Проектирование фильтров по рабочим параметрам

Основные преимущества:

1. Электрический фильтр получается с меньшим числом элементов

2. Выполнение требований по рабочему ослаблению более гарантировано

3. Разработана общая методика расчета

Рассмотрим реактивный двусторонне нагруженный электрический фильтр:

Рабочая мера передачи данного фильтра определяется соотношением:

,

[Нп], [дБ].

– активная максимальная мощность источника.

– активная мощность, передаваемая от источника после фильтра в нагрузку.

Из-за несогласованности входного сопротивления с внутренним сопротивлением генератора выделяется мощность меньше максимальной на мощность отражений , тогда можно записать:

.

Введем понятие модуля коэффициента отражения от входа фильтра :

, – комплексный коэффициент отражения.

Введем понятие модуля рабочей передаточной функции :

,

– комплексная рабочая передаточная функция.

Введем понятие модуля функции фильтрации: .

Установим связь между рабочей передаточной функцией, модулем коэффициента отражения и функции фильтрации.

, , следовательно .

Поскольку:

[дБ].

Модуль функции фильтрации в ПП должен иметь небольшое значение, а в ПЗ большое.

Этапы синтеза электрических фильтров по рабочему ослаблению.

Синтез (проектирование) электрического фильтра по рабочему ослаблению состоит из следующих этапов: аппроксимации, реализации, проверочного расчета и исследования.

На этапе аппроксимации необходимо получить аналитическое выражение для рабочей передаточной функции, удовлетворяющей УФР.

При расчетах используют два вида аппроксимации:

1. Аппроксимация по Тейлору: аппроксимирующая функция совпадает с исходной в одной точке, в остальных монотонно отклоняется не более чем на заданную величину ∆.

2. Аппроксимация по Чебышеву: аппроксимирующая функция колеблется относительно исходной, отклоняясь на заданную величину ∆ в некотором интервале, а в не его резко отклоняется.

При проектировании фильтров по рабочему ослаблению на этапе аппроксимации задают функцию фильтрации. В зависимости от вида функции фильтрации получают различные типы фильтров.

Если в качестве функции фильтрации используются полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди полиномиальных фильтров широко используются:

Ø фильтры Баттерворта (в качестве функции фильтрации полиномы Баттерворта)

Ø фильтры Чебышева (в качестве функции фильтрации полиномы Чебышева)

Если в качестве функции фильтрации используется дробно-рациональная функция, например, дробь Золотарева-Кауэра, то имеем фильтр Золотарева-Кауэра.

На этапе реализации по найденной рабочей передаточной функции определяется схема фильтра и величины ее элементов.

Технические требования, предъявляемые к фильтрам:

1. граничные частоты ПП и ПЗ

2. максимальное допустимое ослабление в ПП (или коэффициент отражения)

[дБ].

3. минимальное допустимое ослабление в ПЗ

4. сопротивление нагрузки

Функция фильтрации

В теории электрических фильтров фильтры описываются передаточной функцией вида:

(1)

При этом рабочее ослабление при использовании нормированной частоты

(2)

Здесь – нормированная частота, а - нормирующая частота. Обычно в качестве нормирующей выбирают граничную частоту полосы пропускания ω₂.

Функция называется функцией фильтрации, а - коэффициентом неравномерности ослабления. В общем случае - дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами (в частности полином), удовлетворяющая условиям: в полосе пропускания и в полосе непропускания фильтра.

В зависимости от вида функции фильтрации получают различные типы фильтров. Если в качестве функции фильтрации используют полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди полиномиальных фильтров широкое использование нашли фильтры Баттерворта и Чебышева. Если - дробно-рациональная функция, например, дробь Золотарева, то получают фильтр Золотарева - Кауэра.

Следует отметить, что есть смысл подробно изучать только ФНЧ, т.к. другие типы фильтров могут быть легко получены из ФНЧ заменой (преобразованием) частоты.

Фильтры Баттерворта

Если в выражениях, описывающих квадрат АЧХ фильтра (1) и его рабочее ослабление (2), в качестве функции фильтрации используются полиномы Баттерворта , то такие фильтры называются фильтрами Баттерворта.

Из формул (1) и (2) следует, что для фильтров Баттерворта на частоте значение квадрата АЧХ равно единице, а рабочего ослабления – нулю. С ростом частоты квадрат АЧХ фильтра Баттерворта уменьшается и падает до нуля на бесконечно большой частоте. Рабочее ослабление плавно растет до бесконечно большого значения. Таким образом, выражения (1) и (2) приближенно воспроизводят характеристики идеального фильтра.

Чтобы эти характеристики «вписывались» в предъявляемые к фильтру требования, необходимо иметь рабочее ослабление (2) в полосе пропускания меньше ΔА= , а в полосе непропускания большее . Первому условию можно удовлетворить, если потребовать на граничной частоте полосы пропускания () выполнения равенства или . Отсюда с учетом (1) И (2) имеем , вычисляем коэффициент: (3),

который называется коэффициентом неравномерности ослабления в полосе пропускания фильтра. В этой формуле величина имеет размерность непер. Если воспользоваться значениями в дБ, то (4). 0 < ε Если ε=1, то А_Р=3 дБ.

С учетом введенных обозначений квадрат АЧХ фильтра Баттерворта запишется в виде:

Эта функция удовлетворяет свойствам квадрата АЧХ реальных ЧП, и поэтому ей можно сопоставить физически осуществимый фильтр.

Рабочее ослабление фильтра Баттерворта:

, дБ

, Нп Крутизна частотных характеристик зависит от степени n – порядка фильтра. Чем больше степень n, тем выше крутизна характеристики.

Таким образом, для удовлетворения требований в полосе непропускания необходимо выбрать соответствующий порядок фильтра n. Его легко определить из условия: на граничной частоте полосы непропускания Ω₃:

или . С учетом этого условия получаем: , откуда . Логарифмируя обе части неравенства, придем к окончательному выражению:

. Здесь Ω₃=ω₃/ω₂ Округление производится в большую сторону до целого числа.

Величина входит в формулу в неперах. Если вычислять ее в децибелах, то

.Фильтры Баттерворта называют также фильтрами с максимально плоским ослаблением в полосе пропускания.

где

Корни уравнения , лежащие в левой полуплоскости, принадлежат , являющемуся полиномом Гурвица. Следовательно, функция: удовлетворяет условиям физической реализуемости.

Эти корни определяются соотношениями:

и позволяют найти искомую передаточную функцию в виде:

. (3.7)

Рабочее ослабление нетрудно теперь получить через передаточную функцию на основании:

дБ.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: