уравнений в виде нормальной формы Коши,

(2.4)

которая соответствует векторно-матричным уравнениям (2.1) и (2.2). Здесь матрицы A, B и C имеют вид:

причем

Переход к описанию (2.1) - (2.2) не является однозначным: для одного объекта можно выбрать множество переменных состояния; важно, чтобы они были линейно - независимыми. При этом будут получаться различные матрицы объекта A, B и C.

Пример 2.1.

Записать уравнения состояния одноканального объекта, модель которого имеет вид

1) Если в качестве переменных состояния выбрать выходную величину и ее производную, , то получим канонические уравнения состояния и матрицы объекта типа (2.4):

2) Выбирая переменные состояния следующим образом: получим новые уравнения состояния и матрицы объекта:

В общем случае одноканальный объект может описываться дифференциальным уравнением вида:

(2.5)

от которого также можно перейти к векторно-матричным уравнениям типа (2.1) - (2.2). Рассмотрим этот переход на примере.

Пример 2.2.

Записать уравнения состояния объекта с математической моделью вида

Выбираем переменные состояния и получим следующие уравнения состояния и матрицы объекта

Таким образом, в качестве динамической характеристики линейных объектов управления используются дифференциальные уравнения, которые могут быть представлены в форме (2.1) - (2.2), (2.3), (2.4) или (2.5).

Структурные схемы

Структурной схемой называется графическая модель системы, в которой каждому элементу ставится в соответствие его динамическая характеристика.

Рассмотрим, как получить структурную схему, соответствующую векторно-матричному описанию объекта типа:

(2.6)

Проинтегрируем уравнение состояния и определим x(t)

(2.7)

По выражению (2.7) изобразим структурную схему, придерживаясь следующего правила: входные и выходные переменные объекта необходимо располагать на одной горизонтальной прямой.

Рис.2.2. Структурная схема, соответствующая уравнениям состояния объекта

Для одноканального объекта структурную схему можно составить по уравнению (2.3), разрешив его относительно старшей производной

и далее n -раз интегрируя. В результате получим

Рис.2.3. Структурная схема, соответствующая скалярному
дифференциальному уравнению.

Переходная матрица

Эта характеристика применяется для описания многоканальных систем вида (2.1) - (2.2) при нулевых входных воздействиях, то есть для автономных систем типа:

.

(2.12)

Переходная матрица - это решение матричного дифференциального уравнения

(2.13)

при нулевых входных воздействиях и единичных начальных условиях

где

Она обладает следующими свойствами:

для любого

(2.14)

Зная переходную матрицу, можно определить реакцию системы

на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях x(0) по выражению

.

(2.15)

Здесь первое слагаемое - свободная составляющая движения, второе - вынужденная. Для выходных переменных имеем

(2.16)

Если система имеет нулевые начальные условия x(0)=0, то

,

(2.17)

.

(2.18)

Матрица называется матричной импульсной функцией потому что каждая компонента ее представляет собой импульсную функцию , которая является реакцией i -го выхода на j -ое импульсное входное воздействие при нулевых остальных входных воздействиях и начальных условиях.

Для многоканальных систем может быть определена также матричная переходная характеристика в виде

(2.19)

Для линейных систем с постоянными параметрами переходная матрица Ф(t) представляет собой матричную экспоненту

(2.20)

где

С учетом (2.20) выражения (2.15) и (2.16) принимают вид

(2.21)

(2.22)

Матричная импульсная функция линейной системы с постоянными коэффициентами следующая:

(2.23)

При небольших размерах или простой структуре матрицы A выражение (2.20) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы A следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.

Передаточная функция

Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее записывать в символической форме с использованием так называемого оператора дифференцирования

,

что позволяет преобразовывать дифференциальные уравнения как алгебраические и ввести новую динамическую характеристику - передаточную функцию.

Рассмотрим этот переход для многоканальных систем вида (2.6)

Запишем уравнение состояния в символической форме:

px = Ax + Bu,

что позволяет определить вектор состояния

(2.24)

и выходные переменные системы

(2.25)

Матрица взаимосвязи между выходными переменными и управляющими воздействиями в выражении (2.25) при нулевых начальных условиях называется матричной передаточной функцией и обозначается

(2.26)

(2.26)

Она представляет собой матрицу со следующими компонентами:

(2.27)

где - скалярные передаточные функции, которые представляют собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях

Собственными передаточными функциями i -го канала называются компоненты передаточной матрицы , которые находятся на главной диагонали. Составляющие, расположенные выше или ниже главной диагонали, называются передаточными функциями перекрестных связей между каналами.

Обратная матрица находится по выражению

(2.28)

где - присоединенная матрица. Как следует из (2.28), все скалярные передаточные функции, которые являются элементами передаточной матрицы (2.27), содержат одинаковый знаменатель - det (pI-A). Он называется характеристическим полиномом и имеет n -ый порядок.

Если теперь характеристический полином приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение системы,

Пример 2.6.

Определить передаточную матрицу для объекта

где

Воспользуемся выражением для передаточной матрицы (2.27) и найдем предварительно обратную матрицу (2.29). Здесь

Транспонированная матрица имеет вид

a det(pI-A) = p -2p+1,.

где - транспонированная матрица. В результате получим следующую обратную матрицу:

и передаточную матрицу объекта

Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида

(2.30)

Используя оператор дифференцирования, запишем уравнение (2.30) в символической форме и найдем передаточную функцию как отношение выходной величины к входной:

,

(2.31)

где - характеристический полином.

Передаточные функции принято записывать в стандартной форме:

,

(2.32)

где - коэффициент передачи;

Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона-Хевисайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между входными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.26) или функцию (2.31).

Для того, чтобы в дальнейшем различать преобразования дифференциальных уравнений, будем использовать следующие обозначения:

- оператор дифференцирования;

- оператор преобразования Лапласа.

Получив одну из динамических характеристик объекта, можно определить все остальные. Переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям и обратно осуществляется с помощью оператора дифференцирования p.

Рассмотрим взаимосвязь между переходными характеристиками и передаточной функцией. Выходная переменная находится через импульсную функцию в соответствии с выражением (2.10),

Подвергнем его преобразованию Лапласа,

,

и получим y(s) = g(s)u(s). Отсюда определим импульсную функцию:

(2.33)

Таким образом, передаточная функция - есть преобразование по Лапласу от импульсной функции.

Пример 2.7.

Определить передаточную функцию объекта, дифференциальное уравнение которого имеет вид

Используя оператор дифференцирования d/dt = p, запишем уравнение объекта в символической форме

на основании которого определим искомую передаточную функцию объекта

Модальные характеристики

Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.6) или, другими словами, отражают свойства автономной системы типа (2.12)

(2.34)

(2.34)

Будем искать ее решение в виде экспоненты

(2.35)

где - скалярная экспонента, - вектор начальных условий.

Подставляя решение (2.35) в исходное уравнение (2.34), после преобразований получим

.

(2.36)

Система уравнений (2.36) будет иметь ненулевое решение относительно , если

.

(2.37)

Уравнение (2.37) называется характеристическим и имеет n -корней , которые называются собственными значениями матрицы A. При подстановке собственных значений в (2.37) получим

.

где - собственные векторы,

Совокупность собственных значений и собственных векторов представляет собой модальные характеристики системы.

Для (2.34) могут существовать лишь следующие экспоненциальные решения

(2.38)

которые называют модами. В случае, когда собственные значения вещественные и различные по значениям, полное решение системы (2.34) представляет собой линейную комбинацию мод:

.

(2.39)

Для получения характеристического уравнения системы достаточно общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции) приравнять нулю (2.29).

Частотные характеристики

Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики. Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:

, n >= m.

(2.40)

Формально обобщенная частотная характеристика может быть получена из передаточной функции заменой p на

(2.41)

и представлена в виде

.

(2.42)

Составляющие обобщенной частотной характеристики имеют самостоятельное значение и следующие названия:

• вещественная частотная характеристика (ВЧХ),
• мнимая частотная характеристика (МЧХ),
• амплитудная частотная характеристика (АЧХ),
• фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Частотная характеристика по выражению (2.42) может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу , при изменении от 0 до прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Рис.2.6. Пример амплитудно-фазовой характеристики системы

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - графическое отображение зависимости сдвига по фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты,

Для определения числитель и знаменатель W(j ) разлагаются на множители не выше второго порядка

,

тогда , где знак "+" относится к i=1,2,...,l (числителю передаточной фунции), знак "-" -к i=l+1,...,L (знаменателя передаточной функции).

Каждое из слагаемых определяется выражением

где .

Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигнала. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Помимо рассмотренных частотных характеристик в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Построенная в логарифмическом масштабе АЧХ, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)

,

(2.43)

Эта величина выражается в децибелах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть , выраженную в декадах (дек).

Рис.2.7. Пример логарифмической амплитудной частотной характеристики

В логарифмическом масштабе может быть изображена также и ФЧХ:

Рис.2.8. Пример логарифмической фазовой частотной характеристики

Пример 2.8.

ЛФХ, реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы, передаточная функция которой имеет вид:

.

(2.44)

.

Рис. 2.9. Реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы

.

Рис. 2.10. ЛФХ системы

СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД

3.1. Введение

3.2. Пропорциональное звено (усилительное, безынерционное)

3.3. Дифференцирующее звено

3.4. Интегрирующее звено

3.5. Апериодическое звено

3.6. Форсирующее звено (пропорционально - дифференцирующее)

3.7. Звено 2-го порядка

3.8. Структурные преобразования

3.8.1. Последовательное соединение звеньев

3.8.2. Параллельное соединение звеньев

3.8.3. Обратная связь

3.8.4. Правило переноса

3.9. Переход от передаточных функций к уравнениям состояния с пользованием структурных схем

3.10. Область применимости структурного метода

Введение

Для расчета различных систем автоматического управления их обычно разбивают на отдельные элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка. Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их относят к определенным классам, называемым типовыми звеньями.

Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может быть получена как на основе дифференциальных уравнений (раздел 2), так и передаточных функций. Данный способ и составляет суть структурного метода.

Предварительно рассмотрим подробнее типовые звенья, из которых состоят системы автоматического управления.

Пропорциональное звено

(усилительное, безынерционное)

Пропорциональным называется звено, которое описывается уравнением

Передаточная функция звена следующая:

,

(3.2)

а соответствующая ей структурная схема приведена на рис. 3.1.

Рис.3.1. Структурная схема пропорционального звена

Переходная характеристика (реакция звена на скачкообразное входное воздействие) имеет вид: h(t) = k 1(t).

Импульсная функция имеет вид:

g(t) = k .

Модальные характеристики (собственные значения и собственные векторы) для пропорционального звена отсутствуют.

Заменив в передаточной функции p на j получим следующие частотные характеристики:

Рис.3.2 ВЧХ пропорционального звена

- амплитудно-фазовую: W (j ) k, - вещественную частотную характеристику: R()=k, - мнимую частотную характеристику, I()=0.

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) определяется соотношением:

(3.3)

и имеет тот же вид, что и ВЧХ. Выражение для ФЧХ:

.

(3.4)

Это означает, что амплитуда периодического входного сигнала усиливается в k - раз, а фазовый сдвиг отсутствует.

Рис.3.3 АФХ пропорционального звена

АФХ звена имеет вид точки на комплексной плоскости (рис. 3.3). ЛАЧХ звена представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс:

L()=20lg[A()]=20lg(k)

(3.5)

Рис.3.4 ЛАЧХ пропорционального звена

Как видим (3.3.), (3.4.), пропорциональное звено пропускает входные сигналы без искажений.

Дифференцирующее звено

Дифференцирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением:

y = k .

(3.6)

Его передаточная функция имеет вид:

Рис.3.5. Переходная характеристика звена

Переходная характеристика дифференцирующего звена: h(t) = k (t- ).

Рис.3.6. Импульсная характеристика

Импульсная функция имеет вид g(t) = k (t- ). (3.8)

Получим теперь частотные характеристики звена.

АФХ: W(j ) = j k , совпадает с положительной мнимой полуосью на комплексной плоскости;

ВЧХ: R() = 0,

МЧХ: I() = k ,

АЧХ: ,

ФЧХ: ,то есть для всех частот звено вносит постоянный фазовый сдвиг;

Рис.3.7. ЛАЧХ дифференцирующего звена

ЛАЧХ: L()=20lg(k )= 20lg(k)+20lg(). (3.9) Как видно из графика рис.3.7, дифференцирующее звено усиливает высокочастотные сигналы.

Интегрирующее звено

Это звено, уравнение которого имеет вид:

.

(3.10)

От интегрального перейдем к дифференциальному уравнению звена

,

(3.11)

а затем к его передаточной функции

.

(3.12)

Переходная характеристика звена имеет вид:

,

(3.13)

а импульсная функция -

.

(3.14)

Определим частотные характеристики интегрирующего звена.

АФХ: ; ВЧХ: ; МЧХ: ; АЧХ: ; (3.15) ФЧХ: .

Звено имеет постоянный фазовый сдвиг, который не зависит от частоты.

АФХ интегрирующего звена изображается на комплексной плоскости и имеет вид, представленный на рис.3.8.

Рис.3.9. ЛАЧХ интегрирующего звена

Получим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику: (3.16) она имеет вид прямой на плоскости (рис.3.9).

Характеристическое уравнение

A(p) = p = 0

имеет единственный корень, , который представляет собой модальную характеристику интегрирующего звена.

Апериодическое звено

Апериодическим называется звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид

.

(3.17)

Перейдем к его стандартному описанию, для чего разделим обе части (3.17) на коэффициент a₀,

,

(3.18)

где , - коэффициент передачи звена.

Заменив в (3.18) d/dt на p, перейдем к символической записи дифференциального уравнения,

и определим передаточную функцию апериодического звена:

.

(3.20)

Рис.3.10. Переходная характеристика

Его переходную характеристику можно найти как решение уравнения (3.18) при u=1(t) и y(0)=0, h(t) = k(1- )·1(t). (3.21)

Рис.3.11. Импульсная функция

Импульсную функцию вычислим по соотношению: g(t)= (t)= ·1(t). (3.22)

Для определения модальных характеристик запишем характеристическое уравнение звена

и вычислим его корень р = -1/Т.

Выражение, соответствующее АФХ апериодического звена имеет вид:

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

.

(3.24)