|
|
Модификация портфеля ценных бумаг (задача Тобина)Оказалось, что решение задачи резко упрощается и приобретает новые особенности, если учесть простой факт: кроме рисковых бумаг на рынке имелись и безрисковые типа государственных обязательств с фиксированным доходом. Итак, как должен инвестор скомбинировать рисковую и безрисковые части портфеля, чтобы минимизировать дисперсию портфеля при выбранной или средней эффективности портфеля В строгой постановке получаем следующую задачу квадратичного программирования:
Здесь Пусть Тогда
Если весь капитал инвестора составляют безрисковые ЦБ Если весь наличный капитал внесён в рисковые ЦБ, то Эта задача без риска ограничена на не отрицательность элементов структуры называется задачей Тобина. Решается она аналогично задаче Марковица методом множителей Лагранжа
Дисперсия портфеля оптимальной структуры определяется формулой
или
В случае некоррелированности эффективностей матрица ковариации V диагональная, обратная ей матрица
Как видно из этих формул, безрисковая часть будет входить в портфель, т.е.
При При Интересен вывод, сделанный Тобиным: Если есть возможность выбирать не только между заданным рисковым портфелем и безрисковой ЦБ, но и выбирать структуру рискового портфеля, то оптимальной окажется только одна структура, не зависимая от склонности инвестора к риску. Приведём диаграмму, являющуюся следствием формальных результатов.
Пусть сначала сделан наилучший выбор только среди всех рисковых ЦБ. В зависимости от склонности к риску инвестор выберет одну из точек на кривой R. После этого возникает возможность вклада в рисковые, и в безрисковые ЦБ. Проведя касательную к кривой R из точки Превышение средней эффективности ценной бумаги над эффективностью безрискового вклада называется премией за риск:
Задача 5.1. Доказать следующий факт: премия за риск конкретной ценной бумаги, включённой в портфель, пропорциональна премии за риск портфеля в целом:
где
Доказательство:
Поэтому
или
Чем больше бетта данной ЦБ, тем выше доля общего риска, связанная с вложением именно в эту ценную бумагу. Вмести с тем, чем больше бетта, тем выше и премия за риск. Если в такой портфель вложить лишь часть имеющихся средств, а остальные оставить в безрисковом вкладе, то можно получить портфель с еще меньшим риском, но зато проиграть в эффективности.
5.5. Задачи для самостоятельной работы 1. Запишем вариацию доходности портфеля
и назовем величину 2. С помощью компьютера найден оптимальный портфель Марковича для трех ценных бумаг с эффективностями и рисками: (4,10); (10,40); (40,80); нижняя граница доходности задана равной 15. Доли бумаг оказались равными 46, 28 и 26 %, минимальный риск – 25,4, доходность оказалась равной заданной – 15. Проверить компьютерные расчеты. 3. С помощью компьютера найден оптимальный портфель максимальной эффективности для трех ценных бумаг с доходностью и риском: (4, 10); (10,40); (40, 80) (те же ценные бумаги, что и в примере 1); верхняя граница риска задана равной 50. Доли бумаг оказались равными 6, 34 и 60 %. Проверить компьютерные расчеты. 4. Из двух некоррелированных ценных бумаг с эффективностями m1 = 2 и m2 = 6 и рисками r1 = 10 и r2 = 20 с помощью компьютера составлено шесть портфелей: в портфеле с номером k доля первых бумаг х = 1–0,2 k, доля вторых равна (1–х), т.е. портфель, состоящий только из бумаг 1-го вида, получает номер 0, а портфель, состоящий только из бумаг 2-го вида получает номер 5. Компьютер нашел их эффективности и риски.
Проверьте компьютерные расчеты. Затем нанесите портфели как точки на плоскость риск – эффективность и отметьте доминируемые портфели и недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето. 5. Имея безрисковые ценные бумаги с эффективностью m0 = 4 и некоррелированные рисковые с эффективностями m1 = 8 и m2 = 14 и рисками r1 = 10 и r2 = 30, с помощью компьютера составили портфель Тобина эффективности 12. Доли бумаг получились такими: х0 = –0,51, х1 = 1,18, х2 = 0,33. Проверьте компьютерные расчеты. Как понимать отрицательную долю безрисковых бумаг? 6. В портфеле бумаги с доходностью d1 = 5 % годовых составляют x1 = 30 % по стоимости, а остальные бумаги имеют доходность d2 = 8 % годовых. Какова доходность портфеля? 7. Сформировать портфель Тобина минимального риска из двух видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью m0 = 2 и рисковых с эффективностью m1 = 10 и риском r1 = 5. Найти зависимость эффективности портфеля от его риска. 8. Сформировать портфель Тобина максимальной эффективности и риска не более заданного из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью m0 = 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности m1 = 4 и m2 = 10 и рисками r1 = 2 и r2 = 4. Каковы соотношения доли бумаг в рисковой части оптимального портфеля? 9. Убедитесь самостоятельно в справедливости следующих неравенств:
10. Поставить обе задачи сформировать портфели Тобина: минимального риска при заданной эффективности и максимальной эффективности при заданном риске из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью m0 = 2 и рисковых с ожидаемой эффективностью m1 = 6 и m2 = 8 и рисками r1 = 4 и r2 = 9 и взаимной корреляцией k = 9.
  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
?
, 
– соответственно эффективность и доля безрисковой части портфеля, при этом естественно предполагается, что 
– эффективность безрискового вклада, 
– ожидаемая эффективность портфеля рисковых ЦБ (
). Известна вариация 
эффективности этого портфеля; 
– эффективность комбинированного вклада. Ниже представлены характеристики этого вклада:
;
;
;
.
Рис.5.1
, то 
, а риск равен 0.
. Любому промежуточному риску 
соответствует одна из точек на отрезке прямой. Если возможно брать безрисковые ЦБ в долг 
, то достижимая и любая эффективность, сопровождается соответственно растущим риском.
и её решение имеет вид
также диагональная. Поэтому формулы для элементов структуры оптимального портфеля и для дисперсии эффективности его имеют вид:
, если
в портфеле будет при проявлении только рисковая часть (
).
.
Рис.5.2
, найдём точку с координатами 
, дающую характеристики оптимального рискового портфеля.
.
– бетта-вклады ценной бумаги в оптимальный портфель, т.е отношение ковариации эффективности ценной бумаги и портфеля к вариации портфеля.
; 
. Последнее выражение позволяет найти вектор 
. В самом деле 
; 
– в форме
портфельной ковариацией доходности i -й ценной бумаги. Доказать, что в оптимальном портфеле эти ковариации пропорциональны превышению эффективности ценных бумаг над безрисковыми вложениями (подразумевается, что последние на рынке имеются).