Продолжим исследование логарифмической функции.

1) D(f^-1)=E(f)=(0;+∞); прямая х=0-вертикальная асимптота

2) E(f^-1)=D(f)=R

3)Имеем корень х=1, т.к. а⁰=1

4) Функция строго монотонна и непрерывна (при а>1 возрастает; при 0 < а < 1 убывает)

Функция общего вида.

Экстремумов нет

График логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой у=х.

у=

Пример 1.

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| .

Решение:

Порядок работы:

(1) у= ; (2) у= -2; (3) у= -2;

(4) у=| .

Схема графика имеет вид:

Исследование:

1) D(f)=R

2) E(f)=[0;+∞)

3) y=0« =2«|x|+1=4«|x|=3« ; y(0)=2.

4) f(-x)=f(x) ®чётная функция.

5) min y(±3)=0; max y(0)=2.

Пример 2.

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

y=| .

Решение:

Порядок работы:

(1) у= ; (2) y= ; (3) y= ;

(4) y=| .

Схема графика имеет вид:

Исследование:

1) D(f)=(-∞;-1)∪(-1;+∞); прямая х=-1- вертикальная асимптота.

2) E(f)=[0;+∞)

3) y=0« =2 «|x+1|=4« ; y(0)=2.

4) Функция общего вида (график симметричен относительно прямой х=-1)

5) min y(-5)=0; min y(3)=0.

(Обратите внимание на различие графиков функций в 1-ом

и 2-ом примерах, несмотря на похожесть формул задания)

Пример 3

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| +1|.

Решение:

Порядок работы:

(1) у= ; (2) у= +1; (3) у= +1;

(4)у =| +1|.

Схема графика имеет вид:

Исследование:

1) D(f)=(-∞;-2)∪(2;+∞); прямые х=-2 и х=2- вертикальные асимптоты.

2) E(f)=[0;+∞).

3) y=0« «|x|-2=2«|x|=4« .

4) f(-x)=f(x)-чётная функция.

5) min y(±4)=0.

Пример 4

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| +1|.

Решение:

Порядок работы:

(1) у= (2) у= ; (3)у= +1;

(4) у=| +1|.

Схема графика имеет вид:

Исследование:

1) D(f)=(-∞;2)∪(2;+∞); прямая х=2- вертикальная асимптота.

2) E(f)=[0;+∞)

3) у=0« «|х-2|=2« ; у(0)=0.

4) Функция общего вида (прямая х=2- ось симметрии).

5) min y(0)=0; max y(4)=0.

Пример 5(самостоятельно).

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| -1|.

Пример 6 (самостоятельно)

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| -1|.

Пример 7 (самостоятельно).

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=|

Пример 8 (самостоятельно)

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| .

Пример 9.

Дано:

f(x)= ; D(f)=[5;7]=X; E(f)=Y; f: X®Y.

Найти:

E(f);2) определить вид отображения f (построить график).

Решение:

Функция у= строго убывает, т.к. основание а= <1.

Данная функция получена из исходной параллельным переносом, а следовательно тоже убывает

Вывод: f- биекция.

Вычислим значение функции на границах области определения:

f(5)=2; f(7)=1®

E(f)=[1;2].

Пример 10.

Дано:

f(x)= ; D(f)=[-1;3]=X; E(f)=Y; f: X® Y.

Найти:

E(f);2) определить вид отображения f (построить график).

Решение:

Заметим, что данная функция чётная.

Область определения: 4-|х|>0«хÎ(-4;4) (прямые х=±4-вертикальные асимптоты)

В нашем примере D(f)=[-1;3]Ì(-4;4)

Вычислим значение функции на границах интервала и в точке х=0.

f(-1)=0; f(3)=1; f(0)= +1≈-0,26.

Схема графика:

+1

На интервале [-1;0] функция убывает,

а на интервале [0;3]возрастает®нет строгой монотонности.

Т.к. по условию E(f)=Y, то данное отображение является сюръекцией (отображение Х на У)

E(f)=[

Пример 11(самостоятельно).

Дано:

f(x)= -4; D(f)=[-4;22]=X; E(f)=Y; f: X®Y.

Найти:

E(f);2) определить вид отображения f (построить график).

Ответ:E(f)=[-4;-1]; биекция.

Пример 12(самостоятельно).

Дано:

f(x)= ; D(f)=[-5;1]; E(f)=Y; f: X®Y.

Найти:

E(f);2) определить вид отображения f (построить график).

Ответ: E(f)=[ .

Пример 13.

Решить уравнение:

| .

Решение:

Пусть t= ; t>0.

Покажем графическое решение данного уравнения.

4≤t≤16«4 ≤ «2 «4≤x+1≤16«3≤x≤15.

Ответ:хÎ[3;15]

Пример 14.

Решить уравнение:

|

Решение:

Пусть ;(x>-1)®|t-2|-|t-1|=1.

Покажем графическое решение данного уравнения.

t≤1« ≤1«x+1≤2«x≤1« .

Ответ: хÎ(-1;1]

Пример 15(самостоятельно).

Решить уравнение:

|

Ответ: xÎ[3;6].

Пример 16(cамостоятельно).

Решить уравнение:

| |=-1.

Ответ: хÎ(-∞;1,5]

Пример 17.

Решить неравенство.

.

Решение:

«

(1)

(2)

t(x)=6x-x²-7«t(x)=2-(x-3)²;t(x)>0;max t(3)=2®

0<t(x)≤2«-∞< «g(x)≤1.

По условию:f(x)≤g(x) при этом «f(x)=g(x)=1 «x=3

Ответ:{3}.

Пример 18.

Решить неравенство.

Решение:

Рассмотрим две функции:

(1) f(x)= ;(2) g(x)= .

Решаем неравенство: f(x)³g(x).

(1)f(x)= ; t(x)= ; max t(0)=4®0<t(x)≤4®-∞<f(x)≤ «f(x)≤2

(2) g(x)= ; min g(0)=2 ® g(x) ³ 2

«f(x)=g(x)=2«x=0

Ответ:{0}.

Пример 19(самостоятельно).

Решить неравенство.

ю

Ответ:{4}.

Пример 20(самостоятельно).

Решить неравенство.

.

Ответ:{-1}.

Пример 21.

Решить уравнение.

Решение:

Имеем верное равенство при всех допустимых значениях аргумента:

Ответ: ХÎ(-∞;-5)∪(5;+∞)

Пример 22(cамостоятельно).

Решить уравнение:

.

Ответ: хÎ(3;4).

Сложная функция.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: