Расчет стоимости опционов по формуле Кокса–Росса–Рубинштейна

Рассмотрим формулу Кокса-Росса-Рубинштейна

(6.1)

Опцион-колл. В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-колл за интервалов до даты истечения равна

. (6.2)

Приведём её к стандартному виду. Пусть

.

Если , то

. (6.3)

Формулу можно немного упростить, но это не принципиально.

Опцион-пут. В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-пут равна

. (6.4)

Рассматривая то же значение , что и для случая опциона-колл, получим

. (6.5)

Фьючерсные и форвардные контракты. В отличие от опционов, фьючерсные и форвардные контракты обязательны к исполнению и в них осуществляется только покупка. Поэтому для них . Поэтому, если есть та сумма, которая выплачивается в момент получения товара от продавца, то в качестве аванса должна выплачиваться сумма , равная

. (6.6)

Но

С другой стороны . Поэтому

Поэтому имеем

, (6.7)

что и даёт соотношение между авансом , окончательным платежом и стоимостью товара в момент заключения фьючерсного или форвардного контракта

. (6.8)

Расчет стоимости опционов по формуле Блэка–Шоулса

. (6.9)

Это и есть знаменитая формула Блэка–Шоулса для стоимости опциона европейского типа. Рассмотрим частные случаи этой формулы.

Опцион-колл. В этом случае , так что

.

Найдём из условия

.

Логарифмируя, получим:

.

Теперь

.

Вычислим входящие сюда интегралы через функцию Лапласа

Имеем

Далее,

Сводя всё вместе, получаем окончательно

(6.10)

Фьючерс. Для фьючерса и поэтому

.

Так как

то для цены фьючерса получаем

. (6.11)

Опцион-пут. Можно, конечно, вывести формулу для цены опциона-пут аналогично тому, как была выведена формула для опциона-колл, но проще воспользоваться соотношением паритета

,

откуда легко находится .

Расчет стоимости опционов по формуле Мертона

. (6.12)

Эта формула носит название формулы Мертона (Robert Merton).

Опцион-колл. В этом случае

. (6.13)

Рассмотрим, при каких условиях выполняется неравенство

.

Логарифмируя, получим .

Введём величину

где означает целую часть. Тогда в (6.13) суммирование идёт по , так что

(6.14)

что и определяет стоимость опциона-колл.

Фьючерс. В этом случае

Имеем

Далее,

и поэтому окончательно

что совпадает с аналогичным результатом из формулы Блэка–Шоулса.

Стоимость опциона-пут можно найти из соотношения паритета.

Пример решения задач

Задача 6.1. Задача на расчет справедливой цены опциона

По формуле Блэка–Шоулса рассчитать цену опциона – колл и фьючерса, а затем найти цену опциона-пут (, , , , ).

Решение:

, , , ,

Формулы Блэка – Шоулса.

Блэк и Шоуэлс вывели следующие формулы оценки премии опционов:

где – стандартное отклонение цены акции;

– ставка без риска; на практике в формулы подставляется существующая ставка без риска для инвестиций, которые осуществляются на время ;

– гауссовская функция распределения, показывающая вероятность того, что нормированная нормальная переменная будет меньше .

мес. = года.

,

.

Из таблицы значений функции находим

;

Фьючерс

Стоимость опциона-пут

6.6. Задачи для самостоятельной работы

1. По Формуле Блэка-Шоулса рассчитать цену опциона–колл и фьючерса, а затем найти цену опциона –пут

вариант
	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1
	0,1	0,05	0,1	0,05	0,1	0,05	0,1	0,05

2. По Формуле Блэка-Шоулса рассчитать цену опциона–пут и фьючерса, а затем найти цену опциона –колл

вариант
	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1
	0,1	0,05	0,1	0,05	0,1	0,05	0,1	0,05

Литература

1. Четыркин, Е. М. Методы финансовых и коммерческих расчетов / Е. М. Четыркин. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Дело Лтд, 1995. – 320 с.

2. Кочович, Е. Финансовая математика: Теория и практика финансово-банковских расчетов Е. Кочович: пер. с серб./ предисл. Е. М. Четыркина. – М.: Финансы и практика, 1995. – __ с.

3. Ковалев, В. В. Сборники задач по финансовому анализу: Учеб. пособие. В. В. Ковалев. – М.: Финансы и статистика, 1997. – 128 с.

4. Соболева, Т. О. Сборник задач по банковскому делу Т. О. Соболева. – М.: МЭСИ, 1997. – 37 с.

5. Балабанов, И. Т. Сборник задач по финансам и финансовому менеджменту И. Т. Балабанов. – М.: Финансы и статистика, 1997. – 78 с.

6. Терпугов, А.Ф. Математика рынка ценных бумаг А.Ф. Терпугов – Изд-во ТГУ, Томск, 200_. – ___ с.

Св. план 2009, поз. 139

Учебное издание

Поттосина Светлана Анатольевна

Валевская Ирина Болеславовна

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: