Тема 6. Расчет справедливой цены опционов европейского типа

Основная идея расчета стоимости опционов.

Чтобы понять основную идею, по которой рассчитывается «справедливая» цена опциона, рассмотрим простейший численный пример, взятый из книги [6].

Пусть имеется безрисковый актив, который за рассматриваемый период даёт 10 % прибыли, то есть, если мы, скажем, в начале периода вложили в него, скажем, 100 дол., то в конце периода мы будем гарантированно иметь 110 дол.

Кроме того, пусть имеется рисковая ценная бумага, которая стоит 100 дол. В конце периода возможна одна из двух ситуаций: Бумага может стоить 125 дол. (назовём эту цену «верхним положением») или она может стоить 80 дол. (назовём эту цену «нижним положением).

Нам предлагают купить опцион-колл, по которому в конце периода мы получаем право купить эту ценную бумагу за 100 дол. Если мы купим этот опцион и в конце периода бумага будет стоить 125 дол., то мы, конечно, реализуем своё право, купим бумагу за 100 дол., тут же продадим её за 125 дол. и получим прибыль в 25 дол. Если же она будет стоить 80 дол., то мы, конечно, откажемся от её покупки и ничего не получим.

Сколько же мы согласны заплатить за такой опцион, какова его «справедливая» цена? Ведь мы можем вложить деньги в безрисковый актив и получить гарантированный доход в 10 дол.

Обратите внимание на одну особенность этой ситуации: нигде не указаны вероятности того, что бумага будет стоить 125 дол. или 80 дол., поскольку найти такие вероятности не представляется возможным.

Сведём сначала всю ситуацию в таблицу и рисунок.

безрисковый актив

100 дол. 110 дол.

верхнее положение

рисковый актив 125 дол.

100 дол.

80 дол.

нижнее положение

Рис. 6.1

Первая основная идея, которая заложена в понятие «справедливой» цены опциона заключается в том, что абсолютно того же результата, который даётся опционом, можно достичь совершенно другим путём. Этот путь - формирование так называемого хеджирующего портфеля ценных бумаг.

Пусть мы составили портфель, состоящий из двух компонент: в нём рисковых акций и безрисковых ценных бумаг.

Рассмотрим сначала верхнее положение. Тогда каждая рисковая акция будет стоить 125 дол., безрисковая - 110 дол. В результате портфель будет стоить

.

В нижнем положении рисковая акция будет стоить 80 дол., безрисковая бумага - по-прежнему 110 дол. Весь портфель будет стоить

.

Выберем теперь и из того условия, чтобы стоимость нашего портфеля в конце периода была бы в точности равна стоимости опциона, то есть было бы выполнено условие

Решая эту систему, получим

Что это значит? Это значит, что формируя наш портфель мы должны:

- взять в банке кредит в размере дол. под 10 %;

- купить акции по цене 100 дол. за акцию, то есть потратить дол.

В результате наши расходы на формирование портфеля составят

дол.

Что же мы сделаем с нашим портфелем в конце срока?

Верхнее положение.

а) продадим акции и получим за это дол.;

б) вернём банку долг с процентами в размере дол.

В результате у нас останется

дол.,

то есть то же самое, что и от опциона.

Нижнее положение.

а) продадим акции и получим за это дол.;

б) вернём банку долг с процентами в размере дол.

В результате у нас останется

дол.,

то есть опять то же самое, что и от опциона.

Но если одной цели можно достичь двумя разными путями, то и стоить эти пути должны одинаково! А если они будут стоить по-разному, то немедленно возникнут арбитражные схемы, которые мы сейчас разберём. Требование отсутствия арбитражных схем и является второй основной мыслью при определении цены опциона. Поэтому «справедливая» цена опциона должна быть равна стоимости нашего портфеля, то есть стоимость опциона должна быть равна 15,15 дол.

Давайте теперь разберём, что произойдёт, если опцион будет стоить не 15,15 дол., а иначе. Рассмотрим возможные варианты.

А) Опцион переоценен.

Пусть наш опцион продаётся по цене 20 дол., то есть дороже, и его покупают. Тогда будем работать по следующей схеме.

1. Продадим опцион за 20 дол.

2. Купим хеджирующий портфель, то есть купим акции по цене 100 дол. за акцию и возьмём в банке кредит в размере дол. под 10 %.

В результате у нас останется денег

дол.

А что мы сделаем в конце срока?

Верхнее положение.

1. Продадим акции и получим за это дол.;

2. Вернём в банк долг с процентами в размере дол.

В результате у нас останется сумма

дол.,

которую мы и отдадим покупателю нашего опциона. А нам останутся скромные 4,85 дол.

Нижнее положение.

Ясно, что в этом положении покупатель не будет реализовывать своё право. Мы же

1. Продадим акции и получим за это дол.;

2. Вернём в банк долг с процентами в размере дол.

В результате у нас останется

дол.,

и у нас остаются те же 4,85 дол.

Б) Опцион недооценен.

Пусть опцион стоит 10 дол., то есть дешевле. Тогда будем работать по следующей схеме:

1. Купим опцион за эти 10 дол.

2. Продадим хеджирующий портфель, то есть продадим акции по цене 100 дол. за акцию и положим в банк сумму дол. под 10 %.

В результате у нас останется

дол.

Что же будет в конце срока?

Верхнее положение.

1. Реализуем свой опцион, который мы купили, и получим 25 дол. дохода.

2. Получим от банка дол.

3. Купим акции по цене 125 дол. за акцию.

Это даст нам

,

то есть мы со всеми расплатились, но 5,15 дол. как были у нас, так и остались.

Нижнее положение.

1. Получим от банка дол.

2. Купим акции по цене 80 дол. за акцию.

Это даст нам

и наши 5,15 дол. так нам и остались.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: