Методы интегрирования уравнений движения. Ошибки моделирования.

Алгоритмы интегрирования основаны на методах конечных разностей, которые дискретизируют время на малые, но конечные интервалы с шагом . Зная позиции и скорости частиц в момент времени , эти алгоритмы позволяют вычислять эти величины в момент времени . Путем итерации этой процедуры, можно исследовать эволюцию системы в течение длительного промежутка времени.

Все подобные численные схемы интегрирования, конечно, приблизительны. Соответственно, имеются ошибки, которые могут быть подразделены на два вида:

а) Ошибки отбрасывания (усечения), связанные с неточностью метода конечных разностей по сравнению с истинным решением. Методы конечных разностей основаны на разложении в ряд Тейлора, усеченный на некотором члене, откуда и происходит название ошибок. Эти ошибки не зависят от реализации метода – они присущи алгоритму.

б) Ошибки округления, связанные с реализацией алгоритма. Например, они связаны с конечным числом цифр в представлении числа в компьютере.

Ошибки обоих видов уменьшаются при уменьшении шага по времени . При больших доминирующими являются погрешности усечения, но они могут быстро уменьшаться с уменьшением (пропорционально различным степеням в зависимости от алгоритма интегрирования). Погрешности же округления уменьшаются с медленнее, поэтому при малых они составляют основную часть погрешностей.

Имеются два популярных метода интегрирования, используемых в МД: алгоритм Верле (Verlet) и алгоритм предиктор-корректор.

Алгоритм Верле, возможно, самый популярный в МД. Он вытекает из разложения радиуса-вектора частиц в два момента времени, и , в ряд Тейлора до третьей степени по . Учитывая, что первая производная по времени есть скорость , а вторая – ускорение , эти разложения можно записать в виде

,

.

Складывая эти два уравнения, получим

.

Это и есть алгоритм Верле.

Задание начальных положений и скоростей.

Понимание статистических законов и умение пользоваться ими является ключевым моментом при изучении молекулярной физики. К сожалению, формула Максвелла распределения молекул по скоростям и по проекциям скоростей и формула Эйнштейна для броуновского движения в школьном учебнике либо не даются вовсе, либо представлены без вывода.
Однако использование простейших численных алгоритмов позволяет получить эти зависимости с помощью компьютера.
Применение компьютерного моделирования:
1) - вызывает больше доверия к приведенным в учебнике формулам;
2) - позволяет лучше понять характер статистических законов, уяснить какое число молекул в газе можно считать "большим";
3) - позволяет оценить характерные времена установления динамического равновесия в статистической системе.
Нами было проведено моделирование статистического распределения молекул по скоростям и броуновского движения для идеального газа. Полученные результаты были сравнены с теорией.

Формулы
Теоретическое распределение молекул по компонентам скоростей описывается формулой:

Распределение по скоростям для двумерного газа:

Распределение по скоростям для трехмерного газa:

Описание физической модели
В качестве модели выбрана система со следующими предположениями:
1. Система состоит из большого количества одинаковых молекул, заключенных в замкнутом объеме. Массы молекул приняты равными единице.
2. В течение небольших интервалов времени молекулы движутся равномерно и прямолинейно.
3. Взаимодействия между молекулами и стенками упругие.
4. Взаимодействия между молекулами проявляются только при соударениях (когда расстояния между ними меньше заданного расстояния).
5. При соударении двух молекул их скорости меняются случайным образом (с учетом выполнения законов сохранения импульса и энергии).
6. Не рассматриваются столкновения одновременно трех и больше молекул.
7. Начальные условия: одинаковые значения и произвольные направления скоростей у одной половины молекул и такие же по значению, но противоположные по направлению скорости у другой половины молекул (для задания суммарного импульса системы равным нулю).
8. Броуновская частица представляет собой квадрат (в трехмерном случае - куб).
9. Броуновская частица имеет массу много больше массы молекулы, поэтому столкновение молекулы с броуновской частицей рассматривается как столкновение молекулы с упругой стенкой.
10. Броуновская частица движется поступательно (не вращается).

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: