|
|
Расчет атомных напряжений в молекулярной динамикеНапряжения – это, вообще говоря, понятие механики сплошной среды. Однако оказывается, что на атомном уровне также можно ввести напряжения, которые в пределе, при усреднении по большим атомным системам, согласуются с континуальным понятием напряжений. Понятие о напряжениях было введено ранее при расчете упругих констант с помощью парных потенциалов. Здесь мы рассмотрим это понятие более подробно. Вначале вкратце вспомним макроскопические понятия о тензорах деформаций и напряжений. Когда твердое тело деформируется, радиусы-векторы его частиц (в континуальном приближении – бесконечно малых объемов, рассматриваемых как материальные точки) получают приращения, называемые векторами смещения:
При неоднородной деформации смещения зависят от координат. В линейной теории упругости, когда смещения малы, относительная деформация характеризуется тензором второго ранга, который называется тензором деформаций:
где греческие верхние индексы обозначают компоненты векторов смещения и радиуса-вектора (для удобства дальнейшего изложения, мы будем пользоваться верхними греческими индексами для обозначения компонент векторов и тензоров, оставляя нижние латинские индексы для нумерации частиц). Тензор напряжений вводится как тензор, компонент которого
где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Энергия деформированного твердого тела в единице объема определяется соотношением
Отсюда следует, что тензор напряжений может быть определен как тензор с компонентами
Именно это соотношение положено в определение напряжений и на атомном уровне. С точки зрения атомизма, потенциальная энергия твердого тела определяется суммой энергий отдельных ее частиц:
Средние по системе напряжения тогда определяются как
По полной аналогии с этим, локальное напряжение около атома i (атомное напряжение) определяется следующим соотношением:
где вместо объема системы V теперь используется атомный объем В приближении парного взаимодействия энергия атома равна
При деформации, описываемой тензором
где снова по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, а значения функции
Отсюда легко определить атомное напряжение у атома i:
При выводе последней части этой формулы было использовано соотношение
При использовании МПА выражения для тензора напряжений несколько более сложные, но их расчет также не представляет больших трудностей. Из выражения (4.27) видно, что для расчета локального напряжения в месте расположения данного атома необходимо знать объем, который он занимает. Когда атом расположен в бездефектной части материала, этот объем достаточно хорошо определен, и его можно определить, например, построением полиэдров Вороного. Однако вблизи дефектов, таких как трещины, поверхность, локальный объем плохо определен, и в этих местах невозможно определить напряжения. В отличие от напряжений, величины
  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
. (4.16)
, (4.17)
представляет собой силу в направлении оси a, действующую на единицу площадки с нормалью вдоль оси b. В линейной теории упругости тензоры напряжений и деформаций связаны законом Гука
, (4.18)
. (4.19)
. (4.20)
. (4.21)
. (4.22)
, (4.23)
.
. (4.24)
, межатомные расстояния 
испытывают изменения, компоненты которых равны 
, то есть 
, где 
‑ недеформированный радиус-вектор. Потенциальная энергия атома может быть разложена в ряд Тейлора по малым смещениям в окрестности недеформированных значений 
, (4.25)
и ее производной рассчитываются при равновесных расстояниях. При малых деформациях этот ряд обрывается в первом приближении. Член нулевого приближения есть энергия системы в недеформированном состоянии, а первого приближения – упругая энергия. Используя соотношение 
. (4.26)
. (4.27)
. (4.28)
всегда однозначно определены, и, как правило, программы МД выводят значения именно этих величин.