ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛЕЙ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ

В теории пластичности широкое приме­нение получили приближенные методы построения линий сколь­жения при помощи численного интегрирования уравнений харак­теристик, которые детально разработаны в трудах В. В. Соколов­ского [37]. При этом координаты узловых точек сетки линий сколь­жения определяются в результате последовательного решения сово­купности системы конечно-разностных соотношений.

Если нанести в плоскости ху узловые точки с найденными коор­динатами и соединить их между собой, то получим два семейства ортогональных линий, образующих сетку линий скольжения. При достаточной густоте сетки можно считать, что в любой точке рассмат­риваемого сечения тела известны компоненты напряжений, скоростей и деформаций. Этим методом получены решения ряда классических задач плоской деформации (давление штампа на пластическое тело, сжатие и волочение пластической полосы и др.). Результаты расчета применительно к некоторым типовым видам сеток линий скольжения представлены в книге В. В. Соколовского [37] в виде таблиц, что облегчает их использование.

При рассмотрении разнообразных процессов обработки метал­лов давлением более предпочтительно пользоваться методом графи­ческого построения сеток линий скольжения, так как это построение приходится повторять многократно при решении каждой конкретной задачи. Его преимущество по сравнению с численным интегрированием заключается в том, что при этом отпадает необходимость в трудо­емких вычислениях.

Основы графических методов решения задач о пластическом равно­весии были даны в работах Р. Зауэра [7], В. Прагера и Ф. Ходжа [30]. В работах С. С. Голушкевича [5] графический метод развит применительно к решению сложных задач устойчивости сыпучей среды.

Излагаемый ниже метод графического построения сеток линий скольжения, примененный к решению сложных задач обработки металлов давлением, разработан П. И. Перлиным под руководством Л.А. Шофмана в исследованиях [29], проведенных во Всесоюзном научно-исследовательском институте технологии и машиностроения (ЦНИИТМАШ), а затем во Всесоюзном научно-исследовательском институте металлургического машиностроения (ВНИИМЕТМАШ).

Рис. 8.22.Графическое построение сетки линий скольжения

Его сущность заключается в замене плавных криволинейных линий скольжения ломаными линиями с постоянным углом между каждой парой смежных звеньев.

Рассмотрим метод графического построения сетки линий сколь­жения (фиг.8.22) для задачи Гурса, когда на двух взаимно-перпен­дикулярных линиях скольжения заданы краевые условия. На линии скольжения ОА = const, а на линии OB = const.

Разделим каждую линию на несколько частей так, чтобы углы между каса­тельными к ним в соседних точках были одинаковыми и равны заданной величине

Преобразуем плавные линии скольжения ОА и ОB в ломаные линии. Для этого проведем из точки О линию, составляющую угол с касательной к линии скольжения O А в точке 0, а из точки 1 опустим перпендикуляр на нее. Из полученной точки пересечения ( —значение величины в точке 1, определяемое из краевых усло­вий) проводим прямую линию под углом к отрезку О — а из точки 2 опускаем перпендикуляр на нее. Получаем точку пере­сечения . Продолжая построение, преобразуем криволинейную линию скольжения ОА в ломаную линию. Аналогичным образом линия скольжения ОВ преобразуется в ломаную линию. Очевидно, что с уменьшением угла ломаная линия все больше приближается к плавной кривой.

Далее проводим из точки прямую, перпендикулярную к линии О — а из точки перпендикулярно к линии О — .Точка их пересечения имеет индекс . Проводим из точки отрезок перпендикулярно к линии — , а из точки — к линии — ; получаем точку пересечения .Продолжая построение, получим ломаную линию скольжения = const. После этого аналогичным приемом строим ломаную линию для зна­чений и т. д. В результате получаем сетку, состоящую из четырехугольных ячеек.

При осадке плоскими плитами полосы шириной L и толщиной h (в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, деформа­ция отсутствует) принимаем, что на плоскостях контакта каса­тельные напряжения имеют постоянное максимальное значение

= 0,5 . Вследствие симметрии ограничиваемся рассмотрением одной четверти сечения полосы (рис.8.23).

Построение начинается от свободной прямолинейной границы тела, к которой, как известно, примыкает прямоугольный треуголь­ник ОАВ. Здесь сетка линий скольжения состоит из двух ортого­нальных семейств параллельных прямых линий, наклоненных к линии

симметрии 00' под углом (касательные напряжения на ли­нии 00' отсутствуют).

К этой области примыкает центрированный веер линий сколь­жения, который состоит из пучка прямых линий = const, сходя­щихся в центре А, и дуги =const.

Напряжения и вдоль каждой из прямых постоянны и являются линейной функцией угла их наклона к линии симметрии 00'.

Проведем из центра А, который называют особой точкой, пучок прямых линий с произвольно выбранным одинаковым углом между ними (в рассматриваемом случае принято ). заменим дугу окружности ВС ломаной линией, состоящей из равных отрезков хорд 0.0 —0.1—0.2 и т. д.

Проводя затем отрезок 0.1—1.1, перпендикулярный отрезку 0.0—0.1, отрезок 0.2—1.2, перпендикулярный отрезку 0.1—0.2, и отрезок 1.1—1.2, параллельный отрезку 0.0—0.1, получим в точке пересечения узел с индексом 1.2. Таким же образом определится положение узла с индексом 1.3 как пересечение отрезка 0.3—1.3, перпендикулярного отрезку 0.2—0.3, с отрезком 1.2—1.3, параллель­ным отрезку 0.1—0.2.

Результатом построения является линия скольжения 1.1—1.2 —1.3—.. 1.7, для которой

.Продолжая построение, получим таким же образом другую линию скольжения

2.2–– 2.3––, 2.8, для которой

Сетка линий скольжения, построенная графическим методом, состоит из четырехугольных ячеек, у которых два угла равны , а два других равны .

Углы наклона линий скольжения в точке их пересечения с линией симметрии 00' должны быть равны , так как касательные напряжения в этих точках отсутствуют.

Рис. 8.23.Графическое построение сетки линий скольжения для осадки поосы

плоскими плитами и эпюра нормальных напряжений:

а– сетка линий линий скольжения; б– эпюра нормальных напряжений

При принятом граничном условии = 0,5 линии скольжения семейства = const пересекают линию контакта A А' под углом , а для линий семейства = const линия контакта является огибаю­щей. При графическом построении линий скольжения отклонение от

указанных выше значений углов составляет , т. е. с умень­шением угла степень приближения улучшается.

По мере удаления от свободного края полосы линии скольжения, состоящие из прямых звеньев, все более приближаются к форме дуг циклоид (решение Прандтля).

В случае, показанном на рис.8.23, границей пластической зоны является линия скольжения 2.8—3.8—..., 8.8, пересекающая линии симметрии тела под углом .

Нетрудно убедиться в том, что если принять любую другую линию скольжения за жесткопластическую границу, то либо не будет удовлетворяться условие на линии симметрии, либо не соблюдается точечный контакт жестких зон.

На рис. 8.24 показано поле линий скольжения для осадки полосы при граничном условии

= 0,35 , построенное графическим методом.

Точность графического построения определяется принятым мас­штабом сетки и качеством используемых чертежных приборов.

Для оценки погрешности, связанной с графическим методом построения, были использованы результаты аналитического интег­рирования уравнений плоской деформации для поля линий скольжения (рис.8.25), полученные Р. Хиллом [52] с помощью функции Бесселя. Это поле линий скольжения часто встречается при анализе процессов обработки металлов давлением.

Рис. 8.24. Поле линий скольжения для осадки полосы при

Сопоставление координат узловых точек сетки, приведенное в книге Р. Хилла, с результатами графического построения (рис.8.25) при углах центрированного веера = 3°; 7,5° и 15° показало, что расхождение в любом случае не превышает 1,5%.

Построив сетку линий скольжения в пластической зоне, нетрудно определить компоненты напряжений в любой узловой точке по урав­нениям, представленым в виде:

(8.59)

где и — индексы линий скольжения семейства и , проходящих через рассматриваемую узловую точку.

Например, в узловой точке сетки с индексами 2.5, показанной на рис.8.23, компоненты напряжений равны

Построив эпюру нормальных напряжений в узлах сетки, рас­положенных вдоль линии симметрии тела 00' (см. рис.8.23, б), можно определить усилие деформирования.

Рис. 8.25. Графическое построение сетки линий скольжения (а)

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: