ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА

(ЗАДАЧА ГУРСА)

Система дифференциальных уравнений плоского пластиче­ского течения [53] включает уравнения равновесия

(8.37)

условие пластичности

(8.38)

уравнение неразрывности (условие несжимаемости)

(8.39)

и соотношения Сен-Венана — Мизеса между напряжениями и скоростями деформации

(8.40)

Здесь , , и v_x, v_y — компоненты тензора напряжений и вектора скоростей на оси декартовой системы координат (х, у); k — пластическая константа материала; — некоторый положи­тельный скаляр.

Система уравнений (8.37) —(8.40) является гиперболической с характеристиками

( =линии), ( -линии), (8.41)

где

(8.42)

— угол наклона -линий скольжения к оси х. Вдоль характе­ристик выполняются соотношения:

вдоль -линии

= const, , (8.43)

;

вдоль -линии

, , (8.43а)

где ; R, S — радиусы кривизны а-и Р-линий;

и, v — проекции скоростей пластического течения на - и -линии соответственно;

(8.44)

В дальнейшем используется криволинейная система коорди­нат [53]

(8.45)

где р₀ — среднее давление в центре поля. В любой точке поля уравнениям (8.43) эквивалентно

; , . (8.46)

Последние уравнения приводятся к одному и тому же «теле­графному» уравнению для некоторой функции f переменных , :

. (8.47)

Таким образом, задача определения напряженного и дефор­мированного состояний сводится к интегрированию уравнения (8.47) совместно с (8.44), (8.45). Теория «телеграфного» уравне­ния (8.47) хорошо известна [18 46, 62]. Решения основных краевых задач для него были получены в квадратурах X. Гейрингер [65], использовавшей метод Римана. Для зада­чи Гурса, которая является наиболее важной, формула Рима­на принимает вид [53]

(8.48)

где — функция Бесселя нулевого порядка; значения и

— граничные условия на начальных характеристиках , . Вычисление интегралов, входящих в формулу (8.48) и в аналогичные выражения для других краевых задач [65], пред­ставляет известные трудности. Для простейших граничных условий они были проинтегрированы Р. Хиллом [53]. Трудно­сти в значительной степени будут преодолены, если заметить, что эти интегралы являются «свертками» функций [19] и для их вычисления оказывается удобным применить методы опе­рационного исчисления, эффективность которых состоит в наличии подробных таблиц оригиналов и их изображений [8].

Рис. 8.21. Схемы, используемые для решения ряда краевых задач

Это позволяет рассмотреть некоторые общие решения урав­нения (8.47).

1. Пусть условия на начальных характеристиках О А () и ОВ() (рис. 1,а) могут быть представлены равномерно сходящимся четным рядом Фурье. Приняв для простоты , запишем граничные условия в виде

(8.49)

где , — некоторые коэффициенты. Очевидно, .

Подставляя выражения (8.49) в (8.48) и вынося знак сум­мы из-под интегралов, что допустимо в силу сходимости ряда (8.49), приходим к вычислению интегралов вида

. (8.50)

Выражение (8.50) является сверткой функции и . Применяя преобразование Лапласа и воспользовавшись теоремой произведения изображений [19], находим

Этому изображению соответствует оригинал [8]

где — функция Ломмеля двух переменных второго порядка, определяемых рядом [3]

(8.51)

Почленное интегрирование (8.48) окончательно дает

(8.52)

Аналогичным образом находится решение для граничных условий — нечетных функций:

(8.53)

Формулы (8.52) и (8.53) позволяют рассмотреть и общий слу­чай синус-косинус разложения Фурье:

. (8.54)

Функции Ломмеля принадлежат к классу цилиндри­ческих функций двух переменных и встречаются во многих задачах механики и физики.

2. Пусть граничные условия на начальных характеристиках могут быть представлены в виде равномерно-сходящегося сте­пенного ряда:

(8.55)

Очевидно, .

Подставляя условия (8.55) в выражение (8.48) и поступая, как в предыдущем случае, приходим к интегралам вида

. (8.56)

Выражению (8.56) соответствует изображение

Переходя далее к оригиналам, будем иметь [8]

Окончательно граничным условиям (8.55) соответствует решение

(8.57)

где — функция Бесселя -го порядка. Так как [3].

то решение (8.57) можно записать в виде

_. (8.58)

Сходимость рядов (8.54), (8.58) вытекает непосредственно из возможности разложений (8.49), (8.55) на начальных ха­рактеристиках. Таким образом, когда граничные условия в окрестности некоторой точки поля , могут быть представ­лены разложением в ряд Фурье, то решение поля находится в виде ряда (8.54) по функциям Ломмеля; если же граничные условия записаны разложением Тейлора (8.55), то решение поля дается рядом Неймана (8.57).

Решение в форме (8.58) было получено X. Гейрингер [65]. Аналогичный результат был найден Л. С. Агамирзяном [1], который использовал метацилиндрические функции. Можно показать, что последние являются частным случаем рядов Ней­мана и совпадают с соответствующими членами ряда (8.58). Другие частные решения рассмотрены в работах [67, 21, 17, 70, 22, 57]. Общие решения (8.54), (8.57) получены в [33,24]; некоторые результаты были повторены в работах [64, 63, 71].

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: