Тангенциальных составляющих напряжений скольжения при переходе через линию

При переходе через линию разрыва разрыва

На линии разрыва испытывают разрыв нормальные напряже­ния, направленные вдоль этой линии (тангенциальные). Нормальные напряжения, направленные к ней перпендикулярно, и касательные (сдвигающие) изменяются непрерывно.

Если на линии разрыва L выделить бесконечно малый прямо­угольник (рис.8.31) и обозначить напряжения, расположенные по разные стороны от этой линии, индексами + и –, то

Линия разрыва напряжений является биссектрисой L угла, образованного одноименными линиями скольжения и , и (рис.8.32), а кривизна линий скольжения при переходе через линию разрыва, а следовательно, и угол изменяется скачком [52].

Следует помнить, что в одной и той же точке поля линий скольжения не может быть одновременного разрыва напряжений и скоростей. Разрыв скоростей может происходить только вдоль линий скольжения или вдоль огибающей линии скольжения.

Пусть, например, деформируемый материал в точке Р пере­секает линию скольжения

системы и слева от нее вектором скорости перемещения является , а после пересечения, справа, и (рис.8.33).

Рис.8.33. Линия разрыва скоростей

Условие неразрывности требует, чтобы нормальные компоненты скорости при пересечены линии по обеим ее сторонам имели одинаковую величину, в противном случае был бы разрыв сплошности.

Нормальной компонентой вектора скорости по отношению к линии скольжения системы будет компонента , значит,

На основании уравнения Г. Гейрингер (8.63) пишем (рис.8.33)

и

Следовательно, вдоль рассматриваемой линии скольжения системы

;

отсюда

= const. (8.64,а)

Аналогично для случая разрыва скорости на линии скольжения системы получим

= const; (8.64,б)

это решение принадлежит X. Форду.

Из уравнений (8.64) явствует, что в случае возникновения разрыва скорости вдоль линии скольжения величина его остается постоянной (или равной нулю, когда разрыв отсутствует). Так как жесткопластической границей может быть линия скольжения (или огибающая линия скольжения), то разрыв скорости может происходить вдоль этой границы, нормальная же скорость обя­зательно должна оставаться непрерывной. Это положение следует учитывать также в случае любой предполагаемой жесткопластиче­ской границы при приближенных решениях любыми методами.

Построение годографа скоростей

Годограф скоростей в общем случае представляет собой диа­грамму (график), в которой векторы скоростей перемещения точек деформируемого тела отображаются по величине и напра­влению прямолинейными отрезками (лучами), исходящими из выбранной на графике произвольной точки, называемой полюсом.

Каждой точке в поле линий скольжения соответствует точка, отображающая ее на годографе. Равно каждая линия скольжения получает свое отображение соответствующими линиями на годографе. Последние представляют собой скорости вдоль отображаемых линий скольжения.

Из сказанного видно, что в том случае, когда в какой-либо области металл перемещается без деформации как жесткое тело (т. е. вектор скорости перемещения всех точек один и тот же), то все точки этой области на годографе отображаются одной точкой. Графическое построение годографа скоростей основано на свойстве ортогональности отрезков линий скольжения их отображениям на годографе.

Для примера рассмотрим построение годографа скоростей для участка поля линий скольжения, изображенного на рис.8.34, а. Узловые точки годографа обозначим так же, как и соответственные точки поля линий скольжения, добавляя индекс «прим». То же сделаем и в отношении линий годографа, отображающих те или иные линии скольжения.

Рис.8.34. Построение годографа скоростей (б) для участка поля лений скольжения (а)

Область металла, расположенная от линии скольжения вверх, жесткая, и все точки ее, если принять нижнюю плиту неподвижной, движутся с одинаковой скоростью, равной скоро­сти опускания верхней плиты .

Линия скольжения , представляя собой жесткопластическую границу, тем самым является линией разрыва. Принимаем точку за полюс (см. рис.8.34, б), откладываем вертикально вниз отрезок А', который будет представлять собой в масштабе вектор скорости. Так как все точки жесткой зоны движутся с одинаковой скоростью , то точка А' является отображением всех точек этой зоны. В данном случае целесообразно, чтобы отрезок А'- был равен масштабному размеру в поле линий скольжения, т. е. размеру h.

Построение начинаем [60] с точки контакта жестких зон (4,4). Определяем нормальную и касательную компоненты скорости к линии в точке (4, 4), для чего из точек 0₁ и А' проводим прямые под углом 45°, так как линия скольжения наклонена к оси симметрии под этим углом. В точке их пересечения получим точку (4', 4'), отображающую точку (4, 4) поля линий скольжения. Нормальная к линии ₄ компонента скорости является касательной компонентой по линии ₄, т. е. это будет , а касательная компонента к линии , т. е. , является нормальной к линии . При этом в точке (4, 4) скорости = . В точке (4, 4) вертикальная компонента скорости определяется

вектором О О', а горизонтальная вектором О' (4', 4'), причем

Так как в поле линий скольжения линия ₄ является линией разрыва, то скорость вдоль нее, т. е. , постоянна по модулю и равна модулю вектора отображаемого согласно выполненному построению лучом А' — (4', 4'). Поэтому концы векторов скорости для всех точек линий скольжения будут расположены на дуге окружности с центром в точке А' радиуса А' — (4', 4'). Разделив эту дугу на участки соответственно шагу , принятому для построения поля линий скольжения, получим отображения узловых точек, расположенных на линии скольжения : (4', 4'), {3', 4'), (2', 4'), (, 4'). Далее в плоскости годографа проводим линии (3', 4')—(3', 3'), (2', 4')— (2', 3'), (1 , 4')—(, 3'), ортогональные к соответственным отрезкам линий скольжения (3, 3)—(3, 4)... (1, 3)—{1, 4), и линии (З',3')—(2',3'), (2', 3')—(,3'), тоже ортогональные к одноименным отрезкам линий скольжения. Точки пересечения про­веденных линий определяют узловые точки годографа (3', 3'), (2', 3'), (1', 3'). Аналогично получают и все остальные узловые точки годографа.

Луч, проведенный из полюса к любой узловой точке годографа, например (1', 2'), будет вектором скорости смещения точки (1, 2) в поле линий скольжения. Нетрудно определить и компоненты этого вектора по осям х, z, как показано на рис. 8.34, б. Построив в других квадрантах фигуры, симметричные выполнен­ной, получим полный годограф (рис. 8.35).

На первый взгляд может показаться, что векторы скоростей должны быть направлены симметрично относительно оси х, т. е. оси симметрии поля линий скольжения. Отсутствие этого объясняется тем, что точка принята неподвижной, и, следовательно, все точки, лежащие на оси симметрии поля линий скольжения, движутся относительно полюса со скоростью . При­нимая же ось симметрии за неподвижную, мы сможем проводить векторы скорости перемещения точки от полюса О', что покажет симметричное распределение скоростей относительно этой оси.

В рассмотренном примере поле линий скольжения и поле (годограф) скоростей являются совместными. Это видно из того, что количество металла, вытесняемого в вертикальном направлении, равно количеству металла, перемещаемого в горизонтальном направлении, поскольку

В рассмотренном случае годограф представляет собой ту же фигуру, что и фигура поля линий скольжения, изображенная на рис.8.34, б, но повернутую на 180°.

Указанным выше способом легко установить, что

Рис. 8.35. Полный годограф поля скоростей

и это поле скольжения удовлетворяет кинематическим условиям. Если же граничные условия для скоростей не удовлетворяются, то поле скольжения следует видоизменить.

Решения, отвечающие одновременно статическим и кинемати­ческим условиям, т. е. совместностью поля линий скольжения и поля (годографа) скоростей, дают так называемую действитель­ную величину усилий деформирования. Это надо понимать в том смысле, что такое решение не представляет собой только «нижней оценки» этого усилия и отличается от его «верхней оценки» в меньшую сторону. Эта верхняя оценка определяется построением кинематически возможного поля линий скольжения, удовлетворяющего условиям сплошности и граничным условиям для перемещений, но не удовлетворяющего условиям равновесия [60].

Однако не следует забывать, что все решения, выполняемые методом линий скольжения на основе жесткопластической схемы, как правило, являются приближенными, подобно решениям, получаемым другими методами.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: