|
Б) Основні факти геометрії Лобачевського.Оскільки аксіома Лобачевського є запереченням аксіоми паралельності Евкліда, то побудувавши заперечення еквівалентів 5 постулату Евкліда, ми отримаємо твердження, справедливі в геометрії Лобачевського. Наведемо кілька таких тверджень. Теорема. Перпендикуляр і похила, проведені до однієї прямої в одній площині, не завжди перетинаються. Доведення. Припустимо супротивне, тобто нехай в площині Лобачевського виконується твердження Лежандра. Але його наслідком є аксіома паралельності Евкліда, що неможливо в аксіоматичній теорії Лобачевського. Теорема. Існують трикутники, навколо яких не можна описати коло. Доведення. Аналогічно методом від супротивного, використовуючи еквівалентність твердження Ф. Бойяї та аксіоми паралельності Евкліда. На практичному занятті буде побудовано трикутник, що задовольняє теоремі, тобто трикутник, навколо якого не можна описати коло. Теорема. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника менша за Доведення. За теоремою абсолютної геометрії в кожному трикутнику сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника не більша (менша або дорівнює) Наслідок. Сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника менша за Теорема. Сума внутрішніх кутів трикутника є непостійною величиною. Доведення. Методом від супротивного проведенням трансверсалі.
Означення. Еквідистантою називається множина точок, рівновіддалених від даної прямої. Теорема. Еквідистанта є кривою. Доведення. Розглянемо на еквідистанті 3 різні точки Теорема. Дві розбіжні прямі мають єдиний спільний перпендикуляр, по обидві сторони від якого вони необмежено віддаляються одна від одної. Теорема (четверта ознака рівності трикутників). Якщо три кути одного трикутника рівні відповідним кутім іншого трикутника, то такі трикутники рівні. Наслідок. Не існують не конгруентні подібні трикутники. На площині Лобачевського немає відношення подібності фігур. Теорема. Кут при верхній основі чотирикутника Саккері гострий. Теорема. Середня лінія трикутника має довжину, меншу за половину довжини основи. Теорема. Сторона правильного шестикутника більша за радіус описаного кола.
3. Дослідження системи аксіом планіметрії Лобачевського. Інтерпретації Пуанкаре.
Побудуємо модель неевклідової планіметрії на множині об’єктів евклідової площини, що була запропонована А.Пуанкаре. Розглянемо на евклідовій площині деяку пряму Далі визначимо поняття: «точка належить прямій» або «пряма проходить через точку». Нехай Насправді, аксіома 1.1 виконується, оскільки через дві точки Аксіома 1.2 виконується, оскільки два півкола, що зображають неевклідові прямі, можуть мати не більше однієї спільної точки. Аксіома 1.3. виконується, оскільки на півколі існує нескінченно багато точок і в верхній півплощині існує нескінченно багато точок, що не належать вибраному півколу. Далі визначимо поняття «лежати між» по відношенню до неевклідових точок на неевклідових прямих. Нехай
Неевклідовим кутом будемо називати сукупність двох неевклідових півпрямих, що виходять з однієї неевклідової точки. В цій моделі роль рухів відіграють інверсії з центрами на прямій Назвемо неевклідів відрізок Аналогічно, назвемо неевклідів Можна перевірити, що аксіоми другої, третьої та четвертої груп теж виконуються. Перевіримо, чи виконується на цій моделі аксіома Лобачевського.
![]() ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|