Розбити наступні теореми на три групи: теореми абсолютної геометрії, наслідки аксіоми паралельності Евкліда, наслідки аксіоми паралельності Лобачевського.

1. Перпендикуляр і похила до однієї прямої, розташовані в одній півплощині відносно цієї прямої, не завжди перетинаються.

2. Існують трикутники, навколо яких не можна описати коло.

3. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника не більша за .

4. Теорема синусів.

5. Теорема косинусів.

6. Теорема Піфагора.

7. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

8. Діагоналі прямокутника рівні між собою.

9. Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін і середини основ трапеції належать одній прямій.

10. Сума квадратів сторін паралелограма дорівнює сумі квадратів його діагоналей.

11. Сума внутрішніх кутів трикутника не є постійною.

12. Множина точок площини, рівновіддалених від даної прямої є кривою.

13. Катет прямокутного трикутника, який є протилежним до кута з величиною , більший за половину гіпотенузи.

14. Якщо сума внутрішніх кутів трикутника є постійною, то має місце 5 постулат Евкліда.

15. Якщо два серединних перпендикуляра до сторін трикутника перетинаються в деякій точці О, то третій серединний перпендикуляр теж проходить через точку О.

16. Якщо два серединних перпендикуляра до сторін трикутника перетинаються в деякій точці О, то навколо цього трикутника можна описати коло з центром в точці О.

17. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника менша .

18. Сума внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника не більша за .

19. Якщо три кути одного трикутника дорівнюють відповідно трьом кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

20. Для будь-яких двох паралельних прямих існує і тільки одна пряма, яка перпендикулярна одній із двох даних прямих і паралельна другій.

21. Ортогональна проекція однієї із сторін гострого кута на другу сторону є півінтервалом.

22. Катет прямокутного трикутника, який є протилежним до кута з величиною , не менший за половину гіпотенузи.

23. В прямокутному трикутнику величина хоча б одного з гострих кутів менша за .

24. Середня лінія трикутника менша за половину його основи.

25. Будь-які дві паралельні прямі мають вісь симетрії.

6. Підготувати доповідь за темою:

· Історичний огляд обґрунтування геометрії. «Начала» Евкліда: зміст, структура, недоліки;

· Редукция аксиом линейного пространства;

· Перша проблема Гільберта;

· Дослідження Саккері, Ламберта, Лежандра;

· Проблема п’ятого постулату та історія її вирішення. Помилкові доведення п’ятого постулату Евкліда;

· Вимірювання площ простих многокутників.Рівновеликі та рівноскладені многокутники;

· Теорія об’ємів многогранників. Третя проблема Гільберта та її розв’язання. Рівновеликість і рівноскладенність многогранників. Теорема Бойяї-Гервіна. Теорема Дена-Кагана.

Впорядкованість на множині дійсних чисел

В аксіоматичній теорії, що будується на базі системи аксіом з Додатку Ґ, відношення порядку є основним, тобто його не треба означувати.

Інший варіант – за допомогою поняття перерізу множини, а саме:

Означення. Нехай . Тоді будемо говорити, що , якщо , , якщо , , якщо .

Користуючись цим означенням, доведіть такі твердження.

Теорема. Для будь-яких дійсних справедливе тільки одно із співвідношень: , , .

Теорема. Між будь-якими двома дійсними числами існує скільки завгодно дійсних чисел.

8. Ознайомитись із доведенням незалежності аксіоми індукції системи аксіом множини натуральних чисел [14].

Побудувати ізоморфне відображення моделі Пуанкаре геометрії Лобачевського на евклідовій півплощині на модель геометрії Лобачевського в одиничному крузі.

ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ

1. Користуючись системою аксіом Вейля планіметрії Евкліда довести, що:

1.1. Для будь-яких трьох точок A, B, C справедливе нерівність трикутника: .

1.2. Точка B лежить між точками A і C, тоді і тільки тоді, коли .

1.3. Перша ознака рівності трикутників.

1.4. Друга ознака рівності трикутників.

1.5. Третя ознака рівності трикутників.

1.6. Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і гострому куту іншого прямокутного трикутника, то ці трикутники рівні між собою.

1.7. Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету іншого прямокутного трикутника, то ці трикутники рівні.

1.8. Бісектриса кута є множина точок, рівновіддалених від сторін кута.

1.9. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні між собою.

1.10. Медіана рівнобедреного трикутника є його бісектрисою і висотою.

1.11. Зовнішній кут трикутника більший за кожен внутрішній, не суміжний з ним.

1.12. Середня лінія трикутника паралельна основі і дорівнює його половині.

1.13. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут.

1.14. У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона.

1.15. Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: