Дисконтирование и учет по простым процентам

В практике часто приходится решать задачу, обратную к задаче наращения процентов, когда по заданной сумме , соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму . Расчет по называется дисконтированием суммы . Величину , найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы . Проценты в виде разности называются дисконтом, или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом. Дисконт как скидка с конечной суммы долга может определяться через процентную ставку или в виде абсолютной величины.

Известны два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.

Математическое дисконтирование. Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче определяется , то в обратной находится . Дробь в правой части равенства при величине называется дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы равен .

Банковский, или коммерческий учет. Операция учета (учета векселей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка, которую обозначим символом .

По определению простая годовая учетная ставка находится как . Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен , откуда следует

. (1.6)

Множитель называется дисконтным множителем. Срок измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.

Наращение по учетной ставке. Учетная ставка может использоваться для наращения, т.е. для расчета по . В этом случае .

Операции наращения и дисконтирования по своей сути противоположны, но ставка наращения и учетная ставка могут использоваться для решения обеих задач. В этом случае в зависимости от применяемой ставки можно различать прямую и обратную задачи.

Ставка	Прямая задача	Обратная задача
наращения ()	наращение:	дисконтирование:
учетная ()	дисконтирование:	наращение:

Совмещение начисления процентов по ставке наращения и дисконтирования по учетной ставке. В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга, необходимо решить две задачи: (1) определить конечную сумму долга на момент его погашения; (2) рассчитать сумму, получаемую при учете, путем дисконтирования конечной суммы долга, применяя учетную ставку, действующую в момент учета.

Решение этих задач можно записать в виде одной формулы, содержащей наращение по ставке простых процентов, фигурирующей в долговом обязательстве, и дисконтирование по учетной ставке:

,

где – первоначальная сумма ссуды;

– сумма, получаемая при учете обязательства;

– общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты,

– срок с момента учета до погашения долга.

Пример 1.3. Платежное обязательство по уплате через 100 дней 2 млн р. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов % годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке %. Требуется определить сумму, получаемую при учете.

Решение:

млн р.

Отметим, что при наращении здесь использовалась временная база 365 дней, а при дисконтировании – 360.

Определение продолжительности ссуды. Иногда задача ставится таким образом, что требуется найти временной интервал, за который исходная сумма при заданной ставке процентов вырастет до нужной величины, или срок, обеспечивающий определенный дисконт с заданной величины. При использовании простой ставки наращения из (1.1) получаем

, (1.7)

а при учетной ставке из (1.6) имеем

. (1.8)

Формулы (1.7) и (1.8) дают срок, измеряемый в годах, но простые ставки в основном используются в краткосрочных операциях, когда срок исчисляется днями. В этом случае срок финансовой операции в днях выражается как , где – временная база.

Определение уровня процентной ставки. Уровень процентной ставки может служить мерой доходности операции, критерием сопоставления альтернатив и выбора наиболее выгодных условий. Из формул (1.1) и (1.6) получаем ставку наращения и учетную ставку

, (1.9)

. (1.10)

Напомним, что срок в двух формулах имеет разный смысл: в первом случае это весь срок операции, а во втором – срок, оставшийся до погашения.

Пример 1.4. Определить доходность операции для кредитора, если им предоставлена ссуда в размере 2 млн р. на 100 дней и контракт предусматривает сумму погашения долга 2,5 млн р. Доходность выразить в виде простой ставки процентов и учетной ставки . Принять временную базу равной дней.

Решение:

, т.е. 90 %,

, т.е. 72 %.

Иногда размер дисконта в контрактах фиксируется за весь срок ссуды в виде доли (или процента) от суммы погасительного платежа. Таким образом, уровень процентной ставки здесь задается в неявном виде. Но нетрудно вывести формулы, с помощью которых значения этих ставок можно вычислить.

Пусть – размер погасительного платежа, – доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды . Требуется определить, каким уровням годовых ставок и эквивалентны такие условия.

Итак, – сумма возврата в конце срока ссуды, – реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора:

, (1.11)

, (1.12)

Пример 1.5. Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 25 % указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки и годовой ставки простых процентов . Принять временную базу равной дням.

Решение:

, т.е. 45,625 %,

, т.е. 60,833 %.

Примеры решения задач

Задача 1.1. Фирме выделен банковский кредит на срок с 3 января по 12 марта под простые проценты с процентной ставкой 120 % годовых. Сумма кредита – 80 млн р. Определить по трем методам коэффициент наращения и наращенную сумму.

, , млн р., . Найти: , , .

Решение:

, , , , млн р., млн р., млн р.

Очевидно, что фирме предпочтительнее расчет коэффициента наращения по первому методу. Особенно заметны финансовые различия при . Для предыдущего примера – при сроке кредита с 3 января 1995 г. По 2 января 1996 г.

1) , млн р.,

2) , млн р.,

3) , млн р.

млн р., что составляет примерно 0,76 % от наращенной суммы в пользу коммерческого банка. В кредитном договоре оговаривается, каким методом подсчитывается наращенная сумма.

Рассмотрим случай переменной во времени процентной ставки. Пусть первые лет процентная ставка ровна , тогда наращенная сумма к концу первых лет станет

.

Следующие лет процентная ставка равна . Тогда наращенная сумма за лет будет .

В общем случае за лет:

,

где ;

и – интервалы времени и процентные ставки;

– общий срок коммерческой сделки.

Коэффициент наращения:

.

Задача 1.2. Банк принимает вклады на срочный депозит на следующих условиях: процентная ставка при сроке 35 дней – 45 %; при сроке 65 дней – 48 %; при сроке 90 дней – 50 %. Рассчитайте доход клиента при вкладе 10 млн р. на указанные сроки. Год не високосный. Методика расчёта: точные проценты с точным числом дней.

Решение:

Обозначим млн р. – первоначальная сумма; – проценты за весь срок; – наращенная сумма; – доход; – годовая процентная ставка; – число лет; – количество дней, на которое выдан кредит.

Согласно методике расчёта при вычислении точных процентов с точным числом дней (английская система), исчисляется как точное число дней между днём выдачи кредита и днём его возврата (причём день выдачи и возврата считается одним днём); – количество дней в году (год не високосный). Тогда:

.

а) Рассчитаем доход клиента при вкладе 10 млн р. на срок 35 дней ( =35). Процентная ставка при сроке 35 дней – 45 % ( =0,45).

млн р.

млн р.

б) Рассчитаем доход клиента при вкладе 10 млн р. на срок 65 дней ( =65). Процентная ставка при сроке 65 дней – 48 % ( =0,48).

млн р.

млн р.

в) Рассчитаем доход клиента при вкладе 10 млн р. на срок 90 дней ( =90). Процентная ставка при сроке 90 дней – 50 % ( =0,5).

млн р.

млн р.

1.8. Задачи для самостоятельной работы

1. Инвестор приобрел ГКО сроком обращения 6 месяцев на 120-й день периода обращения по цене 92 %. Определить доходность облигации к погашению.

2. ГКО сроком обращения 92 дня приобретена инвестором на 26-й день периода обращения с дисконтом 23 % и продана на 68-й день по цене 91 %. Определить доходность операции инвестора.

3. Инвестор (физическое лицо) приобрел на аукционе ММВБ 20 штук шестимесячных ГКО по курсу 95 % за 2 месяца до погашения. За данную операцию дилеру было уплачено 2 % от суммы сделки. Определить доходность облигации до погашения с учетом комиссионных дилеру.

4. Администрация города принимает решение о выпуске трехмесячных облигаций. Банковская ставка по депозитам на срок, равный сроку обращения облигаций, составляет 7 % годовых. Облигации реализуются среди промышленных предприятий. Определить дисконт, с которым выпускаются облигации. При расчете учесть налогообложение доходов.

5. ГКО со сроком обращения один год продается на аукционе по цене 72 %. По какой цене необходимо приобрести на аукционе ГКО со сроком обращения 3 месяца с тем, чтобы обе облигации имели бы одинаковую годовую доходность? Расчет доходности вести по формуле сложного процента.

6. Администрация города решает выпустить краткосрочные бескупонные облигации, размещаемые с дисконтом 15 %. Банковская ставка по депозитам на срок, равный сроку обращения облигаций, составляет 21 % годовых. Облигации реализуются среди промышленных предприятий. Определите срок (в днях), на который выпускаются облигации. Считать, что в году 365 дней. При расчетах учесть налогообложение прибыли.

7. Бескупонная облигация со сроком обращения 180 дней была приобретена на аукционе по цене 68,51 % от номинала. Спустя некоторое время облигация была продана по цене 73,35 % от номинала. Доходность к аукциону по результатам этой сделки оказалась в 2 раза меньше доходности к погашению. Рассчитайте, через сколько дней после проведения аукциона была совершена указанная сделка купли-продажи.

8. Первый инвестор осуществил покупку одного ГКО по цене 85 % от номинала, а затем продажу по цене 86 % от номинала. Второй инвестор купил одну корпоративную облигацию по цене 85 % от номинала. По какой цене (в процентах от поминала) он должен продать корпоративную облигацию, чтобы получить прибыль, в два раза большую, чем первый инвестор от операции с ГКО (учесть налог на прибыль)?

9. ГКО со сроком обращения 6 месяцев размещается по цене 80 % годовых. По какой цене имеет смысл приобрести на вторичном рынке ГКО, погашаемые через 2 месяца, чтобы годовая доходность по обеим облигациям была одинакова?

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: