ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛЕЙ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ

Задачи о плоской деформации решаются либо путем элементар­ных построений линий скольжения, либо путем графических по­строений (подробно см. [43]), либо численными методами.

Следуя работам [15, 2], кратко изложим численные методы. При прове­дении расчетов приходится часто встречаться с тремя типами краевых задач: задачей Коши, задачей Римана и смешанной задачей.

Задача Коши. Задана дуга MN, а на ней нормальное и касатель­ное напряжения и а, следовательно, известны и (их просто вычислить).

Разбиваем дугу MN на ряд отрезков точками с индексами (0,0), (1,1), (2,2) и т. д. Из каждой такой точки выходит по две характе­ристики (рис.8.28, а). Определим и в точках пересечения харак­теристик. Возьмем произвольную точку О (m, n), которая лежит на пересечении характеристик, проходящих через точки (т,m) и (n, n) на линии MN. Вдоль характеристик имеют место соотношения Генки, поэтому можно записать

В этих линейных алгебраических уравнениях неизвестны лишь и

(остальные величины известны из краевых условий).

Решая эту систему уравнений, получим

, (3-18) (8.61)

. (3.18а) (8.61,а)

Рис. 8.28. Схема к численному определению напряженно–деформированного состояния

В плоской задаче

Зная и , можно найти по формулам (3.10) все компоненты тензора напряжений в узлах сетки криволинейного треугольника MPN.

Теперь определим координаты узлов. Начнем расчет с точек, соседних к заданной границе MN. Рассмотрим, например, точку (0,1). Дифференциальные уравнения характеристик заменим уравне­ниями в конечных разностях. Для характеристики, проходящей через точки (0,0) и (0,1), запишем

Значение на участке (0,0) — (0,1) принимаем постоянными и равным среднему значению

-

Подобным образом можно в конечных разностях записать уравнение второй характеристики, которая соединяет точки (0,1) и (1,1). Получим два алгебраических уравнения линейных относительно искомых величин

.

из которых можно определить и —координаты точки (0,1). Далее можно таким же образом определить координаты точек (1,2), (2,3) и т. д. для всего первого соседнего с MN ряда. Затем можно найти координаты точек второго ряда. Точка (0,2) будет определена, если записать в конечных разностях уравнения характеристик, соеди­няющих ее с известными уже точками (0,1) и (1,2), координаты ко­торых уже определены, и т. д.

Аналогично решается задача и для скоростей. Пусть на MN известны компоненты и, v. Тогда для точки (0,1) можно записать вдоль характеристики, соединяющей точки (0,1) и (0,0), уравнение Гейрингер (3.17) в конечных разностях

.

за величину v принимаем среднее значение

.

Вдоль характеристики, соединяющей точки (0,1) и (1,1)

Из этих уравнений можно опре­делить два неизвестных и .Далее определяем скорости в точке (1,2) и т. д. во всем ряду по соседству с линией MN. Затем таким же путем в следующем ряду. В общем случае для любой точки (т, п) система уравнений будет

'

Следует заметить, что вдоль характеристик возможны разрывы скоростей, направленные по касательной к данной характеристике. Нормальная составляющая не может иметь разрывов. Так, например, вдоль характеристик может терпеть разрыв скорость u и не может иметь разрыва скорость v, т. е. скорость и справа и слева от линии может отличаться на конечную величину, а скорость v при переходе через линию должна изменяться плавно.

Задача Римана. Даны две характеристики (рис. 8.28, б), пересе­кающиеся в точке О: ОМ — , ON — . На характеристиках изве­стны и . Разделим обе характеристики на некоторое число малых дуг точками (0,0), (1,0), (2,0), (3,0)... на одной характеристике и (0,0), (0,1), (0,2), (0,3)... на другой. Тогда точка с индексами (т, п) лежит на пересечении характеристик, проходящих через точки (т, 0) и (0, п). Вдоль (0, п) — (т, п) имеет место соотношение

,

а вдоль (т, 0) — (т, п)

.

Следовательно, можно записать

„.

Отсюда и можно выразить через граничные условия

(3.19) (8.62)

(3.19a) (8.62,а)

После определения и во всех узлах сетки линий скольжения находим координаты узловых точек по методу, аналогичному описанному выше. Начнем с точки (1,1). Для нее можно записать

.

Из этих уравнений просто определяются и . Затем можно опре­делить координаты (2,1) или (1,2) и т. д. Предпочтительнее опреде­лять последовательно точки вдоль одной характеристики, а потом переходить к следующей.

Если одна из данных линий скольжения прямая, то по теореме Генки все линии этого семейства в области OMKN прямые, а линии второго семейства — кривые, им ортогональные — это существенно упрощает решение задачи. Бывают случаи, когда радиус кривизны одной из линий скольжения, например ON, стремится к нулю, в то время как .Тогда точка О является особой точкой и все характеристики пересекаются в точке О. Можно сказать, что в условиях дана характеристика ОМ и особая точка О. Формулы (8.62) и (8.62,а) сохраняют силу, но теперь — угол между ли­ниями ОМ и ОР точке О, где Р —данная точка (т, п) (рис.8.28, в). Метод вычисления координат точек тот же, что и ранее. Поле, за­данное линией ОМ и особой точкой О, можно продолжить на любой угол вокруг О, пока его не ограничат другие краевые условия.

Для скоростей течения обычно задаются нормальные компоненты скоростей на характеристиках. На ОМ задана величина v, на ON — и. Применением уравнений Гейрингер вдоль характеристик можно определить и на ОМ и на ON. После этого, заменяя уравнения Гейрингер уравнениями в конечных разностях, определяют и, v в узлах сетки. Для точки (т, п) можно определить , , если уже известны и, v в точках (т — 1, п) и (т, п — 1). Формулы для вычислений совпадают с формулами, выведенными для задачи Коши.

Нормальная компонента скорости обязательно непрерывна, а тангенциальная, как уже указывалось, может иметь на харак­теристике разрыв, причем величина разрыва вдоль характеристики постоянна.

Смешанная задача. Дана линия скольжения ОМ (рис. 8.28, г), на которой известны и . Кроме того, задана линия ON, на которой известно только .

Линия ОМ разделяется на некоторое число дуг точками (0,0), (1,0), (2,0), (3,0) и т. д., которые определят точки (1,1), (2,2), (3,3) и т. д. на линии ON. Для этого из точки (1,0) проведем линию соответствующую величине в (1,0) — ф₀, и определим точку ее пересечения с ON. Это первое приближение. Далее найдем соот­ветствующее точке Р ( на ON известно). Теперь проведем из(1,0) линию, соответствующую , и найдем точку Р₂ —второе приближение и соответствующее ей значение . Далее проводим из точки (1,0) отрезок, соответствующий и т. д. Этот процесс повторяют, пока различие между последователь­ными приближениями станет достаточно малым.

В задачах этого типа уже нельзя независимо определить , , а потом координаты точек; расчет следует производить, определяя , , х, у одновременно. Также решается задача, если на ON дано не , а некотрое соотношение между и , например, если действует закон трения .

Решение, конечно, значительно упрощается, если вдоль ON значение = const. Так как известно на ОМ и неизвестно на ON, то может оказаться, что величины на ОМ и ON в точке О равны, тогда имеет место поле, приведенное на рис.8.28, г. Если эти величины неравные и направление линии на кривой ОМ в точке О лежит внутри угла NOM, то точка О особая, этот случай показан на рис.8.28, д. Если ОМ' вне угла NOM, то задача решения не имеет, т. е. данная область не может быть целиком пластической.

Относительно задачи для скоростей можно сказать следующее. Если на ОМ дан нормальный компонент v, а на ON соотношение между и, v f (и, v) = 0, то задача имеет решение, если О не является особой точкой. При численных расчетах применяются уже рассмотренные уравнения в конечных разностях. Например, для точки (1,1) на ON:

Часто функция такова, что компонента скорости, нормальная к ON, равна нулю.

Рассмотренный кратко метод линий скольжения можно при­знать основным для анализа напряжений в плоском деформирован­ном состоянии.

Жесткопластическая схема

Поле линий скольжения, представленное на рис.8.16, существенно отличается от полей, показанных на рис.8.17, 8.19, 8.20, 8.21,а и 8.22. В первом случае линии скольжения распространяются от одной границы — нагруженной к другой — свободной. Во втором случае поля линий скольжения не охватывают всего объема металла. Легко усмотреть, что при попытке продлить, расширить любое из указанных полей линий скольжения нарушается какое-либо из условий правильного их построения. Любая другая линия скольжения, дополнительно проведенная или продолженная, например а' ' на рис. 8.22 и на рис.8.19, пересечет вертикальную ось симметрии под углом, отличающимся от 45°, т. е. покажет наличие сдвигающих напряжений на оси симметрии, что абсурдно.

Таким образом, при построении полей линий скольжения в общем случае наблюдается, что объем металла разделяется на две области: одна область пластическая, занимаемая полем, дру­гая же считается жесткой. При этом предполагается, что металл на границе областей скачкообразно переходит в пластическое состояние.

Такая концепция, широко применяемая при решении различных задач, носит название жесткопластической схемы.

На рисунках видно, что границами, разделяющими пластические и жесткие зоны, являются линии скольжения. Этими границами могут быть и огибающие линий скольжения (см. рис.8.21).

Правильность построения поля линий скольжения с наличием жесткопластической границы определяется двумя условиями: пересечение линиями скольжения осей симметрии под углом 45° и контакт жестких зон в одной точке (точка О на рис. 8.22).

В точке контакта все компоненты напряжений, определяемые по двум соприкасающимся полям линий скольжения, равны между собой.

Жесткопластическая граница, как правило, заранее не задана, и определение ее является составной частью решения задачи методом линий скольжения.

Вместе с тем жесткопластическую схему можно применять и при решении задач другими методами, причем жесткопластической границей в этом случае бывает необходимо задаться на основании экспериментальных данных или каких-либо соображений, лежащих в основе применяемого решения.

Жесткопластическая схема представляет собой концепцию математического порядка. Физически никакой резко выраженной жесткопластической границы нет. Существует определенный приграничный слой, в котором приращения упругих и пластичес­ких деформаций вполне сравнимы. Поэтому жесткопластическая схема отнюдь не предопределяет физически точных решений. В настоящее время делают попытки (Е. М. Макушок) выявить напряженно–деформированное состояние в переходных зонах, что дает перспективы получения уточненных решений [23].

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: