|
Тема 2: Аксіоматичні теорії натуральних, цілих, раціональних та дійсних чиселМета: Прослідкувати логічний зв'язок між першими теоремами аксіоматичних теорій числових систем і відповідними аксіомами. Методичні рекомендації. Зверніть увагу на необхідність дотримуватись математичної строгості при доведенні перших теорем аксіоматичних теорій. Бажано вказувати номери аксіом при обґрунтуванні кроків доведення. При доведенні властивостей цілих і раціональних чисел на мові пар ефективним буде використання факту, що при такому підході ціле число і, так само, раціональне число – це цілий клас попарно рівних між собою чисел. Приклади розв’язання задач Задача 1. Довести, що Розв’язання. Розглянемо очевидну для будь-якого натурального числа нерівність
Задача 2. Теорема (Архімеда). Доведення. Зрозуміло, що треба розглянути лише випадок
Задача 3. Довести, що Доведення. Застосуємо принцип індукції по
Припустимо, що для натурального
Для
Задача 4. Показати, що між довільними двома різними раціональними числами існує принаймні одне раціональне число. Вказівка. Розгляньте півсуму даних чисел. Задача 5. Показати, що в множині раціональних чисел не існує такого перерізу, що в класі А є найбільший, а в класі В є найменший елемент. Доведення. Нехай а - найбільший в А, в - найменший в В. Тоді а<в. Існує раціональне с таке, що а<с<в. Оскільки c>a, то с не належить до класу А, оскільки c<в, то с не належить до В. Отримали протиріччя з означенням перерізу. Задача 6. Довести властивість різниці: Розв’язання. Нехай
і Цілі числа в правих частинах останніх двох рівностей належать одному класу, або, інакше, рівні між собою. Задачі для самостійного розв’язання. 1. Впорядкувати цілі числа
2. Впорядкувати раціональні числа:
З. Порівняти цілі числа і знайти їх суму та різницю: 4. Порівняти раціональні числа і знайти їх суму та різницю: 5. Довести властивості різниці 1). 2). 3). 6. Довести рівності
7. На множині 8. Довести наслідки з аксіом множини дійсних чисел: 1) для будь-яких 2) для будь-яких 3) для будь-якого 4) Тема 3: Системи аксіом евклідової геометрії. Еквівалентність систем аксіом Вейля та Гільберта Мета: Порівняти аксіоматичні теорії евклідової геометрії, побудовані на базі систем аксіом Вейля та Гільберта. Методичні рекомендації. Математична структура «евклідова геометрія» може бути побудована на базі різних систем аксіом. Порівняння різних аксіоматичних теорій евклідової геометрії є важливим для розуміння аксіоматичного методу як засобу для її обґрунтування. Доведення еквівалентності систем Вейля і Гільберта підкреслює той факт, що такі різні системи аксіом дозволяють побудувати теорію однієї математичної структури. Приклади розв’язання задач
Розв’язати задачі в аксіоматичній теорії Вейля: Задача 1. Довести, що середня лінія трапеції паралельна її основам та дорівнює їх півсумі. Розв’язання.
1. 2. Користуючись аксіомами 1.3, 1.4, 2.3, 5.2, можна записати
Доведемо другу властивість середньої лінії трапеції. Для цього треба скористатись такою властивістю векторів: якщо
яку і требі було довести. Задача 2. Довести, що діагоналі прямокутника рівні між собою.
Виразимо вектори діагоналей через вектори сторін прямокутника за аксіомою 5.2:
Знайдемо скалярні квадрати обох векторів, отримаємо
Оскільки Задача 3. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці.
Умова ділення рівносильна векторній рівності Далі розглянемо трикутник
Задача 4. Користуючись системою аксіом Вейля евклідової планіметрії довести, що для будь-яких трьох точок Доведення. За аксіомою ![]() ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|