Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Довести, що п'ятий постулат Евкліда еквівалентний твердженню





2.1. Існує трикутник, сума внутрішніх кутів якого дорівнює двом прямим кутам.

2.2. Існує чотирикутник з чотирма прямими кутами.

2.3. Кут, під яким з точки кола видно її діаметр, дорівнює прямому куту.

2.4. Якщо прямі і , які перетинаються, не перпендикулярні, то перпендикуляр, проведений у будь-якій точці прямої , перетинає пряму .

2.5.Перпендикуляри, проведені до середин сторін будь-якого трикутника, перетинаються в одній точці.

2.6. Біля довільного трикутника можна описати коло.

2.7. Відстань від змінної точки однієї з прямих до іншої прямої обмежена.

2.8. Перпендикуляр і похила до однієї прямої перетинаються.

2.9. Існує трикутник з сумою внутрішніх кутів, рівною двом прямим кутам.

2.10. Існує два подібні і нерівні трикутники.

2.11. Існує, принаймні, один квадрат.

2.12. Існує, принаймні, один опуклий чотирикутник з сумою внутрішніх кутів рівною чотирьом прямим кутам.

2.13. Сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, дорівнює радіусу кола.

2.14. Три точки, рівновіддалені від цієї прямої і розташовані в одній півплощині відносно неї, належать одній прямій.

2.14. Теорема Піфагора.

2.15. Середня лінія трикутника паралельна основі і дорівнює його половині.

 

Довести справедливість тверджень в геометрії Лобачевского

3.1. Будь-які дві паралельні прямі мають вісь симетрії.

3.2. Якщо пряма паралельна прямій , то пряма паралельна прямій (властивість симетричності відношення паралельності прямих на площині Лобачевского).

3.3. Якщо пряма лежить між паралельними прямими і і не перетинає жодну з них, то вона їм паралельна.

3.4. Нехай пряма симетрична прямій відносно прямої , а прямі і паралельні між собою. Тоді пряма паралельна як прямій так і прямий .

3.5. Якщо пряма паралельна прямій і пряма паралельна прямій , причому і - різні прямі, то пряма паралельна прямій (властивість транзитивності відношення паралельності прямих на площині Лобачевского).

3.6. У прямокутному трикутнику величина хоч би одного з його гострих кутів менше .

3.7. У прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута , більше половини гіпотенузи.

3.8. Кут, під яким видно діаметр кола з будь-якої точки цього кола, не співпадаючого з кінцями діаметру, - гострий.

3.9. У рівносторонньому трикутнику пряма, на якій лежить його середня лінія, і пряма, що містить основу трикутника, розходяться.

3.10. Середня лінія трикутника менше половини його основи.

3.11. У чотирикутнику Саккері відрізок, що сполучає середини нижнього і верхнього підстав, менше бічної сторони.

3.12. У чотирикутнику Саккері кожна пара протилежних сторін належить прямим, що розходяться.

3.13. У довільному трикутнику пряма, що містить його середню лінію розходиться з прямою, що містить сторону, що не має загальних точок з цією середньою лінією;

3.14. У усіх трикутників, що мають цей кут a при вершині A, висоти ha обмежені нерівністю: , де – кут паралельності, що відповідає відрізку .

3.15. Нехай – довільний кут, менший розгорнутого. Довести, що завжди існує така пряма , що і (пряма, паралельна сторонам ).

 


 

ПІДСУМКОВИЙ ТЕСТ

 

1. Сума внутрішніх кутів трикутника на площині Лобачевского
a. дорівнює ,
b. менша ,
c. більша .

2. Вектор є основним поняттям в системі аксіом
a. Г. Вейля,
b. А. В. Погорєлова,
c. Д. Гільберта,
d. А. Д. Олександрова.

3. На площині Лобачевського між собою рівні всі
a. кола,
b. еквідистанти,
c. оріцикли.

4. Твердження «Через дану точку поза прямою можна провести не більше однієї прямої, що не перетинає дану» вірне в

a. геометрії Евкліда,

b. геометрії Лобачевского,

c. абсолютній геометрії.

5. Подібних трикутників не існує в
a. геометрії Евкліда,
b. геометрії Лобачевского,
c. абсолютній геометрії.

6.У системі аксіом Вейля залежною є аксіома
a. асоціативності додавання векторів,
b. комутативності додавання векторів,
c. комутативності скалярного добутку векторів,
d. існування трьох лінійно незалежних векторів.

7. Відрізок є основним поняттям в системі аксіом
a. Г. Вейля,
b. А. В. Погорєлова,
c. Д. Гільберта,
d. А. Д. Олександрова.

8. В евклідовому просторі геометрія Лобачевського «в малому» реалізується на
a. сфері,
b. псевдосфері,
c. гелікоїді,
d. катеноїді.

9. Прямих, які не перетинаються, немає в

a. геометрії Евкліда,

b. геометрії Лобачевского,

c. абсолютній геометрії,

d. сферичній геометрії.


ЛІТЕРАТУРА

1. Александров А.Д. Геометрия / А.Д.Александров, С.К.Нецветаев. – М.: Наука, 1985. – 671 с.

2. Бакельман И.Я Высшая геометрия / И.Я.Бакельман. - М.: Просвещение, 1967. – 367 с.

3. Базылев В.Т. Сборник задач по геометрии / В.Т.Базылев, К.И.Дуничев, В.П.Иваницкая. - М.: Просвещение, 1980. – 238 с.

4. Беляев Е.А. Философские и методологические проблемы математики /Е.А.Беляев, В.Я.Перминов. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. – 217 с.

5. Болибрух А.А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя) / А.А. Болибрух. – М.: МЦНМО, 1999. – 24 с.

6. Гильберт Д. Основания геометрии / Д. Гильберт. - М.: ГИТТЛ, 1948. – 152 с.

7. Егоров И.П. Геометрия / И.П.Егоров. – М.: Просвещение, 1979. – 256 с.

8. Ефимов Н.В. Высшая геометрия / Н.В.Ефимов. – М.: Наука, 1978. –576 с.

9. Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика / С.Б. Кадомцев. – М.: Изд-во ЛКИ, 2007. — 72 с.

10. Клини С.К. Введение в метаматематику / С.К.Клини. – М.: Мир, 2008. – 480 с. / http://www.bookshop.ua/

11. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.1 / Л.Д.Кудрявцев. – М.: Высшая школа, 1970. – 592 с.

12. Курант Р. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов / Р. Курант, Г. Роббинс, – М.: МЦНМО, 2001. – 568с.

13. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / И. Лакатос. – М.: Наука, 2010. – 154 с.

14. Нечаев В.И. Числовые системы / В.И.Нечаев. – М.: Просвещение, 1975. – 199 с.

15. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского / В.В.Прасолов. – М.: Наука, 2004, - 88 с.

16. Перминов В.Я. Философия и основания математики / В.Я. Перминов. – Прогресс-Традиция, 2001. – 320 с. /

http://www.knigka.info/2010/02/28/filosofija-i-osnovanija-matematiki.html

17. Франгулов С.А. Сборник задач по геометрии / С.А. Франгулов, П.И. Совертков, А.А. Фадеева, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 2002 – 263 с.

18. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного / Г.Е.Шилов. – М.: Наука, 1969. – 528 с.

19.Lesniewicz R. Редукция аксиом линейного пространства / Вісник Харківського нац. ун-ту ім. В.Н.Каразіна. –серія «Математика, прикладна математика і механіка».- 2009.- №850. – С.78-82 / vestnik-math.univer.kharkov.ua/Vestnik-Khnu-850-2009-lesh.pdf


ПИТАННЯ ДО ЗАЛІКУ

1. Означення математичної структури, аксіоматичної теорії математичної структури, моделі системи аксіом.

2. Означення аксіоми, теореми, означення.

3. «Начала» Евкліда. Зміст, структура, недоліки. Проблема п’ятого постулату та історія її вирішення.

4. Огляд системи аксіом Вейля евклідової геометрії.

5. Огляд системи аксіом Гільберта евклідової геометрії.

6. Порівняння аксіоматичних теорій евклідової геометрії за Вейлем і за Гільбертом.

7. Сутність аксіоматичного методу побудови геометрії.

8. Вимога несуперечливості системи аксіом. Ідея доведення.

9. Вимога незалежності системи аксіом. Приклади доведення незалежності аксіом.

10. Вимога повноти системи аксіом. Приклади повних і неповних систем аксіом.

11. Перевірка несуперечливості аксіом І групи аксіоматики Гільберта на арифметичній моделі.

12. Перевірка несуперечливості аксіом ІІ групи аксіоматики Гільберта на арифметичній моделі.

13. Перевірка несуперечливості аксіоми паралельності системи аксіом Гільберта на арифметичній моделі.

14. Обґрунтування теорії вимірювання відрізків за допомогою аксіом четвертої групи.

15. Поняття абсолютної геометрії. Приклади теорем абсолютної геометрії. Теорема про зовнішній кут трикутника.

16. Еквівалентність аксіоми паралельності та п’ятого постулату Евкліда. Інші еквіваленти п’ятого постулату.

17. Відкриття Лобачевського та його значення. Неевклідова геометрія.

18. Аксіоматика геометрії Лобачевського. Її несуперечливість.

19. Теорема про існування нескінченої множини прямих, які проходять через дану точку і не перетинають дану пряму на площині Лобачевського.

20. Основні факти геометрії Лобачевского (сума кутів трикутника, описане коло, четверта ознака рівності трикутників).

21. Відрізок та кут паралельності. Функція Лобачевського та ії властивості.

22. Визначання паралельних прямих на площині Лобачевського.

23. Властивості паралельних прямих на площині Лобачевського.

24. Розбіжні прямі на площині Лобачевського.

25. Модель Пуанкаре геометрії Лобачевського.


Додаток А

 







Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.