|
Огляд системи аксіом Вейля. Доведення несуперечливості системи аксіом Вейля евклідової геометрії.
В 1918 році німецьким математиком Г.Вейлем була запропонована точково-векторна аксіоматика евклідової геометрії (Додаток А). Основними об’єктами системи аксіом Вейля є «точка» та «вектор». Основними відношеннями є «додавання векторів», «множення вектора на число», «скалярний добуток векторів», «відкладання вектора від точки». Аксіоматика Вейля складається з п’яти груп аксіом. Аксіоми перших трьох груп складають аксіоматику векторного простору, перших чотирьох груп – аксіоматику векторного евклідового простору, всю систему аксіом називають ще системою аксіом евклідового точково-векторного простору. Несуперечливість системи аксіом Вейля доводиться шляхом побудови арифметичної моделі. В цій моделі «точкою» і «вектором» називають будь-яку впорядковану трійку дійсних чисел. При цьому для позначення точок будемо використовувати круглі дужки. Наприклад, точкою Для основного відношення першої групи введемо таке означення: сумою векторів Множення дійсного числа В третій групі основного відношення немає. Розглянемо набір векторів Скалярним добутком векторів Відношення п’ятої групи визначається так: будь-якій парі точок Отже, можемо зробити висновок: система аксіом Вейля несуперечлива, якщо несуперечлива арифметика дійсних чисел. Доведення повноти системи Вейля.
Позначимо символом Позначимо символом
Тема 2. Аксіоматичні теорії натуральних, цілих і раціональних чисел. Мета. Ознайомитись з аксіоматичною побудовою числових систем, з основними принципами розширення множини. План. 1. Аксіоматика Пеано системи натуральних чисел і наслідки з неї. 2. Аксіоматичне означення цілих чисел. Множина цілих чисел як розширення множини натуральних чисел. 3. Аксіоматичне означення раціональних чисел. Множина раціональних чисел як розширення множини цілих чисел. 4. Означення перерізу на множині раціональних чисел. Ключові поняття: натуральне число, аксіоми Пеано, числові системи, розширення множини, переріз на множині. 1. Аксіоматика Пеано системи натуральних чисел і наслідки з неї.
Вперше питання про створення аксіом арифметики поставив Лобачевський. Існують різні аксіоматики системи натуральних чисел. Ми розглянемо аксіоматику, створену італійським математиком Пеано. Неозначуваними поняттями в ній є: об’єкти «одиниця», «натуральне число» та відношення «безпосередньо слідує за». Список аксіом складається з чотирьох аксіом:
Зауваження. Остання аксіома є обґрунтуванням методу доведення істинності тверджень, сформульованих для натуральних чисел – методу математичної індукції. Умовимось позначати: одиницю символом 1, натуральне число Означення. Сумою натурального числа Користуючись цим означенням, можна, наприклад, обґрунтувати, що
Теорема. Додавання натуральних чисел асоціативне і комутативне. Зауваження. Доведення властивостей слід проводити саме в тій послідовності, яка запропонована в формулюванні. Для доведення властивостей додавання суттєве значення має аксіома індукції. Означення. Добутком натурального числа Доведемо, що Дійсно, Теорема. Множення натуральних чисел пов’язане із додаванням дистрибутивним законом. Множення натуральних чисел асоціативне і комутативне. Означення. Натуральне число Це відношення між натуральними числами має такі властивості: 1. 2. якщо 3. для будь-яких двох натуральних чисел При доведенні останньої властивості теж використовується аксіома індукції. Означення. Різницею натурального числа Теорема. Різниця натурального числа Той факт, що в множині натуральних чисел не завжди виконується операція віднімання, робить доцільною необхідність розширення цієї множини. Принцип розширення полягає в наступному: 1). якщо множина А розширюється до множини В, то 2). операція, яка виконувалась у множині А, повинна виконуватись і мати ті самі властивості у множині В. 3). операція, яка не виконувалась або не завжди виконувалась у множині А, повинна виконуватись у множині В. 4). розширення повинне бути мінімальним, тобто розширення не повинне містити відмінних від А підмножин із такими ж, що і у А, властивостями. Першим розширенням є поповнення множини натуральних чисел нулем, який позначають символом 0. Це число уводиться за допомогою таких аксіом: 1. 2. 3. 0+0=0, 4. число 0 є меншим будь-якого натурального числа.
![]() ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|