Определение сложной функции, как композиции отображений, было рассмотрено в главе 4.

Если заданы две функции y=f(x); y=g(x) (E(g)ÌD(f)), то функция F(x)=f(g(x)) называется сложной функцией.

Возьмите на заметку:

1)Если обе функции f и g возрастают,

то функция F тоже возрастает.

2)Если обе функции f и g убывают,

то функция F возрастает.

3)Если одна из функций возрастает, а другая убывает,

то функция F убывает.

Пример 1.

Дано:

f(x)= ; g(x)=x⁷; 𝛗(x)=|x|.

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗(x))),

Построить график и провести исследование.

Решение:

y=f(g(𝛗(x)))=f(g(|x|))=f(|x|⁷)= ®

y=

Сначала построим график функции у= ® >1®

Затем сделаем чётное продолжение.

Исследование:

1) D(y)=R

2) E(y)=[0;+∞)

Чётная

4) у=0«х=0

5) min y(0)=0.

Пример 2.

Дано:

f(x)=x-2; g(x)=x⁷; 𝛗(x)=

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗(x))),

построить график и провести исследование.

Решение:

y=f(g(𝛗(x)))=f(g( ))=f(| =| ®

y=

Порядок построения графика этой функции:

(1)у= (2) у=| (3)

Схема графика:

у

х

-2

 

Исследование:

1) D(y)=(0;+∞); x=0- вертикальная асимптота.

2) E(y)=[-2;+∞).

3) y=0«| =2« «

Общего вида.

5) min y(1)=-2.

Пример 3.

Дано:

f(x)=|x+2|; g(x)= ; 𝛗(x)=-(x+1)

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗(x))),

построить график и провести исследование.

Общего вида.

5) min y(-5)=0.

Пример 4.

Дано:

f(x)=x-3; g(x)= ; 𝛗(x)=|x|.

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗(x))),

построить график и провести исследование.

Чётная функция.

5) max y(0)=-2.

Пример 5(самостоятельно).

Дано:

f(x)= ; g(x)=x³; 𝛗(x)=|x|+1.

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗(x))),

построить график и провести исследование.

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗(x))),

построить график и провести исследование.

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗(x))),

построить график и провести исследование.

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗(x))),

построить график и провести исследование.

Обратные функции.

Примечание:

Основные понятия об обратной функции

Были рассмотрены в главе 4.

Пример 1.

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у= -2.

Решение:

Т.к функция у= -2 строго возрастает на всей числовой оси, то существует обратная функция и при этом:

D(f^-1)=E(f)®E(f)=(-2;+∞)=D(f^-1).

Ответ: (-2;+∞).

Пример 2.

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у= +2.

Решение:

Т.к. функция у= +2 строго возрастает при х³5/3, то существует обратная функция и при этом:

D(f^-1)=E(f)®E(f)=[2;+∞)=D(f^-1).

Ответ: [2;+∞).

Пример 3.

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у=5-(х+2)³.

Решение:

Т.к. функция у=5-(х+2)³.строго убывает на всей числовой оси, то существует обратная функция и при этом:

D(f^-1)=E(f)®E(f)=(-∞;+∞)=D(f^-1).

Ответ: (-∞;+∞).

Пример 4.

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у= +3.

Решение:

Т.к. функция у= +3 строго возрастает на всей числовой оси, то существует обратная функция и при этом:

D(f^-1)=E(f)®E(f)=(-∞;+∞)=D(f^-1).

Ответ: (-∞;+∞).

Пример 5 (самостоятельно).

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у=4- .

Ответ: (-∞;4).

Пример 6(самостоятельно).

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у= .

Ответ: [-5;+∞).

Пример 7 (самостоятельно).

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у=3- .

Ответ:(-∞;+∞)

Пример 8 (самостоятельно).

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у= +5.

Ответ: [5;+∞).

Пример 9.

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у=3-

Решение:

Функция у=3- задана в области D(f)=(-∞;4).

Данная функция строго монотонна, а именно, возрастает.

Сделаем контрольную проверку.

Пусть х₁=3® f(3)=3; x₂=2®f(2)=2.

x₁>x₂®f(x₁)>f(x₂)®функция возрастает.

Следовательно, существует обратная функция, при этом

E(f^-1)=D(f)=(-∞;4).

Ответ: (-∞;4).

Пример 10.

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= +1.

Решение:

Функция у= +1 задана в области D(f)=(-∞;2,5]

Данная функция строго монотонна, а именно убывает.

Сделаем контрольную проверку.

Пусть х₁=2® f(2)=1; x₂=-2®f(-2)=3.

x₁>x₂®f(x₁)<f(x₂)®функция убывает.

Следовательно, существует обратная функция, при этом

E(f^-1)=D(f)=(-∞;2,5]

Ответ:(-∞;2,5].

Пример 11.

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= .

Решение:

Функция у= задана в области D(f)=(-∞;-5)∪(-5;+∞) и строго убывает.

Следовательно, существует обратная функция, при этом

E(f^-1)=D(f)=(-∞; - 5)∪(-5;+∞)

Ответ:)=(-∞; - 5)∪(-5;+∞)

Пример 12.

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= .

Решение:

Функция у= задана в области D(f)=(-∞; ].

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: