При отсутствии контактного трения

Теперь определим удельное усилие. Линии скольжения на­клонены как к плоскости торца пуансона, так и к свободной поверхности под углами 45°. Следовательно, угол поворота линий

пуансона (например, от точки А к точке Б), равен 90°, т. е.

На свободной поверхности напряжение , напряже­ние — сжимающее и притом главное. Следовательно, по усло­вию пластичности

и среднее напряжение

На основании уравнения(6.18),учитывая, что ,

можно написать

а после подстановки значения

(а)

Вместе с тем для точки Б

Исключив из этих уравнений , получим

Подставим это значение в полученное выше выражение (а).

Тогда

Удельное усилие ,

следовательно,
(8.36)

или в рассматриваемом случае

(8.36а)

Поле линий скольжения (рис.8.17) не является единственно возможным для начала вдавливания жесткого пуансона в пластическое полупространство. Р. Хилл предложил вариант, представленный на рис.8.18.

Рис.8.18. Поле линий скольжения, Рис.8.18. Поле линий скольжения при

Предложенное Хиллом осадке усеченного клина

Величина удельного усилия вдавливания, определенная на основании поля Р. Хилла, будет та же, что и при пользовании полем Л. Прандтля, поскольку величина угла _АБ остается в обоих случаях одна и та же.

Элементарными приемами, использованными при решении рассмотренной задачи, можно решить и задачи построения полей линий скольжения при осадке усеченного клина (рис.8.19), при вдавливании в полупространство закругленного пуансона (рис.8.20) и многие другие [44, 52].

Рис. 8.20. Поле линий скольжения при вдавливании в полупространство

Закругленного пуансона

8.4.АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПОЛЕЙ
ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ [33]

Общая задача теории пластичности, следуя А. А. Илью­шину [14], состоит в определении механического состояния (напряжений, деформаций) и температуры произвольных точек пластически деформируемого тела определенной формы в любой момент рассматриваемого интервала времени, в тече­ние которого к телу прикладываются внешние силы, налага­ются кинематические связи и задаются условия теплообмена; при этом исходное состояние тела (температура, механические свойства, внутренние макродеформации и напряжения) пред­полагается известным.

Решение задачи в указанной постановке приводит к чрезвы­чайному усложнению теории, и приходится вводить ряд пред­положений упрощающего характера — гипотезы об однород­ности, изотропности, идеально-пластических свойствах тел, изотермическом процессе деформирования и др. Эти гипотезы позволяют исключить влияние разнообразных факторов, обыч­но второстепенных, и выделить главную особенность процесса, заключающуюся в том, что пластическое течение начинается и поддерживается при определенном значении некоторого ин­варианта тензора напряжений независимо от положения рас­сматриваемой точки, ее ориентации и текущего момента времени.

Начало этого научного направления было положено рабо­тами Г. Треска, Б. Сен-Венана, М. Леви, Р. Мизеса. После работ Л. Прандтля [32] и Г. Генки [4] интенсивно исследу­ется плоское деформированное состояние, и важнейшие ре­зультаты были получены X. Гейрингер [65], С. Г. Михлиным [27], С. А. Христиановичем [54], В. В. Соколовским [39], создавшими строгий математический метод решения — метод характеристик, или линий скольжения. Р. Хилл [53] сформу­лировал принцип корректного подхода к решению плоских за­дач, а общий метод решения при смешанных граничных условиях дан В. В. Соколовским [34] и Б. А. Друяновым [9]. Применительно к исследованию процессов пластического фор­моизменения металлов метод характеристик получил широкое применение и развитие в трудах ряда отечественных и зару­бежных ученых: В. В. Соколовского, Л. М. Качанова,

А. А. Ильюшина, Д. Д. Ивлева, Б. А. Друянова, А. Д. Томленова, К. Н. Шевченко, Л. А. Шофмана, В. П. Северденко, Е. М. Макушка, И. П. Ренне, М. Я. Бровмана, Ю. А. Алюшина, Р. Хилла, В. Прагера, Ф. Ходжа, В. Джонсона, А. Р. Грина, Е. Ли, Ш. Кобаяши, X. Кудо, А. Дж. М. Спенсера и др.

Успехи исследования плоской задачи связаны с тем обстоя­тельством, что система дифференциальных уравнений в част­ных производных, описывающих течение жестко-пластического тела, относится к гиперболическому типу [18, 46]. Р. Шилд |[59] и Г. Липпман [20] показали, что для некоторых практи­чески важных режимов осесимметричного пластического те­чения система уравнений также оказывается гиперболической. Ряд других обобщений теории идеальной пластичности гипер­болического типа был рассмотрен Д. Д. Ивлевым [13]. Для построения решения во всех этих случаях может быть исполь­зован метод характеристик, при котором решение краевой задачи «сшивается» из последовательного решения более про­стых задач, т. е. имеет «лоскутный» вид. Предполагаемая пластическая область покрывается сеткой характеристик та­ким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям для напряжений и скоростей и всем требованиям полного (кор­ректного) решения. При решении прикладных задач метод характеристик позволяет сочетать физические и интуитивные предпосылки с высокой математической строгостью. В теории пластичности, как и в других областях механики, постоянно ощущается острая необходимость в нахождении точных реше­ний. Поэтому решения методом характеристик представляют большой теоретический и практический интерес в связи с непреодолимыми трудностями, возникающими при непосредст­венном интегрировании системы дифференциальных уравне­ний. Эти решения позволяют не только проанализировать осо­бенности напряженно-деформированного состояния в различ­ных процессах обработки металлов давлением, но и являются своеобразными «реперными точками», на основе которых могут быть развиты приближенные методы решения более сложных задач и оценена их точность.

ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ ТЕОРИИ

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: