Предмет основ геометрії. Історична довідка. Суть аксіоматичного методу.

ОСНОВИ МАТЕМАТИКИ

Навчально-методичний посібник

для здобувачів ступеня вищої освіти магістра

спеціальності «Математика»

Затверджено

вченою радою ЗНУ

Протокол від

Запоріжжя

УДК 51 (075.8)

ББК В1 я 73

С 79

Стєганцева П.Г. Основи математики: навчально-методичний посібник для здобувачів ступеня вищої освіти магістра спеціальності «Математика» / П.Г. Стєганцева, М.О.Гречнєва. – Запоріжжя: ЗНУ, 2015. – 85 с.

Посібник укладено відповідно до навчальної та робочої програм нормативної дисципліни «Основи математики». Він містить стислий виклад теоретичного матеріалу курсу. До кожної теми подано задачі, які сприятимуть формуванню необхідних практичних навичок. Для діагностики рівня засвоєння знань запропоновано питання для самоконтролю, задачі та тести.

Видання призначене для студентів спеціальності «Математика» денної, заочної форм навчання та екстернату. Викладачі можуть використати матеріал посібника для забезпечення самостійної роботи.

Рецензент І.В.Красікова

Відповідальний за випуск А.К. Приварников

ВСТУП

Специфіка математичної науки полягає в тому, що її об'єкти або постулюються, або їх істинність перевіряється в ході доведення. Ідея доведення зародилась ще в стародавні часи. Математична теорія будується аксіоматичним методом. Ті факти, що залучаються до процедури обґрунтування, що служать опорою для нього, сформульовані у вигляді аксіом. Всі інші факти виводяться з аксіом лише за правилами логіки. Головна мета звернень до філософських обґрунтувань в тому, щоб зрозуміти, яке відношення математичної теорії до реальності, що саме стоїть за математичним об'єктом і чому він зобов'язаний своєю появою. По суті це спроби (і насамперед самих математиків) вийти за межі власної науки, співвіднести її зміст з дійсним світом.

Філософські дискусії в математиці XIX ст. були пов'язані в основному з розвитком геометрії, а саме з тлумаченням неевклідових геометрій. В галузі математичного аналізу також виникли принципові труднощі, але до кінця XIX ст. вони здавалися легко усуненими і деякі з них, дійсно, були усунені. Неевклідові геометрії були фактом зовсім іншого роду. Питання про природу математичного знання виникло у зв'язку з ними знову і не менш гостро, ніж в попередньому столітті, у зв'язку з обґрунтуванням обчислення нескінченно малих.

Проблема обґрунтування визрівала історично, має глибоке коріння. Віхами на шляху становлення проблеми були кризи в основах математики, які і звели постановку цієї теми в ранг актуальних. Під обґрунтуванням математики розуміють демонстрацію можливості існування об'єктів її теорії і дослідження зв’язку між твердженнями про ці об’єкти. При такому підході доведення потребують і такі твердження, які є інтуїтивно очевидними. Саме це і називається математичною строгістю. В розвитку математичної науки були періоди надмірного захоплення формалізмом. Багато сучасних математиків вважають це захоплення іноді недоцільним. Але в процесі навчання математична строгість є необхідною. Лише професійний математик здатен визначити, коли евристичний аргумент можна довести до необхідного ступеня строгості, але ця здатність формується лише в процесі навчання проведенню формально строгих доведень.

До XIX ст. самі математики вважали, що математика досліджує числа, величини, фігури, а також, що досліджувані об’єкти даються нам разом з їх структурою. Наприклад, натуральні числа разом з операціями додавання та множення, множина дійсних чисел разом з функцією відстані. Внаслідок розвитку функціонального аналізу математики усвідомили, що на одній і тій же множині можна побудувати різні структури, а також, що одна і та сама математична структура може бути побудована на різних множинах. Це дало можливість дивитись на математику як на науку, що досліджує математичні структури, а основним методом дослідження є аксіоматичний.

Метою курсу є ознайомлення із сутністю аксіоматичного методу, аналіз його характерних рис, розгляд можливостей використання зв’язків між елементарною та вищою математикою.

Завдання:

· вивчення загальних питань аксіоматики;

· ознайомлення з основними проблемами аксіоматичної побудови математичної теорії;

· ознайомлення з аксіоматичними теоріями числових систем;

· вивчення основних фактів геометрії Лобачевського, як першої неевклідової геометрії;

· систематизація набутих при вивченні базових математичних дисциплін знань, вмінь та навичок.

У результаті вивчення навчальної дисципліни студент повинен

Знати:

· суть аксіоматичного методу побудови математики;

· систему аксіом теорії множин;

· систему аксіом Пеано арифметики натуральних чисел;

· зміст аксіоматичних теорій Вейля і Гілберта евклідової геометрії;

· основні факти геометрії Лобачевського;

· основні моделі геометрії Лобачевського.

Вміти:

· розв’язувати основні типи задач аксіоматичних теорій числових систем;

· розв’язувати основні типи задач планіметрії Евкліда;

· доводити еквівалентність п’ятого постулату і деяких тверджень евклідової геометрії;

· доводити найпростіші теореми геометрії Лобачевського.

ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ ОСНОВ МАТЕМАТИКИ

Тема 1. Загальні питання аксіоматики

Мета: Ознайомитися з принципами побудови теорій математичних структур аксіоматичним методом, вимогами до систем аксіом математичних структур.

План:

1.Предмет основ геометрії. Історична довідка. Суть аксіоматичного методу.

2. Поняття математичної структури, аксіоматичної теорії математичної структури, ізоморфізму математичних структур. Поняття моделі (інтерпретації) системи аксіом.

3. Вимоги до системи аксіом.

4. Огляд системи аксіом Вейля. Доведення несуперечливості системи аксіом Вейля евклідової геометрії.

5. Доведення повноти системи Вейля.

Ключові поняття: система аксіом, математична структура, модель системи аксіом, ізоморфізм моделей.

Вимоги до системи аксіом.

1. Несуперечливість (сумісність).

2. Незалежність (мінімальність).

3. Повнота (достатність).

Означення. Система аксіом називається внутрішньо несуперечливою, якщо з неї не можна вивести 2 протилежних твердження: і .

Система аксіом називається змістовно несуперечливою, якщо існує хоча б одна її модель. Отже, питання про змістовну несуперечливість системи аксіом зводиться до питання несуперечливості її моделі.

Означення. Говорять, що аксіома в системі аксіом є незалежною, якщо вона не є наслідком інших аксіом цієї системи. Система аксіом називається незалежною, якщо в ній кожна аксіома незалежна.

Теорема. Нехай задано систему аксіом . Розглянемо нову систему аксіом . Якщо система аксіом несуперечлива, то аксіома в системі аксіом є незалежною.

Доведення. Застосуємо метод від супротивного. Припустимо, що аксіома в системі є залежною, тобто в аксіоматичній теорії, побудованій на базі системи аксіом , твердження є теоремою. Але тоді в аксіоматичній теорії, побудованій на базі системи аксіом , справедливі твердження (теорема) і (аксіома), отже система аксіом суперечлива. Теорема доведена.

Означення. Система аксіом називається повною, якщо її не можна доповнити твердженням, яке б:

1. не суперечило аксіомам системи,

2. не залежало від них,

3. не вводило нових неозначуваних понять.

Теорема. Якщо будь-які дві моделі даної системи аксіом ізоморфні, то вона повна.

Доведення. Нехай система аксіом є неповною. За означенням існує твердження таке, що не містить нових неозначуваних понять, система є несуперечливою і твердження в ній є незалежним. Розглянемо моделі систем аксіом і . Вони є також моделями системи аксіом , причому не ізоморфними, адже в одній моделі виконується , а в іншій . Теорема доведена.

План.

1. Аксіоматика Пеано системи натуральних чисел і наслідки з неї.

2. Аксіоматичне означення цілих чисел. Множина цілих чисел як розширення множини натуральних чисел.

3. Аксіоматичне означення раціональних чисел. Множина раціональних чисел як розширення множини цілих чисел.

4. Означення перерізу на множині раціональних чисел.

Ключові поняття: натуральне число, аксіоми Пеано, числові системи, розширення множини, переріз на множині.

1. Аксіоматика Пеано системи натуральних чисел і наслідки з неї.

Вперше питання про створення аксіом арифметики поставив Лобачевський. Існують різні аксіоматики системи натуральних чисел. Ми розглянемо аксіоматику, створену італійським математиком Пеано. Неозначуваними поняттями в ній є: об’єкти «одиниця», «натуральне число» та відношення «безпосередньо слідує за». Список аксіом складається з чотирьох аксіом:

. Одиниця – натуральне число.

. Для кожного натурального числа існує єдине натуральне число , яке безпосередньо слідує за .

. Для кожного натурального числа , відмінного від одиниці, існує єдине натуральне число таке, що число безпосередньо слідує за .

(аксіома індукції). Якщо будь-яка підмножина М натуральних чисел містить одиницю і з припущення що М містить натуральне число випливає, що М містить натуральне число , то М є множиною всіх натуральних чисел.

Зауваження. Остання аксіома є обґрунтуванням методу доведення істинності тверджень, сформульованих для натуральних чисел – методу математичної індукції.

Умовимось позначати: одиницю символом 1, натуральне число (що безпосередньо слідує за 1) символом 2, – символом 3, – символом і т.д. Розглянемо початки аксіоматичної теорії натуральних чисел.

Означення. Сумою натурального числа і одиниці будемо називати натуральне число , яке безпосередньо слідує за . Сумою натурального числа і натурального числа (що безпосередньо слідує за ) називається натуральне число .

Користуючись цим означенням, можна, наприклад, обґрунтувати, що . Дійсно, запишемо таку послідовність рівностей.

.

Теорема. Додавання натуральних чисел асоціативне і комутативне.

Зауваження. Доведення властивостей слід проводити саме в тій послідовності, яка запропонована в формулюванні. Для доведення властивостей додавання суттєве значення має аксіома індукції.

Означення. Добутком натурального числа і одиниці будемо називати саме натуральне число . Добутком натурального числа і натурального числа (що безпосередньо слідує за ) називається натуральне число .

Доведемо, що .

Дійсно, .

Теорема. Множення натуральних чисел пов’язане із додаванням дистрибутивним законом. Множення натуральних чисел асоціативне і комутативне.

Означення. Натуральне число називається більшим за натуральне число , якщо існує таке натуральне число , що . Позначають . При цьому число називають меншим за число і пишуть .

Це відношення між натуральними числами має такі властивості:

1. ;

2. якщо і , то .

3. для будь-яких двох натуральних чисел і має місце лише одне з трьох співвідношень: , , .

При доведенні останньої властивості теж використовується аксіома індукції.

Означення. Різницею натурального числа і натурального числа називається таке натуральне число , що .

Теорема. Різниця натурального числа і натурального числа існує і єдина тоді і тільки тоді, коли .

Той факт, що в множині натуральних чисел не завжди виконується операція віднімання, робить доцільною необхідність розширення цієї множини.

Принцип розширення полягає в наступному:

1). якщо множина А розширюється до множини В, то .

2). операція, яка виконувалась у множині А, повинна виконуватись і мати ті самі властивості у множині В.

3). операція, яка не виконувалась або не завжди виконувалась у множині А, повинна виконуватись у множині В.

4). розширення повинне бути мінімальним, тобто розширення не повинне містити відмінних від А підмножин із такими ж, що і у А, властивостями.

Першим розширенням є поповнення множини натуральних чисел нулем, який позначають символом 0. Це число уводиться за допомогою таких аксіом:

1. .

2. .

3. 0+0=0, .

4. число 0 є меншим будь-якого натурального числа.

План.

1. Огляд побудов теорії дійсного числа. Перші наслідки з аксіом.

2. Побудова теорії дійсного числа за Дедекіндом.

3. Роль аксіоми неперервності в побудові математичного аналізу.

Ключові поняття: дійсне число, послідовність, система вкладених відрізків, переріз у множині дійсних чисел.

ЗМІСТ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Тема 1: Загальні питання аксіоматики. Вимоги до системи аксіом.

Мета: Навчитися перевіряти виконання вимог для систем аксіом математичних структур.

Методичні рекомендації. Важливо навчитися будувати моделі систем аксіом. Зверніть увагу на той факт, що коли модель будується на скінченій множині, то перевірка аксіом може бути виконана методом повної індукції. Перевіряючи систему аксіом на незалежність, доведеться окремо перевіряти кожну аксіому на незалежність. При доведенні повноти системи аксіом треба пам’ятати, що відношення ізоморфності є відношенням еквівалентності, тобто має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Дано математичну структуру , де – множина точок, – множина прямих, – відношення приналежності таке, що виконуються аксіоми:

: для будь-яких двох різних точок існує пряма, що містить кожну з них.

: для будь-яких двох різних точок існує не більше однієї прямої, що містить кожну з них.

: на кожній прямій існує принаймні дві точки.

: існує трійка точок, що не належать одній прямій.

Дослідити систему аксіом на несуперечність, на незалежність і повноту.

Розв’язання. Для перевірки системи аксіом на несуперечність побудуємо модель цієї системи. Визначимо основні поняття даної структури: "точка" – будь-яка з трьох точок евклідової площини, "пряма" – будь-яка з невпорядкованих пар , "належати" – як елемент множині , . Перевіримо, чи виконуються аксіоми.

: Візьмемо, наприклад, точки , для них існує пряма , якій вони належать. Для інших двох пар точок висновок такий самий.

: Для кожної з трьох можливих пар точок існує єдина пряма, якій вони належать.

: На кожній з трьох означених прямих існують по дві точки.

:Існують три точки , що одночасно не належать жодній із означених прямих .

Таким чином, побудовано модель цієї системи аксіом, а значить вона є несуперечливою.

Перевіримо аксіому на незалежність. Розглянемо систему , де аксіома : «Існує принаймні дві різні точки, для яких не існує прямої, якій обидві ці точки належать» є запереченням аксіоми . Треба перевірити систему на несуперечливість. Розглянемо наступну модель цієї системи. "Точкою" назвемо будь-яку з трьох точок евклідової площини, "прямою" – будь-яку з невпорядкованих пар , "належати" – в теоретико-множинному сенсі (елемент належить множині). Перевіримо, чи виконуються аксіоми.

: Для точок не існує прямої, якій обидві ці точки належать.

Очевидно, що і аксіоми виконуються, отже система –несуперечлива. Значить аксіома не залежить від аксіом .

Далі перевіримо незалежність аксіоми . Розглянемо систему , де : «Існують принаймні дві різних точки, для яких існують принаймні дві різні прямі, що містять ці точки». Визначимо поняття: "точка" – будь-яка з трьох точок евклідової площини, "пряма" – будь-яка з впорядкованих пар , , "належати" – як елемент множині. Легко бачити, що аксіоми виконуються. Для доведення аксіоми розглянемо точки та . Для них існують дві різні прямі і , що їх містять. Отже, система – несуперечлива, а значить,. аксіома не залежить від аксіом .

Аналогічно доводиться незалежність аксіом (самостійно). Доведено незалежність заданої системи аксіом.

Дана система аксіом не буде повною, бо існують не ізоморфні моделі цієї системи. Наприклад, модель , в якій три точки та три прямі та модель , в якій чотири точки та шість прямих пов’язані відношенням приналежності в зазначеному вище сенсі, не ізоморфні.

Задача 2. Дано математичну структуру , де – множина точок, – множина прямих, – відношення приналежності таке, що виконуються аксіоми:

: для будь-яких двох різних точок існує єдина пряма, що містить кожну з них.

: на кожній прямій існує принаймні дві точки.

: існує трійка точок, що не належать одній прямій.

: через будь-яку точку, що не належить даній прямій, проходить єдина пряма, що не перетинає дану пряму.

Дослідити систему аксіом на несуперечність, аксіому на незалежність.

Розв’язання. Визначимо поняття: "точка" – будь-яка з чотирьох точок евклідової площини, "пряма" – будь-яка з невпорядкованих пар , , "належати" – як елемент множині: , "паралельні прямі" – ті, що не мають спільних точок із точок .

Дослідження систему аксіом на несуперечністьпроводиться аналогічно задачі 1. Очевидно, що аксіоми , , виконуються. Доведемо аксіому . Нехай – дана пряма, а – точка, що їй не належить. Тоді серед прямих , що містять точку , лише одна пряма паралельна прямій . Так само для інших п’яти прямих.

Для перевірки аксіоми на незалежність треба дослідити систему аксіом на несуперечливість.

Задача 3. Довести, що система аксіом метричної структури залежна.

Доведення. Нагадаємо означення метрики: Метрикою (або відстанню) на довільній непорожній множині називається така дійсна функція , визначена для всіх , яка задовольняє наступним аксіомам:

.Для будь-яких (аксіома невід’ємності);

. (аксіома тотожності);

.Для будь-яких (аксіома симетрії);

.Для будь-яких (нерівність трикутника).

Доведемо, що досить прийняти лише аксіоми 2 і 4, а аксіоми 1 і 3 отримати як наслідки. Запишемо аксіому для набору , отримаємо

,

звідки, з урахуванням аксіоми

,

тобто виконується аксіома .

Далі, для набору аксіома прийме вигляд

, або ,

а для набору –

, або .

Отже, , тобто аксіома теж доведена.

Задача 4. Довести незалежність аксіоми 4.4 системи аксіом Вейля.

Розв’язання. Для доведення незалежності аксіоми 4.4 від інших аксіом системи аксіом Вейля розглянемо систему , де

: «Існують принаймні два таких ненульових вектора , що ».

Побудуємо модель. Основні поняття «точка», «вектор», «сума векторів», «добуток вектора на число» та «відкладання вектора від точки» означимо так само як і при побудові арифметичної моделі. Скалярний добуток векторів та означимо формулою

.

Очевидно, що аксіоми 4.1, 4.2, 4.3 виконуються. Для перевірки аксіоми розглянемо вектори та і знайдемо їх скалярні квадрати:

, .

Таким чином, система – несуперечлива, отже, аксіома 4.4 не залежить від інших аксіом системи Вейля.

Задача 5. Довести, не використовуючи комутативність додавання векторів, наступні твердження:

1). .

2). .

3). .

4). .

5). .

6). .

Розв’язання. Над знаками «=» будемо інколи записувати номер аксіоми або доведеного твердження

1). . З аксіоми 1.3 випливає, що .

2). , отже .

3). .

4). .

5). .

6). .

Задача 6. Довести залежність аксіоми 1.1: комутативності суми векторів від аксіом перших двох груп аксіоматики Вейля.

Розв’язання. Почнемо з лівої частини рівності і застосуємо аксіоми та доведені в попередній задачі властивостями, записуючи їх номери над знаками рівності, отримаємо

Висновок. Система аксіом Вейля залежна.

Задачі для самостійного розв’язання.

1.Точкою назвемо будь-яку точку площини, окрім однієї точки (точки О), прямою назвемо будь-яку пряму цієї площини, що проходить через точку О, або будь-яке коло, що проходить через точку О. Відношення «належати» розуміємо в теоретико-множинному сенсі. Дві прямі одного типу будемо називати паралельними, якщо вони не перетинаються. Показати, що наведений опис дає модель системи аксіом із задачі 2.

2. Які з наступних тверджень справедливі для вказаних множин точок і прямих і відношення належності:

1) «Точка» - довільна внутрішня точка круга на евклідовій площині, «пряма» - довільна хорда цього круга (без кінців), «належить», «перетинаються» - в теоретико-множинному сенсі.

2) «Точка» - довільне коло радіуса на евклідовій площині, «пряма» - довільна пара паралельних прямих, евклідова відстань між якими дорівнює , «точка належить прямій» - коло дотикається до пари паралельних прямих, «перетинаються» - в теоретико-множинному сенсі

3) «Точка» - довільна сфера радіуса в евклідовому просторі, «пряма» - довільний круговий циліндр радіуса , «точка належить прямій» - сфера дотикається до поверхні циліндра, «перетинаються» - в теоретико-множинному сенсі.

4) «Точка» - довільна пряма зв’язки прямих з центром О в евклідовому просторі, «пряма» - довільна площина цієї зв’язки, «точка належить прямій» - пряма зв’язки належить площині зв’язки, «перетинаються» - в теоретико-множинному сенсі. (зв’язка – множина прямих і площин, що проходять через одну точку).

Твердження:

: для будь-яких двох різних точок існує єдина пряма, якій належить кожна з точок.

: для будь-яких двох різних прямих існує єдина точка, яка належить кожній з прямих.

: кожній прямою належать принаймні дві точки.

: існує трійка точок, що не належать одній прямій.

: через будь-яку точку, що не належить цій прямій, проходить єдина пряма, що не перетинає цю пряму.

: через будь-яку точку, що не належить цій прямій, проходить дві прямі, що не перетинають цю пряму.

: існує чотири точки, ніякі три з яких не належать одній прямій

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Довести, що , вважаючи, що властивості числових нерівностей вже доведено.

Розв’язання. Розглянемо очевидну для будь-якого

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: