Аксіоматика Вейля евклідового простору

Основні об'єкти: точка, вектор

Аксіоми додавання векторів

Основне відношення :

1.1. Додавання векторів комутативне.

1.2. Додавання векторів асоціативно.

1.3. Існує вектор такий, що для будь-якого виконано .

1.4. Для будь-якого існує вектор такий, що .

Аксіоми добутку вектора на число

Основне відношення :

2.1. .

2.2. .

2.3. .

2.4. .

Аксіома розмірності

3.1. Існує три лінійно незалежних векторів. Будь-які чотири вектори лінійно залежні.

– структура тривимірного векторного простору

Аксіоми скалярного добутку

Основне відношення :

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

– структура тривимірного векторного евклідового простору

Аксіоми відкладання векторів

Основне відношення: :

5.1. Для будь-якої точки і будь-якого ненульового вектора існує єдина точка така, що .

5.2. Аксіома трикутника. Для будь-яких трьох точок справедлива рівність .

- структура тривимірного точково-векторного евклідового простору

Додаток Б

Система аксіом Гильберта евклідового простору

I. Аксіоми приналежності

1.1. Для будь-яких двох різних точок існує пряма, що проходить через ці точки.

1.2. Для будь-яких двох різних точок існує не більше однієї прямої, що проходить через ці точки.

1.3. Для кожної прямої існує принаймні дві точки, які їй належать. Існує три точки, що не належать одній прямій.

1.4. Для будь-яких трьох точок, що не належать одній прямій, існує площина, що проходить через ці точки. Для кожної площини існує принаймні одна точка, що їй не належить.

1.5. Для будь-яких трьох точок, що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, що проходить через ці точки.

1.6. Якщо дві точки прямої належать площині, то кожна точка цієї прямої належить площини.

1.7. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають принаймні ще одну спільну точку.

1.8. Існує чотири точки, що не належать одній площині.

II. Аксіоми порядку

2.1. Якщо – три точки однієї прямої і точка лежить між точками , то: а) точки різні, б) точка лежить між точками .

2.2. Для будь-яких двох точок прямої існує точка цієї прямої така, що точка лежить між точками .

2.3. Для трьох різних точок прямої не більше однієї з них лежить між двома іншими.

2.4. (Аксіома Паша). Нехай задано трикутник і в його площині пряма , що не проходить ні через одну з точок . Якщо пряма перетинає одну сторону трикутника, то вона перетинає також або другу сторону або третю сторону .

III. Аксіоми конгруентності

3.1. Якщо , - дві точки на прямій і – точка на тій же прямій або на іншій прямій , то завжди можна знайти на заданій півпрямій прямої з початком одну і тільки одну точку таку, що відрізок конгруентний відрізку (). Для кожного відрізка має місце конгруентність .

3.2. Якщо , , то .

3.3. Нехай і – два відрізка на прямій без спільних внутрішніх точок, і нехай і – два відрізка на тій же або інший прямий , що також не мають спільних внутрішніх точок. Якщо і , то .

3.4. Нехай дано на площині , пряма на цій же або іншій площині і одна з двох півплощин відносно прямої . Нехай - промінь прямої , що виходить з точки . Тоді на площині існує один і тільки один промінь такий, що і при цьому всі внутрішні точки лежать в вибраній півплощині відносно . Якщо , то . Потрібно також, щоб і .

3.5. Нехай – три точки, що не лежать на одній прямій, і теж три точки, що не лежать на одній прямій. Якщо при цьому , і , тоді .

IV. Аксіоми неперервності

4.1. (Аксіома Архімеда). Нехай дано два довільних відрізка і . Існує таке натуральне , що .

4.2. (Аксіома Кантора). Нехай на прямій задано послідовність відрізків, які відповідають двом вимогам: 1) кожен наступний відрізок вкладений у попередній; 2) не існує відрізка, що належить усім відрізкам послідовності. Тоді існує точка, що належить кожному з відрізків послідовності.

V. Аксіома паралельності

Через будь-яку точку, яка не належить даній прямій, в площині, що визначається ними, можна провести не більше однієї прямої, що не перетинає дану пряму.

Додаток В

Система аксіом Погорєлова евклідового простору
Основні об'єкти: точка, пряма, площина

1. Аксіоми зв'язку:

1) Які б не були дві точки і , існує пряма , що проходить через точку і точку .

2) Які б не були дві точки і , існує не більше однієї прямої, яка проходить через ці точки.

3) На кожній прямій лежать, принаймні, дві точки. Існують три точки, що не лежать на одній прямій.

4) Які б не були три точки , існує площина , що проходить через кожну з цих точок.. На кожній площині лежить хоча б одна точка.

5) Які б не були три точки , що не лежать на одній прямій, існує не більше однієї площини, що проходить через кожну з цих точок.

6) Якщо дві точки і прямої лежать в площині , то пряма лежить на площині.

7) Якщо дві площини і мають одну спільну точку (точку, що лежить на кожній з цих площин), то вони мають ще принаймні одну спільну точку .

8) Існують, принаймні, чотири точки не лежать в одній площині.

2. Аксіоми порядку:

1) Якщо в одному напрямку, то в протилежному напрямку.

2) В одному з двох напрямків виключає .

3) В одному з двох напрямків, якщо , а , то .

4) В одному з двох напрямків для кожної точки найдуться точки і такі, що .

5) Пряма , що лежить у площині , розбиває цю площину на дві частини (півплощини) так, що якщо і – дві точки однієї півплощини, то відрізок не перетинається з прямою , а якщо ж і належать різним півплощинам, то відрізок перетинається з прямою .

3. Аксіоми руху:

1) Кожне рух зберігає відношення приналежності.

2) Кожний рух зберігає відношення порядку на прямій.

3) Руху утворюють групу.

4) Якщо при русі півпряма , як ціле, та її початкова точка залишаються нерухомими, то всі точки півпрямої залишаються нерухомими.

5) Для кожної пари точок і існує рух , яка переставляє їх місцями , .

6) Для кожної пари променів і (півпрямих), що виходять з однієї точки, існує рух , що їх переставляє: , .

7) Нехай і – будь-які площині, і – прямі в цих площинах, і – точки на прямих і . Тоді існує і притому єдиний рух, що переводить точку в , задану півпряму прямої , що визначається точкою , - у задану півпряму прямій , що визначається точкою , задану півплощину площині , що визначається прямою , - у задану півплощину площині , що визначається прямою .

4. Аксіома неперервності:

Аксіома Дедекінда: Нехай точки прямої розбиті на два непустих класи так, що в одному із двох напрямків на прямій кожна точка першого класу передує кожній точці другого класу і обидва класу непусті. Тоді або в першому класі існує точка, наступна за всіма іншими точками першого класу, або в другому класі є точка, що передує всім іншим точкам другого класу.

5. Аксіома паралельності:

Через дану точку поза даною прямою можна провести на площині не більше однієї прямої, що не перетинає дану.

Додаток Г

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: