|
|
Определение сложной функции, как композиции отображений, было рассмотрено в главе 4.Если заданы две функции y=f(x); y=g(x) (E(g)ÌD(f)), то функция F(x)=f(g(x)) называется сложной функцией. Возьмите на заметку: 1)Если обе функции f и g возрастают, то функция F тоже возрастает. 2)Если обе функции f и g убывают, то функция F возрастает. 3)Если одна из функций возрастает, а другая убывает, то функция F убывает.
Пример 1. Дано: f(x)= Найти аналитическое выражение функции y=f(g(𝛗(x))), Построить график и провести исследование. Решение: y=f(g(𝛗(x)))=f(g(|x|))=f(|x|7)= y= Сначала построим график функции у= Затем сделаем чётное продолжение.
Исследование: 1) D(y)=R 2) E(y)=[0;+∞) Чётная 4) у=0«х=0 5) min y(0)=0. Пример 2. Дано: f(x)=x-2; g(x)=x7; 𝛗(x)= Найти аналитическое выражение функции y=f(g(𝛗(x))), построить график и провести исследование. Решение: y=f(g(𝛗(x)))=f(g( y= Порядок построения графика этой функции: (1)у= Схема графика:
Исследование: 1) D(y)=(0;+∞); x=0- вертикальная асимптота. 2) E(y)=[-2;+∞). 3) y=0«| Общего вида. 5) min y(1)=-2. Пример 3. Дано: f(x)=|x+2|; g(x)= Найти аналитическое выражение функции y=f(g(𝛗(x))), построить график и провести исследование. Решение: y=f(g(𝛗(x)))=f(g(-(x+1)))=f( y= Порядок построения графика этой функции: (1) у= (4)у= Схема графика:
Исследование: 1) D(y)=(-∞;-1); x=-1- вертикальная асимптота. 2) E(y)=[0;+∞). 3) у=0« Общего вида. 5) min y(-5)=0. Пример 4. Дано: f(x)=x-3; g(x)= Найти аналитическое выражение функции y=f(g(𝛗(x))), построить график и провести исследование. Решение: y=f(g(𝛗(x)))=f(g(|x|))=f(( y= Порядок построения графика этой функции: (1)у= Схема графика:
Исследование: 1)D(y)=R. 2)E(y)=(-3;2]; y=-3-горизонтальная асимптота. 3)корней нет, т.к. у≠0; у(0)=-2. Чётная функция. 5) max y(0)=-2. Пример 5(самостоятельно). Дано: f(x)= Найти аналитическое выражение функции y=f(g(𝛗(x))), построить график и провести исследование. Ответ: у= Пример 6(самостоятельно). Дано: f(x)=x-4; g(x)= Найти аналитическое выражение функции y=f(g(𝛗(x))), построить график и провести исследование. Ответ: у= Пример 7 (самостоятельно). Дано: f(x)=2x; g(x)=|x|; 𝛗(x)=x-4. Найти аналитическое выражение функции y=f(g(𝛗(x))), построить график и провести исследование. Ответ: у= Пример 8 (самостоятельно). Дано: f(x)= Найти аналитическое выражение функции y=f(g(𝛗(x))), построить график и провести исследование. Ответ: у= Обратные функции. Примечание: Основные понятия об обратной функции Были рассмотрены в главе 4. Пример 1. Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если у= Решение: Т.к функция у= D(f-1)=E(f)®E(f)=(-2;+∞)=D(f-1). Ответ: (-2;+∞). Пример 2. Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если у= Решение: Т.к. функция у= D(f-1)=E(f)®E(f)=[2;+∞)=D(f-1). Ответ: [2;+∞). Пример 3. Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если у=5-(х+2)3. Решение: Т.к. функция у=5-(х+2)3.строго убывает на всей числовой оси, то существует обратная функция и при этом: D(f-1)=E(f)®E(f)=(-∞;+∞)=D(f-1). Ответ: (-∞;+∞). Пример 4. Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если у= Решение: Т.к. функция у= D(f-1)=E(f)®E(f)=(-∞;+∞)=D(f-1). Ответ: (-∞;+∞). Пример 5 (самостоятельно). Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если у=4- Ответ: (-∞;4). Пример 6(самостоятельно). Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если у= Ответ: [-5;+∞). Пример 7 (самостоятельно). Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если у=3- Ответ:(-∞;+∞) Пример 8 (самостоятельно). Найти D(f-1) по заданной функции y=f(x), если у= Ответ: [5;+∞). Пример 9. Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если у=3- Решение: Функция у=3- Данная функция строго монотонна, а именно, возрастает. Сделаем контрольную проверку. Пусть х1=3® f(3)=3; x2=2®f(2)=2. x1>x2®f(x1)>f(x2)®функция возрастает. Следовательно, существует обратная функция, при этом E(f-1)=D(f)=(-∞;4). Ответ: (-∞;4). Пример 10. Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если у= Решение: Функция у= Данная функция строго монотонна, а именно убывает. Сделаем контрольную проверку. Пусть х1=2® f(2)=1; x2=-2®f(-2)=3. x1>x2®f(x1)<f(x2)®функция убывает. Следовательно, существует обратная функция, при этом E(f-1)=D(f)=(-∞;2,5] Ответ:(-∞;2,5]. Пример 11. Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если у= Решение: Функция у=
Следовательно, существует обратная функция, при этом E(f-1)=D(f)=(-∞; - 5)∪(-5;+∞) Ответ:)=(-∞; - 5)∪(-5;+∞) Пример 12. Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если у= Решение: Функция у=   Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
; g(x)=x7; 𝛗(x)=|x|.
®
® 
>1®
=| 
®
(2) у=| 
(3) 
=2« 
« 
; 𝛗(x)=-(x+1)
= 
+2| ®
+2|
; (2) у= 
; (3) у= 
+2;
«-(х+1)=4«х=-5
; 𝛗(x)=|x|.
)=( 
-3.
; (2)у= 
; (3) у= 
-3.
; g(x)=x3; 𝛗(x)=|x|+1.
; min y(0)=1.
; 𝛗(x)=|x|.
-4; х=0-вертикальная асимптота; экстремумов нет.
; min y(4)=1.
; 𝛗(x)=x+1.
; х=0-вертикальная асимптота; экстремумов нет.
-2.
+2.
+3.
.
.
.
+5.
задана в области D(f)=(-∞;4).
+1.
.
.
].