|
|
Необходимый признак сходимости⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 11 Теорема 1 (необходимый признак сходимости). Если ряд
Замечание. Данная теорема выражает лишь необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда. Если
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Теорема 2 (первый признак сравнения). Пусть
для всех номеров n, начиная с некоторого номера n = k. Тогда: 1. Если ряд 2. Если ряд Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения: 1. Геометрический ряд 2. Гармонический ряд 3. Обобщенный гармонический ряд Теорема 3 (предельный признак сравнения). Пусть
то ряды одновременно сходятся, либо расходятся. Теорема 4 (признак Даламбера). Пусть
Тогда, если: 1) q <1, то данный ряд сходится; 2) q >1, то данный ряд расходится; 3) q =1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. данный ряд может сходиться, а может расходиться. В этом случае рекомендуется дополнительное исследование с помощью других признаков. Замечание. Если Теорема 5 (радикальный признак Коши). Пусть
Тогда, если: 1) q <1, то данный ряд сходится; 2) q >1, то данный ряд расходится; 3) q =1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. данный ряд может сходиться, а может расходиться. В этом случае рекомендуется дополнительное исследование с помощью других признаков. Замечание. Если Теорема 6 (интегральный признак сходимости). Пусть ряд Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
где Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости. Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (5) сходится, если выполняются следующие условия: 1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е.
2. Общий член ряда стремится к нулю: При этом сумма S ряда (5) удовлетворяет неравенствам:
Замечание. Исследование знакочередующегося ряда вида
сводится путем умножения всех его членов на (–1) к исследованию ряда (5).
Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Определение. Числовой ряд Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости. Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд
Если сходится ряд
составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд (6). Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд (6), то это не означает, что будет сходиться ряд (7). Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов Определение. Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным:
Придавая x определенное значение
который может быть как сходящимся так и расходящимся. Если полученный числовой ряд сходится, то точка Определение. Совокупность числовых значений аргумента x, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее употребительными в математике и ее приложениях являются степенные ряды вида:
или более общего вида
Действительные числа Теорема (Абеля). 1) Если степенной ряд сходится при значении Из теоремы Абеля следует, что существует такое число Радиус сходимости определяется по формулам
если указанные пределы существуют.
Замечание. Если R =0, то интервал сходимости такого ряда вырождается в точку. Если же Ряды Тейлора и Маклорена Как известно, для любой функции f (x), определенной в некоторой окрестности точки
где
где
многочлен Тейлора. Если функция f (x) имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки
Если в ряде Тейлора положить
Для разложения функции f (x) в ряд Маклорена нужно: a) найти производные б) вычислить значения производных в точке в) написать разложение (13) для заданной функции и найти его интервал сходимости. Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:
  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
сходится, то его общий член стремится к нулю при 
, т. е.
. (4)
, то ряд 
– ряды с положительными членами, причем
– сходится при 
, расходится при 
;
– расходится;
– сходится при 
, расходится при 
.
,
.
, то ряд расходится.
.
, то ряд расходится.
. Тогда, если соответствующая функция f (x) – положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке 
, то
сходятся или расходятся одновременно.
, (5)
для всех 
(т. е. ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки).
;
.
.
, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.
. (6)
, (7)
. (8)
, мы получим числовой ряд
,
. (9)
называются коэффициентами ряда.
, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях x таких, что 
. 2) Если степенной ряд расходится при 
, то он расходится при всех значениях x таких, что 
.
, что при всех 
ряд сходится, а при 
– расходится. Число R называется радиусом сходимости, а нтервал (– R, R) – интервалом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т. е. при x =– R и x = R, ряд может как сходиться, так и расходиться.
или 
, (10)
, то интервал сходимости совпадает со всей числовой прямой.
и имеющей в ней производные до (n +1 ) -го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:
(11)
остаточный член в форме Пеано. Формулу (11) кратко можно записать в виде:
–
при 
, то из формулы Тейлора получается разложение функции f (x) по степеням 
, называемое рядом Тейлора:
, то получим разложение функции f (x) по степеням x в так называемый ряд Маклорена:
. (13)
;
;
;