|
Побудова теорії дійсного числа за Дедекіндом.Неперервність в сенсі Дедекінда пов’язана з поняттям перерізу множини. Всі аксіоми перших трьох груп системи із Додатку Ґ залишимо без зміни. Означення. Перерізом впорядкованої множини М є представлення цієї множини у вигляді 1) кожний клас непорожній; 2) кожний елемент множини М належить тільки одному з класів; 3) якщо Переріз позначають символом Доповнимо систему з перших трьох груп такою аксіомою. Аксіома (Дедекінда). Кожне число з множини Отримаємо ще одну систему аксіом множини дійсних чисел, наслідками якої є всі відомі властивості дійсних чисел. В цій аксіоматичній теорії можна отримати як теореми твердження про вкладенні відрізки, аксіому Архімеда. Ми ж зупинимось на одному з конструктивних підходів до теорії дійсного числа – побудові дійсних чисел за допомогою Дедекіндових перерізів. При цьому підході властивість неперервності (у наведеному вище формулюванні) доводиться в якості теореми. Доведення побудуємо, спираючись на систему аксіом з Додатку Ґ. З вимоги 3) означення перерізу випливає, що множини Нехай тепер Покажемо, що неможливий переріз третього типу. Нехай 1) якщо 2) якщо Таким чином, в Роль аксіоми неперервності в побудові математичного аналізу. Значення аксіоми неперервності для побудови теорії дійсного числа ми вже розглянули. Але без неї неможлива і строга побудова математичного аналізу. Тривалий історичний проміжок часу математики доводили теореми з аналізу, посилаючись в "тонких місцях" на геометричне обґрунтування, а іноді й зовсім посилаючись на очевидність. Лише в останній третині XIX століття німецький математик Карл Вейєрштрас здійснив арифметизацію аналізу, побудувавши першу строгу теорію дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів. Він запропонував класичне визначення границі на мові Наведемо декілька фундаментальних тверджень аналізу, доведення яких спирається на властивість неперервності дійсних чисел. Теорема Вейєрштраса. Будь-яка обмежена монотонно зростаюча послідовність є збіжною. Теорема Больцано-Коші. Неперервна на відрізку функція, яка на кінцях цього відрізку приймає значення різних знаків, приймає значення 0 в деякій внутрішній точці відрізка. Теореми про існування степеневої, показникової, логарифмічної та трансцендентних функцій. ![]() ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|