Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Логарифмическая форма критерия Найквиста





Для проверки устойчивости замкнутой системы можно использовать логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы, которые строятся почти без вычислений.

Формулировка критерия Найквиста. Для замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на частотах, где ЛАЧХ положительна (то есть L( ) > 0), фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не пересекала прямую параллельную оси абсцисс и проходящую через значение (- ) или пересекала ее четное число раз.

Риc.4.18. Логарифмические частотные характеристики, иллюстрирующие критерий Найквиста Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если на той же частоте, где , фазовая частотная характеристика разомкнутой системы принимает значение ( ).

Основные понятия и определения

Поскольку при составлении математической модели делается ряд допущений, то параметры реальной системы несколько отличаются от расчетных (номинальных). Кроме того, с течением времени они могут изменяться в некотором диапазоне, но при этом свойство устойчивости должно сохраняться. Поэтому для нормальной работы система должна обладать определенным запасом устойчивости.

Рассмотрим линейную стационарную систему общего вида

и соответствующее ей характеристическое уравнение

det(pI - A) = 0 ,

которое имеет n корней

Рис.4.19. Область устойчивости системы Определение: областью устойчивости по параметрам будем называть множество матриц A, для которых выполняется общее условие устойчивости, Re (A) < 0 . На практике обычно речь идет об изменении одного - двух параметров системы.

Определение: критическими (граничными) будем называть такие значения матриц A, при которых система находится на границе устойчивости, Re (A) = 0.



<P< p>

Определение: запасом устойчивости называется диапазон значений параметра от номинального до граничного.

Частотные оценки запаса

Частотные запасы устойчивости характеризуют, в соответствии с критерием Найквиста, удаление амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы от критической точки с координатами {-1, j0}.

Риc.4.20. Определение запасов устойчивости по АФХ Запас устойчивости по амплитуде (h) показывает, насколько можно увеличить амплитуду без потери устойчивости системы. Запас устойчивости по фазе ( ) показывает, насколько можно изменить фазу системы без потери ею устойчивости,

 

. (4.34)

Аналогичные запасы устойчивости можно определить и по логарифмическим характеристикам системы.

Риc.4.21. Определение запасов устойчивости по логарифмическим характеристикам Здесь запас устойчивости по модулю обозначают как L и измеряют в децибеллах [дБ]. Он определяется на частоте, где фазовая частотная характеристика достигает значения - . Запас устойчивости по фазе обозначают как , он определяется на частоте , где ,

 

(4.35)

Экспериментально установлено, что имея следующий запас устойчивости:

, (4.36)

система будет хорошо демпфирована.

 

Корневые оценки

Риc.4.22. Процессы в системах с разным запасом устойчивости Склонность системы к неустойчивости выражается в большой колебательности процессов, следовательно, процесс 2 на рис.4.22 соответствует системе с меньшим запасом устойчивости.

Вид процессов в системе определяется корнями характеристического уравнения согласно выражения (4.12), причем колебательный характер придают комплексно - сопряженные корни:

где вещественная часть ( ) определяет скорость затухания, а мнимая часть корней ( ) - частоту затухания.

Рис.4.23. Распределение корней в системе Пара корней с самым широким сектором будет давать составляющую процесса с наибольшими колебаниями, поэтому в качестве оценки устойчивости используем величину:
(4.37)
   

 

которая может изменяться в диапазоне . Чем меньше (то есть больше мнимая часть корня), тем ближе система к границе устойчивости. При она находится на границе устойчивости, если же , система будет абсолютно устойчива.

Таким образом, корневая оценка запаса устойчивости характеризует, насколько можно изменять корни характеристического уравнения без потери системой устойчивости.

Обычно такая оценка используется на этапе проектирования, так как ее трудно связать с параметрами реальной САУ (коэффициентом усиления, постоянными времени, коэффициентом демпфирования).

Метод D-разбиения

На практике бывает необходимо знать не только запас, который можно оценить с помощью какого - либо критерия устойчивости, но и всю область устойчивости по параметрам. Этой цели служит метод D - разбиения, позволяющий построить такую область в плоскости одного или двух параметров.

Рассмотрим сначала этот метод для одного параметра D, который входит в характеристическое уравнение системы линейно:

A(p) = N(p) + D M(p) = 0. (4.38)

В (4.38) заменим p на j и получим уравнение

(4.39)

соответствующее границе устойчивости согласно критерию Михайлова (условие (4.24)). Разрешим его относительно D

(4.40)

Полученное комплексное представление параметра D позволяет изобразить его в виде вектора на плоскости Конкретное численное значение D(j ) зависит от частоты, и при изменении в диапазоне от - до + конец вектора выписывает на комплексной плоскости кривую D - разбиения, представляющую собой границу устойчивости (ее можно рассматривать также как отображение мнимой оси плоскости корней).

Риc.4.24. Иллюстрация построения кривой D - разбиения Эта кривая симметрична относительно вещественной оси, поэтому достаточно построить ее часть, соответствующую положительным значениям частоты, а вторую часть получить отображением относительно вещественной оси.

Кривая D разбивает плоскость параметра на несколько областей с различным условием устойчивости, для определения которого необходимо выбрать по одному значению D в каждой из них и проверить устойчивость с помощью какого-либо критерия. Если система устойчива при выбранном D, то она будет устойчива и при других значениях из этой области.

Обычно в качестве параметра D фигурирует реальный параметр системы (коэффициент передачи, постоянная времени, момент инерции и так далее), который может иметь только вещественные значения. Представление его комплексным выражением D(j ) носит формальный характер, а область устойчивости ограничивается отрезком вещественной оси.

Метод D - разбиения применим и в случае построения области устойчивости для двух параметров и , которые входят линейно в характеристическое уравнение

A(p, ) = 0. (4.41)

В этом случае уравнение границы устойчивости

A(j , ) = 0 (4.42)

распадается на два независимых уравнения, соответствующих равенству нулю вещественной и мнимой части (4.42)

(4.43)

Эти два уравнения параметрически задают кривую D - разбиения. Область устойчивости определяется аналогично случая одного параметра D.

Пример 4.8.

Определить область устойчивости системы по коэффициенту усиления.

Рис.4.25. Структурная схема системы

Определим передаточную функцию замкнутой системы

и запишем ее характеристическое уравнение

Здесь k - параметр, по которому строится область устойчивости, поэтому обозначим его через D. Разрешим характеристическое уравнение относительно D и сделаем замену В результате получим уравнение для кривой D - разбиения:

Вычислим значения вещественной и мнимой части D( ) при конкретных положительных значениях частоты и занесем их в таблицу.

Для построения кривой D - разбиения при отрицательных значениях частоты полученную половину D(j ) отобразим относительно оси абсцисс.

Риc.4.26. Кривая D - разбиения для исследуемой системы

Как видим, кривая D - разбиения разделила плоскость параметра на две области. Выбираем по одному вещественному значению D в каждой из них и оцениваем устойчивость системы второго порядка, необходимым и достаточным условием устойчивости которой является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Следовательно, первая область - есть область устойчивости (-1 < k < ).

АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

5.1. Введение

5.2. Показатели качества переходного процесса

5.2.1. Ошибка регулирования

5.2.2. Быстродействие

5.2.3. Перерегулирование

5.2.4. Интегральные оценки

5.3. Анализ статических режимов

5.3.1. Статические системы

5.3.2. Астатические системы

5.3.3. Следящие (позиционные) системы

5.4.Частотный метод анализа

5.4.1. Введение

5.4.2. Взаимосвязь между частотной характеристикой и импульсной переходной функцией

5.4.3. Взаимосвязь между частотной и переходной характеристиками

5.4.4. Оценки качества переходного процесса по вещественной частотной характеристике

5.4.5. О начальном участке переходной характеристики

5.5.Корневой метод анализа

5.5.1. Введение

5.5.2. Корневые оценки переходного процесса

5.6.Анализ систем низкого порядка

5.6.1. Система 1-го порядка

5.6.2. Система 2-го порядка

5.6.3. Система 3-го порядка

Введение

Работа системы автоматического управления помимо устойчивости оценивается рядом качественных показателей, основными из которых являются точность отработки входных воздействий и характер переходных процессов.

Рис.5.1. К постановке задачи анализа В общем случае задача анализа формулируется следующим образом: при известной структуре системы, заданной передаточной функцией W(р) или матрицами {A,B,C}, и известном входном воздействии v необходимо оценить

переходные процессы на выходе, то есть определить y(t).

Переходным называется процесс, который соответствует переходу системы от одного установившегося режема к другому при каких-либо воздействиях.

При известной математической модели и начальных условиях

 
(5.1)
 

можно рассчитать переходные процессы, используя соотношение:

(5.2)

Здесь первое слагаемое есть реакция на начальные условия, второе - на входное воздействие.

Однако, напрямую для системы высокого порядка трудно вычислять y(t) по выражению (5.2); еще сложнее оценивать влияние отдельных параметров на качество переходных процессов.

Поскольку в реальных системах закон изменения действующих на объект возмущений и помех измерения заранее не известен, рассматривают реакцию САУ на некоторые типовые воздействия, близкие к реальным. Относительно тяжелым для отработки является единичное ступенчатое воздействие, и если удается обеспечить определенное качество при подобном входном сигнале, то система будет удовлетворительно работать и при других воздействиях.

О качестве работы САУ можно судить по косвенным признакам, которые называются показателями качества переходного процесса и определяются без непосредственного расчета переходного процесса.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.