Огляд системи аксіом Вейля. Доведення несуперечливості системи аксіом Вейля евклідової геометрії.

В 1918 році німецьким математиком Г.Вейлем була запропонована точково-векторна аксіоматика евклідової геометрії (Додаток А).

Основними об’єктами системи аксіом Вейля є «точка» та «вектор». Основними відношеннями є «додавання векторів», «множення вектора на число», «скалярний добуток векторів», «відкладання вектора від точки». Аксіоматика Вейля складається з п’яти груп аксіом. Аксіоми перших трьох груп складають аксіоматику векторного простору, перших чотирьох груп – аксіоматику векторного евклідового простору, всю систему аксіом називають ще системою аксіом евклідового точково-векторного простору.

Несуперечливість системи аксіом Вейля доводиться шляхом побудови арифметичної моделі. В цій моделі «точкою» і «вектором» називають будь-яку впорядковану трійку дійсних чисел. При цьому для позначення точок будемо використовувати круглі дужки. Наприклад, точкою є трійка . Для позначення векторів використовують кутові дужки. Наприклад, вектором є трійка .

Для основного відношення першої групи введемо таке означення: сумою векторів та будемо називати вектор . Можна переконатися, що таке означення для суми векторів забезпечує виконання аксіом 1.1-1.4.

Множення дійсного числа на вектор (або вектора на число ) визначається наступним чином: . Так визначена операція задовольняє всім аксіомам другої групи

В третій групі основного відношення немає. Розглянемо набір векторів , , , він утворює базис тривимірного простору. Крім цього, для будь-якого вектора цього простору маємо , тобто вектори , , , лінійно залежні. Аксіома розмірності виконується.

Скалярним добутком векторів та називається число . Перші три аксіоми четвертої групи перевіряються безпосередньо. Скалярний квадрат вектора має вигляд , звідки випливає, що і що .

Відношення п’ятої групи визначається так: будь-якій парі точок та відповідає вектор , який будемо позначати символом . В аксіомі 5.1 задано ненульовий вектор та точка . Легко переконатись, що точка задовольняє цю аксіому. Справедливість аксіоми 5.2 перевіряється безпосередньо.

Отже, можемо зробити висновок: система аксіом Вейля несуперечлива, якщо несуперечлива арифметика дійсних чисел.

Доведення повноти системи Вейля.

Позначимо символом довільну модель системи аксіом Вейля. Якщо в цій моделі вектори утворюють базис, то для будь-якого вектора отримаємо розклад , де дійсні числа називаються координатами в базисі . Зафіксуємо точку . Будь-яка точка відносно репера має координати , якщо розклад радіус-вектора має вигляд .

Позначимо символом арифметичну модель системи аксіом Вейля. Розглянемо таку відповідність між моделями та . Точці поставимо у відповідність впорядковану трійку , вектору поставимо у відповідність впорядковану трійку , сумі векторів з моделі поставимо у відповідність суму відповідних векторам впорядкованих трійок, і так само між іншими операціями встановимо відповідність. Очевидно, вказана відповідність є бієктивною і має властивість ізоморфізму. Оскільки ізоморфізм є відношенням еквівалентності, то доведений ізоморфізм моделей та дозволяє зробити висновок про ізоморфізм будь-якої пари моделей системи аксіом Вейля. Отже, ця система аксіом повна.

Тема 2. Аксіоматичні теорії натуральних, цілих і раціональних чисел.

Мета. Ознайомитись з аксіоматичною побудовою числових систем, з основними принципами розширення множини.

План.

1. Аксіоматика Пеано системи натуральних чисел і наслідки з неї.

2. Аксіоматичне означення цілих чисел. Множина цілих чисел як розширення множини натуральних чисел.

3. Аксіоматичне означення раціональних чисел. Множина раціональних чисел як розширення множини цілих чисел.

4. Означення перерізу на множині раціональних чисел.

Ключові поняття: натуральне число, аксіоми Пеано, числові системи, розширення множини, переріз на множині.

1. Аксіоматика Пеано системи натуральних чисел і наслідки з неї.

Вперше питання про створення аксіом арифметики поставив Лобачевський. Існують різні аксіоматики системи натуральних чисел. Ми розглянемо аксіоматику, створену італійським математиком Пеано. Неозначуваними поняттями в ній є: об’єкти «одиниця», «натуральне число» та відношення «безпосередньо слідує за». Список аксіом складається з чотирьох аксіом:

. Одиниця – натуральне число.

. Для кожного натурального числа існує єдине натуральне число , яке безпосередньо слідує за .

. Для кожного натурального числа , відмінного від одиниці, існує єдине натуральне число таке, що число безпосередньо слідує за .

(аксіома індукції). Якщо будь-яка підмножина М натуральних чисел містить одиницю і з припущення що М містить натуральне число випливає, що М містить натуральне число , то М є множиною всіх натуральних чисел.

Зауваження. Остання аксіома є обґрунтуванням методу доведення істинності тверджень, сформульованих для натуральних чисел – методу математичної індукції.

Умовимось позначати: одиницю символом 1, натуральне число (що безпосередньо слідує за 1) символом 2, – символом 3, – символом і т.д. Розглянемо початки аксіоматичної теорії натуральних чисел.

Означення. Сумою натурального числа і одиниці будемо називати натуральне число , яке безпосередньо слідує за . Сумою натурального числа і натурального числа (що безпосередньо слідує за ) називається натуральне число .

Користуючись цим означенням, можна, наприклад, обґрунтувати, що . Дійсно, запишемо таку послідовність рівностей.

.

Теорема. Додавання натуральних чисел асоціативне і комутативне.

Зауваження. Доведення властивостей слід проводити саме в тій послідовності, яка запропонована в формулюванні. Для доведення властивостей додавання суттєве значення має аксіома індукції.

Означення. Добутком натурального числа і одиниці будемо називати саме натуральне число . Добутком натурального числа і натурального числа (що безпосередньо слідує за ) називається натуральне число .

Доведемо, що .

Дійсно, .

Теорема. Множення натуральних чисел пов’язане із додаванням дистрибутивним законом. Множення натуральних чисел асоціативне і комутативне.

Означення. Натуральне число називається більшим за натуральне число , якщо існує таке натуральне число , що . Позначають . При цьому число називають меншим за число і пишуть .

Це відношення між натуральними числами має такі властивості:

1. ;

2. якщо і , то .

3. для будь-яких двох натуральних чисел і має місце лише одне з трьох співвідношень: , , .

При доведенні останньої властивості теж використовується аксіома індукції.

Означення. Різницею натурального числа і натурального числа називається таке натуральне число , що .

Теорема. Різниця натурального числа і натурального числа існує і єдина тоді і тільки тоді, коли .

Той факт, що в множині натуральних чисел не завжди виконується операція віднімання, робить доцільною необхідність розширення цієї множини.

Принцип розширення полягає в наступному:

1). якщо множина А розширюється до множини В, то .

2). операція, яка виконувалась у множині А, повинна виконуватись і мати ті самі властивості у множині В.

3). операція, яка не виконувалась або не завжди виконувалась у множині А, повинна виконуватись у множині В.

4). розширення повинне бути мінімальним, тобто розширення не повинне містити відмінних від А підмножин із такими ж, що і у А, властивостями.

Першим розширенням є поповнення множини натуральних чисел нулем, який позначають символом 0. Це число уводиться за допомогою таких аксіом:

1. .

2. .

3. 0+0=0, .

4. число 0 є меншим будь-якого натурального числа.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: