|
ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА(ЗАДАЧА ГУРСА) Система дифференциальных уравнений плоского пластического течения [53] включает уравнения равновесия (8.37)
условие пластичности (8.38) уравнение неразрывности (условие несжимаемости) (8.39) и соотношения Сен-Венана — Мизеса между напряжениями и скоростями деформации (8.40) Здесь , , и vx, vy — компоненты тензора напряжений и вектора скоростей на оси декартовой системы координат (х, у); k — пластическая константа материала; — некоторый положительный скаляр. Система уравнений (8.37) —(8.40) является гиперболической с характеристиками ( =линии), ( -линии), (8.41) где (8.42) — угол наклона -линий скольжения к оси х. Вдоль характеристик выполняются соотношения: вдоль -линии = const, , (8.43) ; вдоль -линии , , (8.43а)
где ; R, S — радиусы кривизны а-и Р-линий; и, v — проекции скоростей пластического течения на - и -линии соответственно; (8.44) В дальнейшем используется криволинейная система координат [53] (8.45) где р0 — среднее давление в центре поля. В любой точке поля уравнениям (8.43) эквивалентно
; , . (8.46) Последние уравнения приводятся к одному и тому же «телеграфному» уравнению для некоторой функции f переменных , : . (8.47) Таким образом, задача определения напряженного и деформированного состояний сводится к интегрированию уравнения (8.47) совместно с (8.44), (8.45). Теория «телеграфного» уравнения (8.47) хорошо известна [18 46, 62]. Решения основных краевых задач для него были получены в квадратурах X. Гейрингер [65], использовавшей метод Римана. Для задачи Гурса, которая является наиболее важной, формула Римана принимает вид [53] (8.48)
где — функция Бесселя нулевого порядка; значения и — граничные условия на начальных характеристиках , . Вычисление интегралов, входящих в формулу (8.48) и в аналогичные выражения для других краевых задач [65], представляет известные трудности. Для простейших граничных условий они были проинтегрированы Р. Хиллом [53]. Трудности в значительной степени будут преодолены, если заметить, что эти интегралы являются «свертками» функций [19] и для их вычисления оказывается удобным применить методы операционного исчисления, эффективность которых состоит в наличии подробных таблиц оригиналов и их изображений [8]. Рис. 8.21. Схемы, используемые для решения ряда краевых задач Это позволяет рассмотреть некоторые общие решения уравнения (8.47). 1. Пусть условия на начальных характеристиках О А () и ОВ() (рис. 1,а) могут быть представлены равномерно сходящимся четным рядом Фурье. Приняв для простоты , запишем граничные условия в виде (8.49)
где , — некоторые коэффициенты. Очевидно, . Подставляя выражения (8.49) в (8.48) и вынося знак суммы из-под интегралов, что допустимо в силу сходимости ряда (8.49), приходим к вычислению интегралов вида
. (8.50) Выражение (8.50) является сверткой функции и . Применяя преобразование Лапласа и воспользовавшись теоремой произведения изображений [19], находим
Этому изображению соответствует оригинал [8] где — функция Ломмеля двух переменных второго порядка, определяемых рядом [3] (8.51) Почленное интегрирование (8.48) окончательно дает (8.52) Аналогичным образом находится решение для граничных условий — нечетных функций: (8.53) Формулы (8.52) и (8.53) позволяют рассмотреть и общий случай синус-косинус разложения Фурье: . (8.54) Функции Ломмеля принадлежат к классу цилиндрических функций двух переменных и встречаются во многих задачах механики и физики. 2. Пусть граничные условия на начальных характеристиках могут быть представлены в виде равномерно-сходящегося степенного ряда: (8.55) Очевидно, . Подставляя условия (8.55) в выражение (8.48) и поступая, как в предыдущем случае, приходим к интегралам вида . (8.56) Выражению (8.56) соответствует изображение
Переходя далее к оригиналам, будем иметь [8] Окончательно граничным условиям (8.55) соответствует решение (8.57) где — функция Бесселя -го порядка. Так как [3].
то решение (8.57) можно записать в виде . (8.58) Сходимость рядов (8.54), (8.58) вытекает непосредственно из возможности разложений (8.49), (8.55) на начальных характеристиках. Таким образом, когда граничные условия в окрестности некоторой точки поля , могут быть представлены разложением в ряд Фурье, то решение поля находится в виде ряда (8.54) по функциям Ломмеля; если же граничные условия записаны разложением Тейлора (8.55), то решение поля дается рядом Неймана (8.57). Решение в форме (8.58) было получено X. Гейрингер [65]. Аналогичный результат был найден Л. С. Агамирзяном [1], который использовал метацилиндрические функции. Можно показать, что последние являются частным случаем рядов Неймана и совпадают с соответствующими членами ряда (8.58). Другие частные решения рассмотрены в работах [67, 21, 17, 70, 22, 57]. Общие решения (8.54), (8.57) получены в [33,24]; некоторые результаты были повторены в работах [64, 63, 71].
ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|