|
Сфери псевдоевклідового простору. Сферична тригонометрія.
Визначення сфери в псевдоевклідовому просторі залишимо таким самим, як і в евклідовому просторі, тобто як множину точок, що знаходяться на однаковій відстані від фіксованої точки. У зв'язку з тим, що відстань в просторі Сфера дійсного радіусу псевдоевклідового простору зображується в евклідовому просторі однопорожнинним гіперболоїдом
Сфера уявного радіуса псевдоевклідового простору зображується в евклідовому просторі двопорожнинним гіперболоїдом. Формули сферичної геометрії в евклідовому і псевдоевклідовому просторах однакові, але зміст їх різний. Крім того, сфера уявного радіусу несе на собі геометрію Лобачевського.
5. Інтерпретація планіметрії Лобачевського на сфері уявного радіусу псевдоевклідового простору. Евклідова геометрія як граничний випадок геометрії Лобачевського
Встановимо наступний словник. Під «точкою» будемо розуміти дві діаметрально протилежні точки сфери. Або можна поступити інакше. Другу порожнину сфери уявного радіусу не розглядати та інтерпретувати геометрію Лобачевського на півсфері. «Пряма» – це лінія перетину півсфери з площиною, що проходить через початок координат. Оскільки вся півсфера лежить у внутрішній області ізотропного конуса, то для кожної точки півсфери її радіус-вектор є псевдоевклідовим, тобто Покажемо, що при цих домовленостях про зміст точок та прямих півсфера уявного радіусу псевдоевклідового простору несе на собі геометрію площини Лобачевського. Для того, щоб упевнитися в цьому, треба перевірити виконання всіх аксіом планіметрії Лобачевського. Обмежимось перевіркою аксіоми паралельності. Передусім треба встановити зміст термінів «прямі, що перетинаються», «прямі, що розходяться» та «паралельні прямі» для даної інтерпретації. Оскільки прямі, які перетинаються, повинні мати спільну точку, то площини зв’язки з центром в точці О, які їх визначають, повинні перетинатися по прямій, яка проектує цю точку, але така пряма є псевдоевклідовою, тому що лежить всередині ізотропного конусу. У відповідності з визначенням паралельних прямих по Лобачевському проектуючі їх площини зв’язки повинні перетинатися по ізотропній прямій, тобто по твірній ізотропного конуса. Прямі, що розходяться, належать двома площинам, які перетинаються по евклідовій прямій. Перевірка аксіоми паралельності Лобачевського дає позитивну відповідь, аксіома виконується на сфері уявного радіусу псевдоевклідового простору. Розглянемо деякі формули геометрії Лобачевського. Оскільки вона реалізується на сфері, то можна використовувати формули сферичної геометрії. В сферичній геометрії відстань між двома точками
де
Оскільки площа трикутника на сфері обчислюється за формулою
Звідси отримуємо важливий і вже відомий нам висновок для суми внутрішніх кутів трикутника:
Різницю Нагадаємо, що перша теорема косинусів для сфери має вигляд
З другої теореми косинусів на сфері отримаємо другу терему косинусів на площині Лобачевського: Теорема синусів на площині Лобачевського запишеться у вигляді
Виведемо основну формулу геометрії Лобачевського. Розглянемо трикутник. Застосуємо до нього другу терему косинусів, враховуючи, що
ЗМІСТ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ Тема 1: Загальні питання аксіоматики. Вимоги до системи аксіом. Мета: Навчитися перевіряти виконання вимог для систем аксіом математичних структур. Методичні рекомендації. Важливо навчитися будувати моделі систем аксіом. Зверніть увагу на той факт, що коли модель будується на скінченій множині, то перевірка аксіом може бути виконана методом повної індукції. Перевіряючи систему аксіом на незалежність, доведеться окремо перевіряти кожну аксіому на незалежність. При доведенні повноти системи аксіом треба пам’ятати, що відношення ізоморфності є відношенням еквівалентності, тобто має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності. Приклади розв’язання задач Задача 1. Дано математичну структуру
Дослідити систему аксіом на несуперечність, на незалежність і повноту. Розв’язання. Для перевірки системи аксіом на несуперечність побудуємо модель цієї системи. Визначимо основні поняття даної структури: "точка" – будь-яка з трьох точок
Таким чином, побудовано модель цієї системи аксіом, а значить вона є несуперечливою. Перевіримо аксіому
Очевидно, що і аксіоми Далі перевіримо незалежність аксіоми Аналогічно доводиться незалежність аксіом Дана система аксіом не буде повною, бо існують не ізоморфні моделі цієї системи. Наприклад, модель
Задача 2. Дано математичну структуру
Дослідити систему аксіом на несуперечність, аксіому Розв’язання. Визначимо поняття: "точка" – будь-яка з чотирьох точок Дослідження систему аксіом на несуперечністьпроводиться аналогічно задачі 1. Очевидно, що аксіоми Для перевірки аксіоми Задача 3. Довести, що система аксіом метричної структури залежна. Доведення. Нагадаємо означення метрики: Метрикою (або відстанню) на довільній непорожній множині
Доведемо, що досить прийняти лише аксіоми 2 і 4, а аксіоми 1 і 3 отримати як наслідки. Запишемо аксіому
звідки, з урахуванням аксіоми
тобто виконується аксіома Далі, для набору
а для набору
Отже, Задача 4. Довести незалежність аксіоми 4.4 системи аксіом Вейля. Розв’язання. Для доведення незалежності аксіоми 4.4 від інших аксіом системи аксіом Вейля розглянемо систему
Побудуємо модель. Основні поняття «точка», «вектор», «сума векторів», «добуток вектора на число» та «відкладання вектора від точки» означимо так само як і при побудові арифметичної моделі. Скалярний добуток векторів
Очевидно, що аксіоми 4.1, 4.2, 4.3 виконуються. Для перевірки аксіоми
Таким чином, система Задача 5. Довести, не використовуючи комутативність додавання векторів, наступні твердження: 1). 2). 3). 4). 5). 6). Розв’язання. Над знаками «=» будемо інколи записувати номер аксіоми або доведеного твердження 1). 2). 3). 4). 5). 6). Задача 6. Довести залежність аксіоми 1.1: Розв’язання. Почнемо з лівої частини рівності і застосуємо аксіоми та доведені в попередній задачі властивостями, записуючи їх номери над знаками рівності, отримаємо Висновок. Система аксіом Вейля залежна. Задачі для самостійного розв’язання.
1.Точкою назвемо будь-яку точку площини, окрім однієї точки (точки О), прямою назвемо будь-яку пряму цієї площини, що проходить через точку О, або будь-яке коло, що проходить через точку О. Відношення «належати» розуміємо в теоретико-множинному сенсі. Дві прямі одного типу будемо називати паралельними, якщо вони не перетинаються. Показати, що наведений опис дає модель системи аксіом із задачі 2. 2. Які з наступних тверджень справедливі для вказаних множин точок і прямих і відношення належності: 1) «Точка» - довільна внутрішня точка круга на евклідовій площині, «пряма» - довільна хорда цього круга (без кінців), «належить», «перетинаються» - в теоретико-множинному сенсі. 2) «Точка» - довільне коло радіуса 3) «Точка» - довільна сфера радіуса 4) «Точка» - довільна пряма зв’язки прямих з центром О в евклідовому просторі, «пряма» - довільна площина цієї зв’язки, «точка належить прямій» - пряма зв’язки належить площині зв’язки, «перетинаються» - в теоретико-множинному сенсі. (зв’язка – множина прямих і площин, що проходять через одну точку).
Твердження:
![]() ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|