|
Побудова теорії дійсного числа за Дедекіндом.Неперервність в сенсі Дедекінда пов’язана з поняттям перерізу множини. Всі аксіоми перших трьох груп системи із Додатку Ґ залишимо без зміни. Означення. Перерізом впорядкованої множини М є представлення цієї множини у вигляді 1) кожний клас непорожній; 2) кожний елемент множини М належить тільки одному з класів; 3) якщо Переріз позначають символом Доповнимо систему з перших трьох груп такою аксіомою. Аксіома (Дедекінда). Кожне число з множини Отримаємо ще одну систему аксіом множини дійсних чисел, наслідками якої є всі відомі властивості дійсних чисел. В цій аксіоматичній теорії можна отримати як теореми твердження про вкладенні відрізки, аксіому Архімеда. Ми ж зупинимось на одному з конструктивних підходів до теорії дійсного числа – побудові дійсних чисел за допомогою Дедекіндових перерізів. При цьому підході властивість неперервності (у наведеному вище формулюванні) доводиться в якості теореми. Доведення побудуємо, спираючись на систему аксіом з Додатку Ґ. З вимоги 3) означення перерізу випливає, що множини Нехай тепер Покажемо, що неможливий переріз третього типу. Нехай 1) якщо 2) якщо Таким чином, в Роль аксіоми неперервності в побудові математичного аналізу. Значення аксіоми неперервності для побудови теорії дійсного числа ми вже розглянули. Але без неї неможлива і строга побудова математичного аналізу. Тривалий історичний проміжок часу математики доводили теореми з аналізу, посилаючись в "тонких місцях" на геометричне обґрунтування, а іноді й зовсім посилаючись на очевидність. Лише в останній третині XIX століття німецький математик Карл Вейєрштрас здійснив арифметизацію аналізу, побудувавши першу строгу теорію дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів. Він запропонував класичне визначення границі на мові Наведемо декілька фундаментальних тверджень аналізу, доведення яких спирається на властивість неперервності дійсних чисел. Теорема Вейєрштраса. Будь-яка обмежена монотонно зростаюча послідовність є збіжною. Теорема Больцано-Коші. Неперервна на відрізку функція, яка на кінцях цього відрізку приймає значення різних знаків, приймає значення 0 в деякій внутрішній точці відрізка. Теореми про існування степеневої, показникової, логарифмічної та трансцендентних функцій. ![]() ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|