|
Предмет основ геометрії. Історична довідка. Суть аксіоматичного методу.Стр 1 из 14Следующая ⇒ ОСНОВИ МАТЕМАТИКИ
Навчально-методичний посібник для здобувачів ступеня вищої освіти магістра спеціальності «Математика»
Затверджено вченою радою ЗНУ Протокол від
Запоріжжя
УДК 51 (075.8) ББК В1 я 73 С 79
Стєганцева П.Г. Основи математики: навчально-методичний посібник для здобувачів ступеня вищої освіти магістра спеціальності «Математика» / П.Г. Стєганцева, М.О.Гречнєва. – Запоріжжя: ЗНУ, 2015. – 85 с.
Посібник укладено відповідно до навчальної та робочої програм нормативної дисципліни «Основи математики». Він містить стислий виклад теоретичного матеріалу курсу. До кожної теми подано задачі, які сприятимуть формуванню необхідних практичних навичок. Для діагностики рівня засвоєння знань запропоновано питання для самоконтролю, задачі та тести. Видання призначене для студентів спеціальності «Математика» денної, заочної форм навчання та екстернату. Викладачі можуть використати матеріал посібника для забезпечення самостійної роботи.
Рецензент І.В.Красікова Відповідальний за випуск А.К. Приварников
ВСТУП
Специфіка математичної науки полягає в тому, що її об'єкти або постулюються, або їх істинність перевіряється в ході доведення. Ідея доведення зародилась ще в стародавні часи. Математична теорія будується аксіоматичним методом. Ті факти, що залучаються до процедури обґрунтування, що служать опорою для нього, сформульовані у вигляді аксіом. Всі інші факти виводяться з аксіом лише за правилами логіки. Головна мета звернень до філософських обґрунтувань в тому, щоб зрозуміти, яке відношення математичної теорії до реальності, що саме стоїть за математичним об'єктом і чому він зобов'язаний своєю появою. По суті це спроби (і насамперед самих математиків) вийти за межі власної науки, співвіднести її зміст з дійсним світом. Філософські дискусії в математиці XIX ст. були пов'язані в основному з розвитком геометрії, а саме з тлумаченням неевклідових геометрій. В галузі математичного аналізу також виникли принципові труднощі, але до кінця XIX ст. вони здавалися легко усуненими і деякі з них, дійсно, були усунені. Неевклідові геометрії були фактом зовсім іншого роду. Питання про природу математичного знання виникло у зв'язку з ними знову і не менш гостро, ніж в попередньому столітті, у зв'язку з обґрунтуванням обчислення нескінченно малих. Проблема обґрунтування визрівала історично, має глибоке коріння. Віхами на шляху становлення проблеми були кризи в основах математики, які і звели постановку цієї теми в ранг актуальних. Під обґрунтуванням математики розуміють демонстрацію можливості існування об'єктів її теорії і дослідження зв’язку між твердженнями про ці об’єкти. При такому підході доведення потребують і такі твердження, які є інтуїтивно очевидними. Саме це і називається математичною строгістю. В розвитку математичної науки були періоди надмірного захоплення формалізмом. Багато сучасних математиків вважають це захоплення іноді недоцільним. Але в процесі навчання математична строгість є необхідною. Лише професійний математик здатен визначити, коли евристичний аргумент можна довести до необхідного ступеня строгості, але ця здатність формується лише в процесі навчання проведенню формально строгих доведень. До XIX ст. самі математики вважали, що математика досліджує числа, величини, фігури, а також, що досліджувані об’єкти даються нам разом з їх структурою. Наприклад, натуральні числа разом з операціями додавання та множення, множина дійсних чисел разом з функцією відстані. Внаслідок розвитку функціонального аналізу математики усвідомили, що на одній і тій же множині можна побудувати різні структури, а також, що одна і та сама математична структура може бути побудована на різних множинах. Це дало можливість дивитись на математику як на науку, що досліджує математичні структури, а основним методом дослідження є аксіоматичний. Метою курсу є ознайомлення із сутністю аксіоматичного методу, аналіз його характерних рис, розгляд можливостей використання зв’язків між елементарною та вищою математикою. Завдання: · вивчення загальних питань аксіоматики; · ознайомлення з основними проблемами аксіоматичної побудови математичної теорії; · ознайомлення з аксіоматичними теоріями числових систем; · вивчення основних фактів геометрії Лобачевського, як першої неевклідової геометрії; · систематизація набутих при вивченні базових математичних дисциплін знань, вмінь та навичок.
У результаті вивчення навчальної дисципліни студент повинен Знати: · суть аксіоматичного методу побудови математики; · систему аксіом теорії множин; · систему аксіом Пеано арифметики натуральних чисел; · зміст аксіоматичних теорій Вейля і Гілберта евклідової геометрії; · основні факти геометрії Лобачевського; · основні моделі геометрії Лобачевського. Вміти: · розв’язувати основні типи задач аксіоматичних теорій числових систем; · розв’язувати основні типи задач планіметрії Евкліда; · доводити еквівалентність п’ятого постулату і деяких тверджень евклідової геометрії; · доводити найпростіші теореми геометрії Лобачевського.
ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ ОСНОВ МАТЕМАТИКИ
Тема 1. Загальні питання аксіоматики Мета: Ознайомитися з принципами побудови теорій математичних структур аксіоматичним методом, вимогами до систем аксіом математичних структур. План: 1.Предмет основ геометрії. Історична довідка. Суть аксіоматичного методу. 2. Поняття математичної структури, аксіоматичної теорії математичної структури, ізоморфізму математичних структур. Поняття моделі (інтерпретації) системи аксіом. 3. Вимоги до системи аксіом. 4. Огляд системи аксіом Вейля. Доведення несуперечливості системи аксіом Вейля евклідової геометрії. 5. Доведення повноти системи Вейля.
Ключові поняття: система аксіом, математична структура, модель системи аксіом, ізоморфізм моделей. Вимоги до системи аксіом.
1. Несуперечливість (сумісність). 2. Незалежність (мінімальність). 3. Повнота (достатність).
Означення. Система аксіом називається внутрішньо несуперечливою, якщо з неї не можна вивести 2 протилежних твердження: Система аксіом називається змістовно несуперечливою, якщо існує хоча б одна її модель. Отже, питання про змістовну несуперечливість системи аксіом зводиться до питання несуперечливості її моделі. Означення. Говорять, що аксіома Теорема. Нехай задано систему аксіом Доведення. Застосуємо метод від супротивного. Припустимо, що аксіома Означення. Система аксіом називається повною, якщо її не можна доповнити твердженням, яке б: 1. не суперечило аксіомам системи, 2. не залежало від них, 3. не вводило нових неозначуваних понять. Теорема. Якщо будь-які дві моделі даної системи аксіом ізоморфні, то вона повна. Доведення. Нехай система аксіом План. 1. Аксіоматика Пеано системи натуральних чисел і наслідки з неї. 2. Аксіоматичне означення цілих чисел. Множина цілих чисел як розширення множини натуральних чисел. 3. Аксіоматичне означення раціональних чисел. Множина раціональних чисел як розширення множини цілих чисел. 4. Означення перерізу на множині раціональних чисел. Ключові поняття: натуральне число, аксіоми Пеано, числові системи, розширення множини, переріз на множині. 1. Аксіоматика Пеано системи натуральних чисел і наслідки з неї.
Вперше питання про створення аксіом арифметики поставив Лобачевський. Існують різні аксіоматики системи натуральних чисел. Ми розглянемо аксіоматику, створену італійським математиком Пеано. Неозначуваними поняттями в ній є: об’єкти «одиниця», «натуральне число» та відношення «безпосередньо слідує за». Список аксіом складається з чотирьох аксіом:
Зауваження. Остання аксіома є обґрунтуванням методу доведення істинності тверджень, сформульованих для натуральних чисел – методу математичної індукції. Умовимось позначати: одиницю символом 1, натуральне число Означення. Сумою натурального числа Користуючись цим означенням, можна, наприклад, обґрунтувати, що
Теорема. Додавання натуральних чисел асоціативне і комутативне. Зауваження. Доведення властивостей слід проводити саме в тій послідовності, яка запропонована в формулюванні. Для доведення властивостей додавання суттєве значення має аксіома індукції. Означення. Добутком натурального числа Доведемо, що Дійсно, Теорема. Множення натуральних чисел пов’язане із додаванням дистрибутивним законом. Множення натуральних чисел асоціативне і комутативне. Означення. Натуральне число Це відношення між натуральними числами має такі властивості: 1. 2. якщо 3. для будь-яких двох натуральних чисел При доведенні останньої властивості теж використовується аксіома індукції. Означення. Різницею натурального числа Теорема. Різниця натурального числа Той факт, що в множині натуральних чисел не завжди виконується операція віднімання, робить доцільною необхідність розширення цієї множини. Принцип розширення полягає в наступному: 1). якщо множина А розширюється до множини В, то 2). операція, яка виконувалась у множині А, повинна виконуватись і мати ті самі властивості у множині В. 3). операція, яка не виконувалась або не завжди виконувалась у множині А, повинна виконуватись у множині В. 4). розширення повинне бути мінімальним, тобто розширення не повинне містити відмінних від А підмножин із такими ж, що і у А, властивостями. Першим розширенням є поповнення множини натуральних чисел нулем, який позначають символом 0. Це число уводиться за допомогою таких аксіом: 1. 2. 3. 0+0=0, 4. число 0 є меншим будь-якого натурального числа.
План. 1. Огляд побудов теорії дійсного числа. Перші наслідки з аксіом. 2. Побудова теорії дійсного числа за Дедекіндом. 3. Роль аксіоми неперервності в побудові математичного аналізу. Ключові поняття: дійсне число, послідовність, система вкладених відрізків, переріз у множині дійсних чисел. ЗМІСТ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ Тема 1: Загальні питання аксіоматики. Вимоги до системи аксіом. Мета: Навчитися перевіряти виконання вимог для систем аксіом математичних структур. Методичні рекомендації. Важливо навчитися будувати моделі систем аксіом. Зверніть увагу на той факт, що коли модель будується на скінченій множині, то перевірка аксіом може бути виконана методом повної індукції. Перевіряючи систему аксіом на незалежність, доведеться окремо перевіряти кожну аксіому на незалежність. При доведенні повноти системи аксіом треба пам’ятати, що відношення ізоморфності є відношенням еквівалентності, тобто має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності. Приклади розв’язання задач Задача 1. Дано математичну структуру
Дослідити систему аксіом на несуперечність, на незалежність і повноту. Розв’язання. Для перевірки системи аксіом на несуперечність побудуємо модель цієї системи. Визначимо основні поняття даної структури: "точка" – будь-яка з трьох точок
Таким чином, побудовано модель цієї системи аксіом, а значить вона є несуперечливою. Перевіримо аксіому
Очевидно, що і аксіоми Далі перевіримо незалежність аксіоми Аналогічно доводиться незалежність аксіом Дана система аксіом не буде повною, бо існують не ізоморфні моделі цієї системи. Наприклад, модель
Задача 2. Дано математичну структуру
Дослідити систему аксіом на несуперечність, аксіому Розв’язання. Визначимо поняття: "точка" – будь-яка з чотирьох точок Дослідження систему аксіом на несуперечністьпроводиться аналогічно задачі 1. Очевидно, що аксіоми Для перевірки аксіоми Задача 3. Довести, що система аксіом метричної структури залежна. Доведення. Нагадаємо означення метрики: Метрикою (або відстанню) на довільній непорожній множині
Доведемо, що досить прийняти лише аксіоми 2 і 4, а аксіоми 1 і 3 отримати як наслідки. Запишемо аксіому
звідки, з урахуванням аксіоми
тобто виконується аксіома Далі, для набору
а для набору
Отже, Задача 4. Довести незалежність аксіоми 4.4 системи аксіом Вейля. Розв’язання. Для доведення незалежності аксіоми 4.4 від інших аксіом системи аксіом Вейля розглянемо систему
Побудуємо модель. Основні поняття «точка», «вектор», «сума векторів», «добуток вектора на число» та «відкладання вектора від точки» означимо так само як і при побудові арифметичної моделі. Скалярний добуток векторів
Очевидно, що аксіоми 4.1, 4.2, 4.3 виконуються. Для перевірки аксіоми
Таким чином, система Задача 5. Довести, не використовуючи комутативність додавання векторів, наступні твердження: 1). 2). 3). 4). 5). 6). Розв’язання. Над знаками «=» будемо інколи записувати номер аксіоми або доведеного твердження 1). 2). 3). 4). 5). 6). Задача 6. Довести залежність аксіоми 1.1: Розв’язання. Почнемо з лівої частини рівності і застосуємо аксіоми та доведені в попередній задачі властивостями, записуючи їх номери над знаками рівності, отримаємо Висновок. Система аксіом Вейля залежна. Задачі для самостійного розв’язання.
1.Точкою назвемо будь-яку точку площини, окрім однієї точки (точки О), прямою назвемо будь-яку пряму цієї площини, що проходить через точку О, або будь-яке коло, що проходить через точку О. Відношення «належати» розуміємо в теоретико-множинному сенсі. Дві прямі одного типу будемо називати паралельними, якщо вони не перетинаються. Показати, що наведений опис дає модель системи аксіом із задачі 2. 2. Які з наступних тверджень справедливі для вказаних множин точок і прямих і відношення належності: 1) «Точка» - довільна внутрішня точка круга на евклідовій площині, «пряма» - довільна хорда цього круга (без кінців), «належить», «перетинаються» - в теоретико-множинному сенсі. 2) «Точка» - довільне коло радіуса 3) «Точка» - довільна сфера радіуса 4) «Точка» - довільна пряма зв’язки прямих з центром О в евклідовому просторі, «пряма» - довільна площина цієї зв’язки, «точка належить прямій» - пряма зв’язки належить площині зв’язки, «перетинаються» - в теоретико-множинному сенсі. (зв’язка – множина прямих і площин, що проходять через одну точку).
Твердження:
Приклади розв’язання задач Задача 1. Довести, що Розв’язання. Розглянемо очевидну для будь-якого ![]() ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|