Общий случай построения точек пересечения прямой с поверхностью вращения.

В общем случае для решения задачи по определению положения проекций точек пересечения прямой с поверхностью вращения необходимо выполнить построения в следующей последовательности:

1) заключить данную прямую линию во вспомогательную плоскость; вспомогательную плоскость стремятся выбрать так, чтобы она пересекала поверхность по линии, простейшей для построения на чертеже. Желательно, чтобы это были прямые или окружности.

2) построить линию пересечения этой вспомогательной плоскости с заданной поверхностью.

3) отметить точки, в которых пересекаются полученная линия пересечения и заданная прямая.

Частные способы построения точек пересечения прямой с поверхностью вращения.

На рисунке 1 показано пересечение прямой АВ с поверхностью конуса вращения.

Чтобы найти точки пересечения, горизонтальная прямая АВ заключена в плоскость γ, которая, как и прямая, параллельна плоскости π ₁, то есть вспомогательная плоскость перпендикулярна оси конуса. В данном случае линией пересечения является направляющая поверхности вращения.

По наглядному изображению выполнен чертеж с указанием проекций точек пересечения М и N прямой АВ с конусом, а также показана видимость прямой. Прямая АВ пересекает конус в передней части, поэтому как на фронтальной, так и на горизонтальной проекциях будет невидимым только участок в промежутке от точки М до точки N.

Рис. 1

Иногда показ вспомогательной плоскости излишен. На рисунке 2 даны примеры, в которых это чётко видно.

Рис. 2

Прямой круговой цилиндр, ось которого перпендикулярна к плоскости π ₁, пересекается прямой АВ(рис. 2, слева).

В этой задаче прямую можно заключить в горизонтально-проецирующую вспомогательную плоскость, котораябудет проходить через ось цилиндра; В этом случае цилиндр и конус будут пересекаться этой плоскостью по образующим, пересечение которых с прямой АВ и определит положение искомых точек пересечения К и М.

Таким образом, вспомогательную плоскость, проводимую через прямую при пересечении ею какой-либо поверхности вращения, следует выбирать так, чтобы получались простейшие сечения.

Рассмотрим пример, данный на рисунке 3.

Здесь для нахождения точек пересечения прямой ВС с поверхностью конуса взята вспомогательная плоскость α(BC∩SN), не проходящая через ось поверхности вращения.Она заданнапересекающимися прямыми BC и SN(причем SN – горизонталь плоскости α.) и проходит через вершину конуса S.

Рис. 3

Для построения образующих, по которым плоскость α пересекает конус, надо найти ещё по одной точке для каждой образующей, кроме точки S. Эти точки найдены в пересечении следа плоскости α, полученного на плоскости основания конуса, с окружностью этого основания.

Для построения горизонтального следа h′_oα взята вспомогательная прямая SN – горизонталь плоскости α и найден горизонтальный след прямой ВС – H′. h′_oα проходит через точку Н′ параллельно проекции S′N′. Через точки 1′, 1′′ и 2′, 2′′ пройдут искомые образующие. Точки К₁ и К₂ являются точками входа и выхода при пересечении прямой ВС с поверхностью конуса.

Если поверхность вращения пересечена прямой общего положения, пересекающейся с осью вращения данной поверхности, то задачу решают способом вращения.

Например, на рисунке 4 показано построение точек пересечения прямой m с поверхностью тора.

Прямую m и тор рассматривают как одно целое и при этом вращают вокруг оси тора до того положения прямой, когда она становится параллельной плоскости π₂. Далее задачу решают общим способом.

Рис. 4

Для определения точек пересечения прямой с поверхностью вращения можно применить способ замены плоскостей проекций.

На рисунке 5 показано построение точек пересечения прямой m с поверхностью сферы способом замены плоскостей проекций.

Решая задачу способом замены плоскостей проекций необходимо выполнить следующее:

1. заменить систему π ₁, π ₂ на новую так, чтобы прямая общего положения в данной системе стала прямой уровня в новой системе плоскостей проекций, так прямая m общего положения стала фронтальной прямой в системе π ₁, π ₃ (рис.5);

2. прямую m в новой системе необходимо заключить во фронтальную плоскость γ;

3. построить линию пересечения вспомогательной плоскости γ со сферой(в сечении получится окружность а);

4. на пересечении прямой m и построенной линии пересечения будут определены искомые точки К и L.

Рис. 5

Контрольные вопросы

1. В чем заключается общий случай нахождения точек пересечения прямой с поверхностью вращения?

2. Частные случаи построения точек пересечения прямой с поверхностью вращения.

Рекомендуемая литература

1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.

1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2009. – 272 с.:ил.

4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.

Лекция №12

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: