ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКИ

Метод верхней оценки применительно к плоской деформации разработали В. Джонсон и X. Кудо [68]. Сущность его заключается в том, что объем очага деформации представляется в виде жестких (недеформируемых) блоков (треугольных по В. Джонсону), скользящих один относительно другого и по границам с жесткой зоной. Тем самым действительное поле линий скольжения заменяют полем, состоящим из системы прямолинейных отрезков, образу­ющих треугольники. Вдоль границ блоков — сторон треугольников — компоненты скоростей перемещений претерпевают разрывы. Внутри каждого блока поле скоростей однородно, т. е. вектор скорости для всех точек данного блока один и тот же. На этом основании строят поле скоростей, которое при правильном построении всегда является кинематически возможным. Число и размеры треугольных блоков первоначально выбирают произвольно.

Вдоль границ между блоками касательные напряжения, возникающие при скольжении блоков, являются максимальными: = k. На свободных поверхностях, как всегда, = 0, а на контактных принимают от до предельного значения = k.

Поскольку блоки приняты жесткими, мгновенная мощность внутренних сил, включая контактное трение, выразится уравнением

, (8.65)

где — скорости скольжения вдоль границ треугольных участков, а — длины сторон треугольников при плоской деформации, — длина проекции площадки контакта (в направлении оси у), Мощность, развиваемая деформирующей силой Р,

, (8.66)

где — скорость движения рабочего органа (скорость деформирования).

Приравнивая выражения (8.65) и (8.66) и решая уравнение относительно Р, получим

(8.67)

Для плоской деформации, обозначив ширину проекции площадки контакта вдоль оси x через а, можно выразить удельное усилие р:

(8.68)

Для примера вернемся к задаче о внедрении плоского пуансона в полупространство и преобразуем непрерывное поле линии скольжения, предложенное Р. Хиллом, в кинематически возможное поле, состоящее из жестких треугольных блоков. Для этого за­меним на рис. 8.18дуги отрезками прямых. Тогда получим поле, представленное на рис. 8.36, а.

Вследствие симметрии поля относительно оси z на этом рисунке изображена его правая половина, что достаточно для дальнейших построении и paрасчетов. цифрами обозначены:

0 — жесткая неподвижная зона; 1, 2 и 5—блоки;

Рис. 8.36. Схема к решению задачи о внедрении плоского пуансона

в пластическое полупространство:

а– поле линий скольжения; б– годограф скоростей

4 — свободное пространство; 5 — пуансон. Границы между зонами и блоками определяются двумя цифрами, например 12 — границы между блоками 1 и 2; 34 — свободная поверхность; 15 — контактная поверхность. Длину соответ­ствующих границ (линий) обозначаем соответственно ₁₂, ₂₃ и т. п.

Компоненты скоростей блоков, нормальные к жесткопластической границе, т. е. соответственно к линиям 10, 20, 30, равны нулю, и блоки движутся вдоль указанных границ. Вдоль границ 12 и 23 блоков происходит разрыв скоростей.

Для построения годографа (рис.8.36, б) от центра 0 по вертикали отложили вектор 05 скорости пуансона , длину которого примем за единицу. Далее от конца вектора проводим линию, параллельную линии 15, а из точки 0— линии 10. Пересечение этих линий определяет точку 1, т. е. конец вектора скорости блока1. Продолжая построение подобным образом далее, получим изображенный на рис.8.36,б годограф. Линии годографа 12, 23 обозначают относительные скорости блоков вдоль линий разрыва 12, 23 (рис.8.36, а) и .

Теперь найдем верхнюю оценку деформирующего усилия. Задачу решим в общем виде, принимая угол при основании равнобедренных треугольников как параметр. Согласно выраже­нию (8.68) удельное усилие

Принимая и выражая скорости через и угол , а длины через и , после простейших преобразований получим

. (8.69)

Поле, изображенное на рис.8.36, а, получено непосредственно из непрерывного поля по Р. Хиллу, и угол = 45°. Подставляя это значение в уравнение (8.69), получим

Изменяя угол , можно получить другие значения р. Наиболее правильное, естественно, то значение, которое будет наименьшим.

В данном случае минимум функции (8.69), т. е. величины р, будет при угле = 55°:

, (8.70)

что отличается в большую сторону на 10% от значения, полученного ранее на основе непрерывного поля линий скольжения.

Можно учесть контактное трение, введя в выражение в скобках в исходном уравнении еще один член . Если принять трение максимальным, т. е. , то

. (8.71)

Для рассмотренной задачи получено аналитическое решение. В других сложных случаях можно остановиться на чисто графическом решении, взяв значения сторон треугольников и скоростей непосредственно из чертежа. При этом необходимо строить несколько вариантов разрывного поля и годограф к нему, чтобы получить величину верхней оценки, близкую к наименьшей.

Достаточно удобный метод верхней оценки для осесимметричных задач разработал X. Кудо. В дальнейшем его усовершенствовал Ш. Кобаяши.

Контрольные вопросы.Метод тонких сечений.

1. Почему на контактной поверхности касательные напряжения макси­мальны?

2. Каковы граничные условия в задаче сжатия полосы?

3. Каков закон изменения касательных напряжений по высоте, по ширине, пo длине полосы?

4. Как меняются нормальные напряжения по сечению полосы?

5. Сформулируйте приближенные условия равновесия и пластичности.

6. В чем отличие эпюр давления при сжатии с контактным трением по Зибелю и Амонтону–Кулону?

Контрольные вопросы. Метод работ.

1. На чем основан метод работ?

2. Приведите выражение для определения работы деформации.

3. Как определяется работа сил трения?

4. Приведите формулу для определения полного усилия деформации.

Контрольные вопросы

1. Какие условия вытекают из уравнения непрерывности?

2. Каково значение уравнений Гейрингер?

3. Что такое разрывное решение?

4. Когда возможно появление линии разрыва скоростей?

5. Каковы свойства линий разрыва скоростей?

1. Что такое годограф скоростей?

2. Что такое линии разрыва в плоскости годографа?

3. Как отображаются на годографе точки, движущиеся параллельно с одинаковыми скоростями?

Контрольные вопросы

1. Что такое характеристики?

2. Почему характеристики и линии скольжения совпадают?

3. Что такое каноническая система уравнений пластичности?

4. Какие задачи можно решить методом характеристик?

5. Каксформулировать задачу Коши?

6. Как сформулировать задачу Римана?

Контрольные вопросы

6. Какие условия вытекают из уравнения непрерывности?

7. Каково значение уравнений Гейрингер?

8. Что такое разрывное решение?

9. Когда возможно появление линии разрыва скоростей?

10.Каковы свойства линий разрыва скоростей?

4. Что такое годограф скоростей?

5. Что такое линии разрыва в плоскости годографа?

6. Как отображаются на годографе точки, движущиеся параллельно с оди­наковыми скоростями?

Контрольные вопросы. Метод верхней оценки.

1. Что такое кинематически возможное поле скоростей?

2. Что такое статически возможное поле напряжений? Что такое предельная нагрузка? Возможно ли существование жестких областей при достижении предельной нагрузки?

3. Как найти верхнюю оценку предельной нагрузки?

4. Каким условиям должно удовлетворять полное решение?

5. Запишите уравнение баланса мощностей.

6. В чем сущность метода верхней оценки и что он позволяет рассчитать?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Л. С. А г а м и р з я н. Решение задач статики сыпучей и пластиче­ской сред при помощи рядов метацилиндрических функций. Инженерный журнал, вып. 4, 1961. (45)

2. Бровман М. Н. Применение теории пластичности в прокатке. Изд–во «Металлургия», 1965. (27)

3. Д. И. В а т с о н. Теория бесселевых функций, т. 1. М., ИЛ, 1949. (44)

4. Г.О. Генки. О некоторых статически-определимых случаях рав­новесия в пластических телах. В сб. «Теория пластичности». М, ГИИЛ, 1948. (30)

5. Г о л у ш к е в и ч С. С, Плоская задача предельного равновесия сыпу­чих тел, Гостехиздат, 1948. (18)

6. Громов Н. П. Теория обработки металлов давлением. М., «Металлургия», 1967. 240 с. (228)

7. Губкин С. И., Пластическая деформация металлов, ОНТИ, 1935. (33)

8. В. А. Д и т к и н, А. П. Прудников. Справочник по операцион­ному исчислению. М., «Высшая школа», 1965.(43)

9. Б. А. Д р у я н о в. Метод решения статически-неопределимых задач плоского течения идеально-пластических тел. ДАН СССР, 143, № 4, 1962. (35)

10. 3 а в а р ц е в а В. М., Применение поляризационно-оптического метода к иссле­дованию контактных напряжений при осадке без уширения. Сб. ЦНИИТМАШ «Конструк­ционная прочность стали», кн. 63, Машгиз, 1954. (54)

11. Зауэр Р., Введение в газовую динамику, пер. с немецк. Гостехиздат, 1947. (33)

12. 3ибель Э., Обработка металлов в пластическом состоянии, ОНТИ, 1934. (66)

13. Д. Д. Ивлев. Теория идеальной пластичности. М., «Наука», 1966. (40)

14. А. А. Ильюшин. Пластичность. М., Изд-во АН СССР, 1963. (28)

1. Качанов Л. М.Основы теории пластичности. «Гостехтеориздат», 1956. (74)

16. Кербер Ф. и Эйхингер А., Основы пластической деформации, «Сталь», № 5, 1941. (84)

17. В.И.Колос. К интегрированию уравнений плоской деформации идеально-пластического тела. «Изв. АН СССР. ОТН», № 1, 1963. (48)

18. Р. Курант. Уравнения с частными производными. М., «Мир», 1964. (36)

19. M. А. Лаврентьев, Б. В. Ш а б а т. Методы теории функций комплексного переменного. М., Физматгиз, 1958. (42)

20. Г. Л и п и м а н. Теория главных траекторий при осесимметричной пластической деформации. Сб. перев. «Механика», № 3, 1963. (39)

21. В. М. Луговской, E. M. Третьяков. Исследование на основе теории полей линий скольжения напряженного состояния очага пластиче­ской деформации при поперечно-винтовой прокатке на трехвалковом ста­не. В сб. «Исследования в области обработки металлов давлением». М., Изд-во АН СССР, 1960. (47)

1. В. А. Лунев. Аналитическое определение уравнений линий сколь­жения. В сб. «Обработка металлов давлением». Труды ЛПИ, № 238. Л., 1964. (50)

23. Макушок Е. М., Матусевич А. С, Северденко В. П., Сегал В. М. Теорети­ческие основы ковки и горячей штамповки. Минск, «Наука и техника», 1968. 406 с. (АН БССР, ФТИ). (46)

1. Е. М. М а к у ш о к, В. М. С е г а л. О некоторых зависимостях в по­ле линий скольжения, определяемом круговыми дугами. Инженерный жур­нал, т. V, вып. 4, 1965. (53)

25. Механика пластических деформаций при обработке металлов. Томсен Э., Янг Ч., Кобаяши Ш., «Машиностроение», 1968, 504 с. (106)

26. С. Г. М и x л и н. Основные уравнения математической теории пла­стичности. М„ Изд-во АН СССР, 1934. (32)

27. Надаи А., Пластичность, ОНТИ, 1936. (112)

28. П е р л и н П. И., Шофман Л. А., Теоретический анализ усилий и формоизменения при объемной штамповке, Труды ЦНИИТМАШа, вып. 3, «Мощные гидравлические прессы» под ред. Б. В. Розанова, ОНТИ ЦНИИТМАШа, 1959. (69)

29. П р а г е р В., Ход ж Ф., Теория идеально пластических тел, пер. с англ. под ред. Г. С. Шапиро, Изд. иностр. лит., 1956. (74)

30. Прандтль Л., Примеры применения теоремы Генки к равновесию пластических тел. Сб. «Теория пластичности», И.—Л., 1948. (143)

31. Л. Прандтль. О твердости пластических материалов и сопротив­лении резанию. В сб. «Теория пластичности». М., ИЛ, 1948. (29)

1. В. М. С е г а л. Применение аналитического метода к исследованию плоского деформированного состояния в процессах обработки металлов давлением. Автореферат канд. дисс. Минск, 1965. (52)
2. Соболевский Н. А., Основные явления процесса прокатки, «Советская метал­лургия» № 8—9, 1933. (178)
3. Соколовский В. В., Теория пластичности, Изд, АН СССР, 1946. (180)
4. Соколовский В. В., Теория пластичности, Гостехиздат, 1950. (181)
5. Соколовский В. В., Теория пластичности, Гостехиздат, 1951. (89)

37. В. В. Соколовский. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения. Инженерный журнал, вып. 3, 1961. (34)

38. В. В. Соколовский. Теория пластичности. М., «Высшая школа», 1969. (15)

39. Сторожев М. В., Рецензия «Е. П. Унксов — Инженерные методы расчета уси­лий при обработке металлов давлением, Машгиз, 1955», «Вестник машиностроения» № 9, 1956. (184)

40. Сторожев М. В., Попов Е. А. Теория обработки ме­таллов давлением, изд. 4-е. «Машиностроение», 1977, 423 с.. (229)

41. Теория пластичности. М., ГИИЛ, 1948. 452 с. (103)

1. Томленов А. Д. Механика процессов обработки металлов давлением. М., «Машгиз», 1963. (170)
2. Томленов А. Д. Теория пластического деформирования металлов. М., «Металлургия», 1972. 408 с. (105)
3. Томсен Э., Янг Ч., Кобаяши Ш. Механика пластической деформации при обработке металлов. М., «Машиностроение», 1969. 504 с. (106)45или26

45. Ф. Т р и к о м и. Лекции по уравнениям в частных производных. М., ИЛ, 1957. (37)

46. Унксов Е. П., Пластическая деформация при ковке и штамповке, Машгиз, 1939. (196)

47. Унксов Е. П., О распределении напряжений на контактных плоскостях при пластическом деформировании. Сб. ЛОНИТОМАШ «Прогрессивная технология кузнечно-штамповочного производства», кн. 31, Машгиз, 1952. (200)

48. Унксов Е. П., Инженерные методы расчета усилий при обработке металлов давлением, Машгиз, 1955. (201)

49. X а а р А. и Карман Т., К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах. Сб. «Теория пластичности», И.—Л., 1948. (209)

50. Хилл Р., Математическая теория пластичности, пер. с англ. под ред. Э. И. Григолюка, Изд. иностр. лит., 1955. (107, 113)

51. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М., ГИТТЛ, 1956. 407 с. (113)

52. Р. Хилл. Математическая теория пластичности. М., Гостехтеориздат, 1956. (16)

53. С. А. X р и с т и а н о в и ч. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре. «Мате­матический сборник» (новая серия), т. 1, вып. 4. М., 1938. (33)54 или7 или11

54. Целиков А. И., Влияние внешнего трения и натяжения на давление металла на валки при прокатке, «Металлург» № 6, 1939. (214)

55. Целиков А. И., Прокатные станы и их оборудование, Металлургиздат, 1946. (215)

56. Н. А. Челышев, Ю. А. А л ю ш и н, А: А. Омелин. Некоторые соотношения при плоском течении жестко-пластического тела. «Изв. вузов. Черная металлургия», № 2, 1969. (51)

1. Шевченко К. Н., Пластически-напряженное состояние и течение металл» при холодной прокатке и волочения, Изв. АН СССР, ОТН, № 3, 1946. (220)

58. Р. Т. Ш и л д. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии. Сб. перев. «Механика», № 1, 1957. (38)

59. Шофман Л. А. Теория и расчеты процессов холодной штамповки. М., «Машиностроение», 1964. 375 с. (121)

60. Box W. A., Shroeder W., Effect of shape on the formabielity of deep—drewn sheet—metal parts, Mechanical Engeneering, vol. 66, № 643, 1934. (11)

61. С. Caratheodory, E. Schmidt. «Zeits. ang. Math, und Mech.», 3, 1923. (41)

62. H. S. Y. Chan. Half-Plane Slip-line Fields and Mitchell Structures. «Quart. J. Mech. Appl. Math.», 20, № 4, 1967. (55)

1. D. J. F. Ewing. A series Method for Constructing Plastic Slip-line Fields. «J. Mech. and Phys. Solids», 15, № 2, 1967. (54)

64. Н. Geiringer. Fondements mathematiques de la theorie des corps plastiques isotropes. Paris, 1937. (31)

65. Н а г t m a n n L., Distribution des deformations dans les metaux soummis a des efforts, Berger—Levranlt, Paris, 1896. (14)

66. R. Hill, S. Т. Tupper. Journal Iron and Steel Institute, 159, 1948. (46)67или 23

67. Johnson W. and Kudo H. «The Use of Upper Bound Solutions for the Determination of Temperature Distributions in East Hot — Rolling and Axi—symmetric Extrusion Process». Intern. J. Mech. Sci, 1: 175—191 1960. (116)

68. Jonson W., Mellor P. B. Plasticiti for Mechanical Engineers. London,— «Van Nostrand», 1962. 412 p. (124)

1. S. К о m 1 i e n о v i с, J. R у с h 1 e w s к i. Решение задачи Коши для уравнений плоской пластической деформации при помощи степенных рядов. «Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. sci. techn.», 11, № 8, 1963. (49)
2. M. S а у i г. Дополнения к решению задачи Прандтля о штампе и некоторых подобных задачах. «Z. angew. Math, und Phys.», 20, № 3, 1969. (56)

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: