Называется показательной функцией.

График функции называется экспонентой.

Исследование:

1) D(f)=R

2) E(f)=(0;+∞); прямая у=0 - горизонтальная асимптота.

3) корней нет, т.к. у≠0.

4) у(0)=1 (все графики проходят через точку (0;1).

Функция общего вида.

6) при а>1функция возрастает на всей области определения т.е. из условия х₁>х₂®

при 0<а<1функция убывает на всей области определения т.е. из условия х₁>х₂ ®

Экстремумов нет.

Обратите внимание на поведение функции на границах области определения.

Если а>1, то

Если 0<а<1, то

Пример 1.

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| -2|.

Решение:

Порядок работы:

(1)у= ; (2) у= ; (3) у= -2; (4) -2|.

В результате имеем следующую схему графика:

Исследование:

1). D(f)=R.

2) E(f)=[0;+∞)

3) y=0« -2=0« =2«|x-1|=1«

4)у(0)=0; у(1)=2.

5) функция общего вида (прямая х=1-ось симметрии)

6)min y(0)=0; min y(2)=0; max y(1)=2.

Пример 2.

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=|( -4|.

Решение:

Порядок работы:

(1) у=( ; (2) у= -4; (3)у=( -4; (4) у= | ( -4 |.

В результате имеем следующую схему графика:

Исследование:

1) D(f)=R

2) E(f)=[3,5;4); у=4- горизонтальная асимптота.

3) нет корней, т.к. у≠0.

Функция чётная.

5) min y(0)=3,5.

Пример 3.(самостоятельно)

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| -3|.

Пример 4.(самостоятельно)

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=|( -5|.

Пример 5.

Дано:

f(x)= -24; D(f)=[-2;0]=X; E(f)=Y; f: X®Y.

Найти:

E(f)

Определить вид отображения (построить график).

Решение:

Функция у= возрастает. Данная функция тоже возрастает, т.к. получена из данной параллельным переносом.

Вывод: отображение; f: X®Y является биекцией.

Вычислим значение функции на границах области определения функции: f(-2)=-4; f(0)=1® E(f)=[-4;0]

заметим, что прямая у=-24 - горизонтальная асимптота ®у>-24.

Схема графика функции в указанной области определения имеет вид:

Пример 6.

Дано:

f(x)= -2; D(f)=[-1;1]=X; E(f)=Y; f: X®Y

Найти:

E(f)

Определить вид отображения (построить график).

Решение:

Сначала построим схему графика данной функции, используя преобразования графиков и вычислим значения функции на границах области определения и в точке минимума:

f(-1)=-1; f(1)=-1; f(0)=-1,5 (заметим. что данная функция чётная)

Порядок работы: (1) у= ; (2) у= ; (3) у= .

На интервале (-1;0) функция убывает; на интервале (0;1) функция возрастает.

E(f)=[-1,5;-1]® сюръекция (отображение «на»)

Пример7.(Самостоятельно)

Дано:

у=( -3; D(f)=[-2;1]; E(f)=Y; f: X®Y.

Найти:

E(f)

Определить вид отображения (построить график).

Ответ:E(f)=[- ;0]; биекция.

Пример8.(Самостоятельно)

Дано:

у= +1

Найти:

E(f)

Определить вид отображения (построить график).

Ответ:E(f)=[1;10]; сюръекция.

Логарифмическая функция.

Напомним определение логарифма числа «х» по основанию «а».

Определение:

Логарифмом числа «х» по основанию «а» называется показательстепени, в которую нужно возвести основание «а», чтобы получить число «х».

=b« =x; a>0;a≠1.

Примечание:

Из определения логарифма следует, что х>0, т.е. логарифмы существуют только для положительных чисел.

=х

Наиболее часто встречаются логарифмы

ü по основанию 10 (десятичные логарифмы)®обозначают lg x

ü по основанию е (натуральные логарифмы)®обозначают

Основные свойства логарифмов.

Условие	Формула
а>0; a≠1	=k
а>0; a≠1 x>0;y>0
а>0; a≠1 (xy)>0
а>0; a≠1 x>0; y>0
а>0; a≠1 (xy)>0
а>0; a≠1 x>0	= =
а>0; a≠1 >0
x>0
xk>0
a>0; a≠1 x>0
Xk>0
a>0;a≠1;b>0;b≠1 x>0	Формула перехода к другому основанию
	Частный случай:

Полезные формулы.

=

;f(x)>0; g(x)>0.

Логарифмическая функция у= является обратной для показательной функции у= .

Докажем это утверждение основываясь на теореме об обратной функции.

Проверим все условия теоремы о существовании обратной функции(см. глава4)

1)D(f)=R

2) E(f)=(0;+∞);y=0-горизонтальная асимптота

3) Функция строго монотонна и непрерывна (при а>1 возрастает; при 0<а<1 убывает)

Условия теоремы выполнены.

4) Чтобы найти обратную функцию, выражаем переменную х через у:

х=

Чтобы график обратной функции построить в старой системе координат поменяем местами переменные: х«у

Таким образом, обратная функция f^-1: y=

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: