МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ И УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Этот метод в настоящее время широко применяют для рас­чета усилий и расхода энергии при обработке давлением. Метод основан на следующих положениях:

1. Напряженно-деформированное состояние рассматривается либо осесимметричным, либо плоским (плоская деформация или плоское напряженное состояние). Поэтому уравнение пла­стичности принимают в форме, соответствующей указанным ви­дам состояния: (6.16) или (6.17) для плоской деформации, (6.14) для плоского напряженного состояния, (6.19) для осесимметричного.

При деформации тела сложной формы его условно разделя­ют на объемы, напряженно-деформированное состояние которых можно приближенно принимать плоским или осесимметричным.

2. Дифференциальные уравнения равновесия для плоской за­дачи упрощаются принятием допущения, что нормаль­ные напряжения зависят только от одной координаты. Благода­ря этому остается одно дифференциальное уравнение и в нем вместо частных производных можно принять обыкновенные.

Это допущение исключает возможность определения напря­жения в каждой точке деформируемого тела в отличие от методов совместного решения точных уравнений равновесия с урав­нением пластичности, а также линий скольжения и характери­стик.

Методом решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности определяют только напряжения на кон­такте тела с инструментом. Для определения потребного при деформации усилия этого достаточно и нет необходимости определять напряжения в каждой точке по объему деформируе­мого тела.

МЕТОД РАБОТ

Метод работ основан на положении, что при пластической деформации работа внешних сил равна сумме работ внутрен­них сопротивлений [6]. При деформации нужно затратить работу на преодоление внутренних сопротивлений, определяемых проч­ностными свойствами тела, и на преодоление сил внешнего трения. Работа внешних сил равна разности работ активных сил, развиваемых машиной, и сил внешнего трения, т. е..

, (8.15)

или

,

где — работа внешних сил;

— работа активных сил;

—работа сил трения;

—работа внутренних сопротивлений, работа дефор­мации.

Определим приращение работы внутренних сил при ма­лой деформации. При упругой деформации работа равна поло­вине суммы произведений составляющих напряжений на состав­ляющие деформации (2.13). Коэффициент 0,5 принят потому, что напряжения возрастают линейно от нуля до конечного зна­чения.

При пластической деформации начальные напряжения от­личны от нуля и при незначительном изменении формы тела их можно принять постоянными. Поэтому приращение работы при пластической деформации можно определить выражением

но без коэффициента 1/2:

(8.16)

Подставим в это выражение значения деформаций из урав­нений (5.10):

. (8.17)

Выражение в квадратных скобках равно удвоенному квадра­ту интенсивности напряжений , согласно уравнению (3.16 а).

Модуль пластичности второго рода выразим через модуль пластичности первого рода Е' согласно уравнению , а последний — через интенсивность напряжений и деформаций, согласно выражению . Тогда

Подставив в выражение (8.17) вместо квадратных скобок и значение , получаем

(8.18)

Отсюда

(8.19)

Работу внешних (поверхностных) сил, включая работу кон­тактных сил трения, можно выразить так:

, (8.20)

где X, У, Z — проекции сил на оси координат;

и, v, w— соответствующие координатам перемещения.

Работу сил контактного трения в общем случае можно пред­ставить так:

(8.21)

где — напряжение трения (вынесено за интеграл, так как принято постоянным и изотропным). Подставив выражения (6.63) (8.19) и (6.65) (8.21) в уравнение (6.59) (8.15) и принимая абсолютное значение , получаем

. (8.22)

Во многих случаях работу активных сил можно определить как произведение полного усилия на перемещение инструмента (обжатие), т. е.

Тогда полное усилие

. . (8.23)

8.3. М ЕТОД ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ

8.3.1._: Основные понятия о линиях скольжения

Метод линий скольжения, применяемый для решений плоских (и отчасти осесимметричных) задач, сущность которого будет изло­жена в этом параграфе, ведет свое начало от работ М. Леви (1871 г.), Г. Генки и Л. Прандтля (20-е годы) [30]. Дальнейшее развитие он получил в работах советских ученых А. А. Илью­шина, А. Ю. Ишлинского, С. Г. Михлина, В. В. Соколовского, С. А. Христиановича и др., а также ряда иностранных ученых, как, например, Г. Гейрингер, В. Джонсона, Е. Ли, В. Прагера, Э. Томсена, Ф. Г. Ходжа, Р. Хилла. В теории процессов ковки и штамповки этим методом с успехом пользовались А. Д. Томленов, К. Н. Шевченко, Л. А. Шофман, а также Е. М. Макушок, И. П. Ренне и др.

Метод в конечном итоге выражается в построении сетки (поля) линий скольжения и использовании их свойств [41]. Возьмем на пло­скости xz в теле, находящемся в плоском деформированном состоя­нии, какую-нибудь точку (рис.8.7) и отложим от нее вектор главного касательного напряжения. Перейдем в направлении этого вектора к точке , весьма близко отстоящей от точки . От точки отложим вектор главного касательного напряжения на этой точке. Вектор в общем случае будет отличаться от век­тора как по направлению, так и по величине. Поступая таким же образом дальше, мы получим в результате ломаную линию и т. д.

Так как от взятой точки вследствие парности касательных напряжений можно отложить второй вектор , перпендикулярный к ранее отложенному, то аналогичным способом от точки можно построить вторую ломаную линию и т. д.

Рис. 8.7.Построение двух линий скольжения, Рис. 8.8.Семейства линий скольжения

проходящих через точку а и

В точке линии пересекаются под прямым углом. Понятно, что эти линии можно продолжить и по другую сторону от точки .

При неограниченном увеличении числа точек а и точек а' ло­маные линии превратятся в плавные кривые ос и р (рис.8.8), пред­ставляющие собой траектории главных касатель­ных напряжений или линий скольжения.

Из каждой точки а и а' (рис.8.7) данной пары линий сколь­жения можно начать построение других линий скольжения. В ре­зультате получим ортогональную сетку (поле) линий скольжения (рис.8.8), в общем случае криволинейную из двух семейств линий и . Точки пересечения линий скольжения двух семейств назы­вают узловыми точками (точка а на рис.8.8).

Из рассуждений, на основании которых показана возможность построения поля линий скольжения, явствует, что для разных на­пряженных состояний поля линий скольжения различны и каж­дому определенному напряженному состоянию соответствует опре­деленное поле линий скольжения.

Касательные к каждой из двух линий скольжения в любой точке совпадают с направлением главных касательных напряжений и пересекают ось х под какими-то углами и (рис.8.9), плавно изменяющимися при переходе от одной точки к соседней.

Так же как сетку линий скольжения, можно построить ортого­нальную сетку траекторий главных напряжений. Эти траектории пересекают линии скольжения под углом . Траектории главных напряжений и , проходящие через точку а, показаны на рис.8.9. Касательные к ним являются главными осями 1 и 3, кото­рые пересекают ось х соответственно под углами и .

Из рис. 8.9 следует, что для линий скольжения соответственно семейств и

, (8.24)

где .

Рис. 8.9. Линии скольжения и и троектории главных нормальных напряжений и

Уравнения (8.24) представляют собой дифференциальные урав­нения линий скольжения. Линии скольжения реально отобра­жаются в деформируемом теле в виде линий Людерса—Чернова.

Выпишем теперь формулы (3.48), выражающие компоненты напряжений при плоском деформированном состоянии в функции угла , т. е. угла между произвольной осью х и главной осью1:

;

Заменим в этих выражениях угол углом , одновременно уч­тем, что при плоской пластической деформации по уравнению (6.17а) .

В результате получим

(8.25)

Заметим, что выражения (8.25) обладают тем свойством, что они тождественно удовлетворяют условию пластичности (6.17):

Действительно, подставляя уравнения (8.25) в (6.17), получим

.

Следовательно, в дальнейшем при оперировании выражениями (8.25) можно не обращаться к условию пластичности, поскольку последнее будет удовлетворяться при любом значении . Подста­вив значения напряжений из (8.25) в дифференциальные уравне­ния равновесия (8.1)

получим

- (8.26)

.Перейдем в уравнениях (8.26) к криволинейной системе коор­динат и , где в качестве координатной сетки примем сетку линий скольжения.

Поскольку сетка линий скольжения является вполне законо­мерной, постольку можно рассматривать, например, линии О' и О' (рис.8.10) как начальные или нулевые (криволинейные оси) и по отношению к ним определять положение на сетке любой точки а координатами аир взамен координат х и z. Ясно, что декартовы координаты и криволинейные будут функционально связаны между собой.

Рис. 8.10. Схема для перехода к криволинейной системе координат

Как во всякой системе координат, в рассматриваемом случае при перемещении точки а вдоль одной из координатных линий, например, вдоль линии (в положении и далее), ее коорди­ната останется постоянной; при перемещении же точки вдоль линии (в положение и далее) постоянной останется коорди­ната .

Поместим теперь начало координат О системы в произволь­ную точку а пересечения двух линий скольжения и направим оси х и z по касательным х' и z' к паре линий скольжения, пересекаю­щихся в данной точке. Уравнения (8.25), а следовательно, и (8.26) при этом останутся в силе, так как при выводе уравнения (8.25) направления осей принимались произвольными.

В бесконечно малой окрестности точки а элементы дуг системы , можно считать совпадающими с касательными, по которым направлены новые оси х', z', и, следовательно, можно принять

Угол же теперь равен нулю в силу совпадения осей с каса­тельными к линиям скольжения. Однако и в нуль не обратятся, так как угол изменяется вдоль криволинейных коор­динатных направлений. Учтя сказанное и заменяя в уравнении (8.26) производные по x; z производными по , , получим

(8.27)

Поскольку точка а при выводе (8.27) являлась произвольной, постольку эти уравнения будут действительны для любой точки.

Таким образом, от координат х, z в (8.26) мы перешли к новым координатам , . Уравнения (8.27) являются также дифферен­циальными уравнениями равновесия и притом удовлетворяющими условию пластичности.

Интегрируя уравнения (8.27), первое по , второе по , полу­чим

(a)

. (б)

В приведенное выше решение следует внести корректив, по­скольку мы интегрировали уравнения в частных производных. Дело в том, что при дифференцировании по одной переменной функция другой принимается за постоянную и производная ее обращается в нуль. Следовательно, уравнение (а) может содержать какую-то функцию от , производная которой обратилась в нуль в первом уравнении (8.27). Это обстоятельство надо учесть, заменяя в уравнении (а) произвольную постоянную произвольной функ­цией от . То же относится к уравнению (б), где постоянную С₂ необходимо заменить произвольной функцией от .

В качестве произвольных функций от и примем соответ­ственно

и

Тогда уравнения (а) и (б) можно написать в окончательной фор­ме

(по линии ); (8.28,а)

(по линии ). (8.28,б)

Уравнения (8.28) носят название интегра­лов Генки.

Произвольные функции и имеют постоянные значения при перемещении точки вдоль одной и той же линии скольжения соответственно системы и системы и изменяются при переходе от одной линии скольжения к другой.

Если бы линии скольжения , были нам всегда известны, то интегралы Генки представляли бы общее решение задачи о плоской деформации при отсутствии упрочнения.

Пусть в какой-либо точке М данной линии скольжения напря­жение и , а в другой точке N той же линии и .

Подставляя эти данные, например, в первое уравнение системы (8.28), получим

Но так как при перемещении точки вдоль одной и той же ли­нии скольжения произвольная функция не изменяется, то

;

соответственно другое уравнение даст

.

Объединяя и несколько преобразовывая последние уравнения, получим

(8.29)

а обозначая через , где представляет собой угол поворота линии скольжения при переходе от точки М к точкеN, имеем

(8.30)

Уравнение (8.30) показывает, что изменение _ср пропорцио­нально углу поворота линии скольжения, а коэффициентом пропор­циональности является величина 2k.

Выражения (8.28)—(8.30) имеют существенное значение. Дей­ствительно, если дана линия скольжения, а также известно на­пряжение в одной ее точке (например, из граничных условий), то уравнения (8.28)—(8.30) позволяют легко определить среднее напряжение в любой другой ее точке. Если же известно поле линий скольжения и напряжение в какой-либо одной узловой точке, то, переходя от одной узловой точки к другой, нетрудно установить распределение средних напряжений по всему полю. Зная же сред­ние напряжения и углы , легко определить и компоненты на­пряжений , и , используя систему уравнений (8.25), что и будет показано дальше.

Если некоторый отрезок линии скольжения прямой, то напря­женное состояние не изменяется при движении вдоль этого отрезка. Если в некоторой области прямолинейны оба семейства линий скольжения, то напряженное состояние в этой области будет одно­родным, и, наоборот, при однородном напряженном состоянии поле линий скольжения представляет собой сетку ортогональных прямых.

Свойства линий скольжения

Выделим в поле линий скольжения произвольный криволи­нейный четырехугольник MNQP (рис.8.11), ограниченный двумя линиями скольжения MN и PQ системы и двумя линиями MP и NQ системы . Учитывая, что разность средних напряжений в двух точках не может зависеть от того, с помощью каких промежуточ­ных точек N и Р она вычислена, на основании уравнений (6.16) можно написать

Рис. 8.11.Произвольный криволинейный четырех- Рис. 8.12.Схема семейства линий

угольник, ограниченный системами и скольжения

а также

Из этих двух уравнений получим

(8.31)

где — угол между двумя касательными линиями MN и PQ си­стемы в точках пересечения каждой из них одной и той же линией системы (рис.8.11). Аналогичным способом можно получить та­кой же результат для любой пары линий другого семейства.

Таким образом, угол между касательными к двум линиям сколь­жения одного семейства в точках пересечения их каждой линией скольжения другого семейства остается постоянным (рис.8.11). Это положение представляет собой первую теорему Генки.

Отсюда вытекает такое следствие: если какой-либо отрезок линии скольжения данного семейства есть отрезок прямой, то и все другие отрезки линий скольжения этого семейства, отсекаемые одними и теми же линиями скольжения другого семейства, будут также отрезками прямых и длина их одинакова, например АВ — А'В^’ (рис.8.12).

Вторую теорему Генки формулируют следующим образом: при перемещении точки вдоль данной линии скольжения одного семей­ства радиусы кривизны линий скольжения другого семейства в точ­ках пересечения с данной изменяются на величину пройденных рас­стояний.

Рис. 8.13. Схема к доказательству второй Рис. 8.14. Эвольвента, ограничивающая линии

Теоремы Генки скольжения

Для доказательства выделим в поле линий скольжения беско­нечно малый криволинейный четырехугольник, образованный парой ab и cd линий скольжения системы , которые пересекаются двумя линиями ас и bd системы (рис.8.13). Так как четырехуголь­ник считаем бесконечно малым, то стороны его можно считать дугами окружностей.

Длину дуги ab (ab = ) можно определить через радиус кривизны О_аа = R_a и угол aO_ab = d , т. е. .

Длину же дуги cd (cd = ds_ai) с точностью до величин высшего порядка малости можно выразить так:

.

С другой стороны, так как кривизна дуг системы уменьшается при переходе от линии к линии , можно считать, что радиус кривизны дуги cd будет больше радиуса кривизны дуги ab на неко­торую величину приращения , т. е.

На этом основании можно написать второе выражение для длины дуги , а именно:

.

( на основании первой теоремы Генки).

Приравнивая правые части полученных для выражений, получим

.

Аналогичным способом получим

.

Таким образом, вторая теорема Генки доказана.

Вторую теорему Генки можно представить в несколько иной форме. Для этого рассмотрим две близкие линии скольжения и , пересекаемые рядом линий скольжения системы (рис.8.14). Касательные к двум близким линиям скольжения системы в точ­ках пересечения их элементами дуг линий системы пересекаются в центре кривизны этих элементов.

Радиус кривизны дуги АА' линии равен сумме радиуса кривизны В0₃ линии в точке В и длины дуги АВ. Аналогичные рассуждения можно продолжить в отношении радиуса и дру­гих, отмеченных на рисунке. Следовательно, геометрическим ме­стом центров кривизны и т.д. является эвольвента линии скольжения .

Таким образом, центры кривизны дуг линий скольжения одного семейства образуют эвольвенту для данной линии скольжения дру­гого семейства, которую они пересекают. Это положение называют теоремой Прандтля.

Так как радиус кривизны линий скольжения уменьшается при перемещении от линии к линии данной системы в сторону их вогну­тости, то в результате радиус кривизны может обратиться в нуль.

На рис. 8.14 это, например, произойдет для линий системы в точке О, которая является точкой пересечения эвольвенты бесконечно близкими линиями и сходящимися в этой точке. Отсюда следует, что точка О принадлежит огибающей семейства и одновременно представляет собой точку заострения (точку возврата) семейства .

Таким образом, огибающая линия скольжения одного семейства является геометрическим местом точек возврата линий скольже­ния другого семейства.

Так как линия скольжения системы в точке О образует точку возврата, то она не может пересечь огибающую системы . Эта оги­бающая является границей возможного аналитического решения, и, как доказал С. А. Христианович, она является линией разрыва.

Следовательно, огибающая линий скольжения одного семейства является предельной линией, через которую нельзя продолжить линии скольжения другого семейства.

Линии скольжения выходят на свободную или контактную поверхность. На свободной поверхности, а также и на контактной при отсутствии трения . Из третьего уравнения системы (8.25) для этого значения получим , , т. е. линии скольжения обоих семейств пересекают сво­бодную поверхность (а также контактную поверхность при отсут­ствии трения) под постоянным углом 45°.

Если трение достигает на контактной поверхности максималь­ного значения, т. е. , то ; ; . Таким образом, при максимальном трении контакт­ная поверхность является огибающей для одного семейства линий скольжения и геометрическим местом точек возврата для линий другого семейства. При промежуточном значении контактного касательного напряжения значения углов также будут промежу­точными:

.

Зная величину , эти углы можно определить по уравнению (6.13).

Резюмируем вкратце сказанное об основных свойствах линий скольжения.

1. Линии скольжения непрерывны.

2. Линии скольжения образуют два семейства.

3. Семейства линий скольжения взаимно ортогональны.

4. Линии скольжения пересекают траектории главных напря­жений под углом .

5. Изменение среднего нормального напряжения при движении вдоль линии скольжения пропорционально углу ее поворота.

6. Угол между касательными к двум линиям скольжения одного семейства в точках пересечения их линиями другого семей­ства остается постоянным.

7. Радиусы кривизны линий скольжения изменяются на вели­чину расстояний, пройденных по линиям скольжения другого семейства.

8. Углы наклона линий скольжения при выходе на контур зависят от величины касательного напряжения на контуре.

Характеристики

Исключим из уравнений (8.26) переменную , для чего первое уравнение продифференцируем по , второе по ; и вычтем одно из другого:

. (8.32)

Полученное уравнение в обобщенной форме может быть напи­сано так:

(8.32а)

Тогда уравнение в обыкновенных производных вида

(8.32б)

будет являться, как говорят в теории дифференциальных уравне­ний, уравнением характеристик уравнения (8.32а), а его реше­ния — характеристиками.

Составим уравнение характеристик для (8.32):

.

Определяя отсюда как явную функцию , имеем

откуда получим два дифференциальных уравнения характеристик уравнения (8.32):

(8.33)

Сравнивая уравнения (8.24) и (8.3), заключаем, что линии скольжения совпадают с характеристиками дифференциального уравнения (8.32). Решения уравнений характеристик осущест­вляются преимущественно с приведением их к так называемой кано­нической форме путем замены переменных х и у новыми перемен­ными и . На основании интегралов Генки (8.28) примем

; .

Тогда, исключая из уравнений (8.28) сначала , а затем , получим

;

х и у являются функциями координат и следовательно, они являются функциями переменных и . Поэтому имеют смысл выражения

и

Умножая на эти выражения соответственно первое и второе уравнения (8.33), получим

откуда, заменяя знаки производных, окончательно получим си­стему

(8.34)

Линии скольжения из этих уравнений определяются в параме­трическом виде и

.

Если решить уравнения характеристик, то станут известны линии скольжения и можно будет вычислить напряжения. Однако получение решений в замкнутой форме оказывается возможным в отдельных случаях. В общем случае применяют численное ин­тегрирование уравнений характеристик, при котором вместо оты­скания общего решения определяют искомые функции в конечном числе узловых точек сетки характеристик.

Виды полей линий скольжения

Простейшее поле линий скольжения представляет собой систему двух ортогональных семейств прямых линий. Поскольку углы поворота линий скольжения каждого семейства в этом случае равны нулю, среднее напряжение _ср остается постоянным в любой точке поля в соответствии с уравне­нием (6.18). Следовательно, такое поле выражает однородное (рав­номерное) напряженное состояние, при котором параметры и также постоянны. Среднее напряжение _ср — единственная неиз­вестная величина, которую надо определить из граничных усло­вий. У прямолинейной свободной границы или находящейся под равномерной нормальной нагрузкой полем линий скольжения всегда является сетка ортогональных прямых, образующих углы 45° с гра­ницей (рис. 8.15, а).

В другой группе полей линий скольжения одно семей­ство линий скольжения состоит из прямых линий, а другое — из кривых, к ним ортого­нальных. Такие поля называют простыми. В этом случае при перемещении вдоль каждой из прямых линий скольжения среднее напряжение _ср остается постоянным, но изменяется при переходе от одной к другой прямой линии скольжения. При этом если кри­вые линии скольжения считать принадлежащими к семейству , то параметр будет постоянным (рис.8.15, б).

Частным случаем рассматриваемой группы полей скольжения является центрированное поле, образуемое пучком прямых и концентрическими окружностями. Нормальные напряжения по радиальным и окружным (тангенциальным) площадкам равны среднему давлению и являются линей­ными функциями угла наклона прямой (рис.8.15, в).

Рис. 8.15.Виды линий скольжения

Центр та­кого поля О называют особой точкой. Поскольку в особой точке сходятся прямые линии скольжения, вдоль каждой из кото­рых средние напряжения _ср различны по величине, постольку в особой точке напряжения теоретически не имеют единственного значения. Однако формально условия равновесия и пластич­ности удовлетворяются и в этой точке.

Учитывая сказанное о полях линий скольжения указанных видов, можно утверждать, что в области, примыкающей к области равномерного, напряженного состояния, поле линий скольжения воз­можно только простое, т. е. в котором одно из семейств состоит из прямых (8.15, г).

Наконец, к общему случаю относятся поля линий скольже­ния, образованные двумя ортогональными семействами плавных кривых линий. Сюда относятся, например, взаимно ортогональные циклоиды, логарифмические спирали и другие более

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: