ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Легко видеть, что указанные пять уравнений уже допускают интегриро­вание в замкнутом виде при использовании условий пластичности для пло­ской задачи в виде

(8.10)

и для осесимметричной задачи при полной пластичности (т. е. для случаев , или в виде

(8.11)

Однако в последних выражениях через обозначены касательные напряжения в любой точке объема образца, в то время как в выражения {8. 2), (8. 4), (8. 6) (8. 7) и (8. 9) входят лишь значения касательных напря­жений на контактной поверхности, выраженные через усредненные значения компонент нормальных напряжений.

Таким образом, в выражениях условий пластичности для плоского дефор­мированного состояния и осесимметричной задачи (8. 10) и (8. 11), которые мы для удобства перепишем в виде

(8.10,а)

и

(8.11,а)

под также нужно понимать касательное напряжение на контактной поверхности.

Из этих выражений вытекает важное следствие. Если касательное напря­жение на контактной поверхности постоянно или изменяется параметри­чески, независимо от и , то, дифференцируя (8. 10а) и (8. 11а), можно.записать условия пластичности в следующем виде:

(8.12)

или

.

Подстановка этих выражений в приближенные уравнения равновесия сразу же позволяет решить их относительно искомого нормального напря­жения на контактной плоскости. Таким образом, очевидно, что для областей контактных поверхностей, где трение не подчиняется закону Кулона (т. е. не зависит от нормального давления), условия пластичности (8. 10) и (8. 11) могут быть заменены их точным выражением (8. 12) в дифференциаль­ной форме. Рассмотрим теперь случай, когда касательное напряжение на контакт­ной поверхности, вызванное силами трения, зависит от напряжения, нормального к контактной поверхности. Тогда из рис.8.6 можно видеть, что правая часть выражения (8. 10а) и (8. 11а) по мере изменения от нуля до своего максимального значения, равного к, изменяется в пределах от еди­ницы до нуля. Это рассуждение имеет особое значение в связи с тем, что мно­гие ранние исследователи

[60], [65] и др. в качестве приближенного усло­вия пластичности принимали выражение вида:

а) для плоского деформированного состояния

(8.13)

Рис. 8.6. График функции

б) для осесимметричных задач при полной пластичности

делая таким образом допущение о том, что компоненты нормальных напряжений яв­ляются главными напряжениями (что, вообще говоря, является точным лишь при равен­стве нуля касательных напряжений).

Из анализа рис. 8.6 очевидно, что при пользование уравнениями

(8.13) в качестве приближенного условия пластич­ности может привести к значительным погрешностям.

Вычислим среднюю погрешность использования выражения (8.13) вместо (8.10а) в зависимости от отношения при изменении т от нуля до единицы.

Эта погрешность выразится так:

Значения нанесены на графике рис.8.6.

Если задаться какой-либо допустимой средней погрешностью использо­вания уравнения (8.13) в качестве приближенного условия пластичности (например 10%), то можно из рис. 8.6 увидеть, что это допустимо при т 0,7. Очевидно, что при 0,7 т 1 уже более логично в качестве при­ближенного условия пластичности использовать не (8. 13), а выражение

, (8.14)

являющееся точным при = k.

Отсюда можно сделать вывод, что если на контактных поверхностях силы трения следуют закону Кулона, т. е. зависят от нормального напряжения, то для малых значений коэффициента трения, когда в любой точке контактной: поверхности , в качестве приближенного условия пластичности можно принимать выражение (8. 13). Ошибка при этом не превзойдет 10%, что является достаточным в инженерной практике. Для больших значений коэффициента трения, когда , в качестве приближенного условия пластичности следует использовать выражение (8. 14). Дифферен­цирование (8. 13) и (8. 14) дает одинаковый результат, тождественный с (8. 12), но нужно помнить, что в этих случаях условие (8. 12) является приближенным, в то время как для случая постоянства касательных напря­жений или их независимости от нормальных напряжений уравнение (8.12) является точным уравнением пластичности [39].

8. 1. 4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Переходим к анализу граничных условий. Обычно граничные условия на свободных поверхностях деформируемого металла задаются в виде равен­ства нулю нормальных и касательных напряжений. На контактных поверх­ностях граничные условия задаются в виде предполагаемого (или определен­ного экспериментально) закона распределения касательных напряжений на контактных поверхностях. Нужно отметить, что до последнего времени имеется весьма немного непосредственных экспериментальных данных о харак­тере этого распределения. Поэтому ранние исследователи задавались эпюрой распределения контактных касательных напряжений либо на основании умозрительных заключений, либо по данным косвенных экспериментов. Обычно принимался один из следующих вариантов:

1. Предполагалось, что на всей контактной поверхности справедлив закон
Кулона, т. е. касательные напряжения пропорциональны нормальным [7],
[46], [54]. Иначе говоря, , где — коэффициент кулонова трения.

Очевидно, что при пользовании этим соотношением необходимо наложить еще одно условие — касательные напряжения не могут превзойти своего максимального значения, равного = k. Следовательно, нужно, чтобы в любой точке контактной поверхности удовлетворялось неравенство . В противном случае условие пластичности нарушается и решение системы уравнения равновесия совместно с условием пластичности уже недо­пустимо. Однако на это обстоятельство не обращалось должного внимания, следствием чего являлись преувеличенные результаты вычисления усилия и удельного усилия деформирования по формулам, полученным из решения указанных систем уравнений. Кроме того, характер эпюр нормальных напря­жений, вычисленных по формулам, не соответствовал эпюрам, полученным экспериментально.

2. Предполагалось [54], [12], [30], что на всей контактной поверх­ности касательные напряжения постоянны

и в частном случае .

Косвенные экспериментальные данные (по определению удельного усилия при прокатке и осадке) показывают, что для малых значений коэффи­циента трения результаты вычисленных усилий и удельных усилий дефор­мирования по формулам, полученным путем решения системы уравнений равновесия и пластичности в предположении , преуменьшены в сравнении с экспериментальными данными.

3. Н.А.Соболевский [33] впервые предположил, что закон распределе­ния контактных касательных напряжений является значительно более
сложным и что при прокатке в центральной части дуги захвата вблизи поверх­
ности раздела течения (на границе зон опережения и отставания) может
иметь место прилипание металла к валкам.

А. И. Целиков [55] для прокатки, а позже Ф. Кёрбер и А. Эйхингер [16] для осадки предположили, что на контактной поверхности имеются две зоны: скольжения и прилипания. Граница этих областей определяется точкой пересечения двух /кривых, выражающих собой эпюры касательных напряжений:

для области скольжения

и для области прилипания ,

где х — расстояние до нейтрального сечения, N — некоторый коэффи­циент и h — толщина прокатываемого металла или осаживаемой поковки.

Однако никаких ограничений на величину касательных напряжений не накла­дывалось, вследствие чего, вообще говоря, возможно нарушение условия пластичности.

Лишь в последние годы Е. П. Унксову и В. М. Заварцевой [47], [10], [48] для осадки в условиях плоской деформации под плоскими параллель­ными и наклонными плитами удалось показать, что в самом общем случае контактная поверхность (плоскость) может состоять из трех участков: 1) области скольжения периферийной части контактной поверхности, где происходит возрастание касательных напряжений пропорционально нор­мальным (кулоново трение); 2) области торможения — участка максималь­ных и постоянных касательных напряжений, независимо от величины нор­мальных напряжений; 3) области застоя (прилипания) — участка падения касательных напряжений, также независимо от величины нормальных напря­жений в центральной части контактной поверхности. В зависимости от отно­шения контактной поверхности к свободной поверхности деформируемого тела и величины коэффициента контактного трения возможны случаи: а) наличия всех трех участков; б) наличия первого и третьего; в) второго и третьего или г) только одного третьего участка.

Таким образом, при решении системы уравнений равновесия и пластич­ности для полного анализа всех возможных случаев необходимо задавать граничные условия в виде «а», «б», «в», «г».

На основании всего изложенного можно теперь сформулировать излагае­мый метод определения усилий и удельных давлений при различных техно­логических процессах обработки металлов давлением.

Метод состоит в определении нормальных напряжений на контактных поверхностях путем решения приближенных уравнений равновесия вида (8. 2), (8. 4), (8. 6), (8. 7) и (8. 9) и условий пластичности в виде (8. 12) и (8. 13} при экспериментально обоснованных граничных условиях. При этом нужно иметь в виду, что условие пластичности, написанное в виде (8. 12) для вто­рого и третьего участка контактной поверхности, является точным. Для участка с кулоновым трением (периферийная часть контактной поверхности) в качестве условия пластичности выражение (8. 12) является уже прибли­женным.

Ниже мы рассмотрим и на основании экспериментов подтвердим возмож­ность и целесообразность применения этого метода к исследованию основных, технологических процессов обработки металлов давлением.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: