ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И УСИЛИЙ ПО ПРИБЛИЖЕННЫМ УРАВНЕНИЯМ РАВНОВЕСИЯ И ПЛАСТИЧНОСТИ

ДЕФОРМАЦИИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И УСИЛИЙ ПО ПРИБЛИЖЕННЫМ УРАВНЕНИЯМ РАВНОВЕСИЯ И ПЛАСТИЧНОСТИ

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДИКИ

Для вычисления усилий деформирования при том или ином технологиче­ском процессе обработки металлов давлением необходимо найти закон рас­пределения нормальных и касательных напряжений на поверхностях кон­такта деформирующего инструмента и металла.

Основным методом решения такой задачи является решение дифферен­циальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности.

При этом считают, как указывалось в предыдущей главе: а) температуру металла в каждый момент деформации одинаковой по всему объему металла (включая контактные поверхности); б) деформируемый металл однородным и изотропным с усредненными по объему свойствами.

Однако для объемного напряженного состояния в общем виде система дифференциальных уравнений равновесия не имеет решений в замкнутом виде. Это обстоятельство вынуждает осуществлять приведение механической схемы деформации либо к плоской, либо к осесимметричной.

При многих технологических процессах, как например, при прокатке широких листов, ковке под прессом и молотом узкими бойками широких плит, некоторых видах ковки и прокатки в ручьях (калибрах), уширение металла в процессе деформации мало в сравнении с удлинением, и им можно пре­небречь. Тогда считают, что процесс деформирования параллельных сечений в некотором удалении от свободных концов полосы протекает идентично. Такие технологические процессы можно рассматривать как случаи плоского деформированного состояния.

С другой стороны, некоторые случаи нагружения, например, растяжение толстостенной трубы под действием внутреннего равномерного давления при отсутствии осевых сил, растяжение вращающегося диска центробежными силами, отбортовка листового металла и т. д., могут быть приведены к пло­скому напряженному состоянию.

Примерами осесимметричных задач являются: осадка в торец цилиндри­ческой поковки, выдавливание металла из цилиндрической или конической матрицы, прошивка (открытая и закрытая) цилиндрических поковок, воло­чение круглых прутков и проволоки и т. п.

Таким образом, большинство технологических процессов можно привести к плоской или осесимметричной задаче. Исключение составляют, например, такие процессы: а) ковка и "прокатка толстых плит, ширина которых соизме­рима с толщиной, а ширина бойка (или дуга захвата при прокатке) мало отличается от ширины плиты; б) выдавливание сложных несимметричных профилей; в) широкий класс несимметричных поковок сложной формы и неко­торые другие.

Однако иногда представляется возможным рассматривать деформируемое тело как состоящее из ряда объемов, деформируемых в условиях либо пло­ской, либо осесимметричной задачи.

Разумеется, чем ближе технологический процесс к тому или иному типу задачи, тем ближе к действительности будут получаемые решения.

Несмотря на то, что дифференциальные уравнения равновесия и условие пластичности для плоской задачи и осесимметричной задачи значительно проще уравнений объемной задачи, они все же при полной пластичности решаются в замкнутом виде лишь для частных случаев, когда касательные напряжения на контактных плоскостях либо равны нулю (случай деформа­ции при отсутствии контактного трения), либо постоянны. Такие решения для случая отсутствия трения, например, получены для деформации толсто­стенной трубы под действием внутреннего и внешнего давления В. В. Соко­ловским [34], [35 ], А. Надаи [27], волочения через коническую матрицу и прокатки — К. Н. Шевченко [57]. Для случая постоянства трения на кон­тактных поверхностях имеются решения для плоской осадки призматического бруска шероховатыми плитами (Л. Прандтль) [30], пластического равнове­сия плоского клина (А. Надаи, В. В. Соколовский), пластического равнове­сия металла в области, ограниченной конической поверхностью (В. В. Соко­ловский), и т. д.

Для случая произвольного изменения касательных напряжений, вызван­ных силами трения на контактных поверхностях, система уравнения равно­весия для плоской и осесимметричной задачи, совместно с условием пластич­ности, решений в замкнутом виде не. имеет.

Однако, как это указано в предыдущей главе, для инженерных расчетов в ряде случаев представляется возможным путем использования дополнитель­ных допущений привести задачу к решению одного обыкновенного дифферен­циального уравнения взамен системы дифференциальных уравнений равно­весия в частных производных, а также и придать условию пластичности линейную форму. Таким образом, для плоской и осесимметричной задач можно получить приближенные уравнения равновесия и пластичности и осуществить точное решение этих приближенных уравнений. Преиму­щество такого метода заключается в возможности предварительно оценить ошибку, вносимую принимаемыми допущениями, а также в возможности анализа влияния различных параметров процесса на величину деформирую­щего усилия. Ниже будет подробно рассмотрена методика получения прибли­женных уравнений и будут даны примеры их практического использования для решения конкретных задач по определению усилий деформирования при различных операциях обработки металлов давлением.

Рассматривая основные технологические процессы горячей обработки металлов давлением, можно прийти к убеждению, что подавляющее боль­шинство из них (может быть, лишь кроме гибки и закручивания) протекает в условиях значительного влияния сил трения на контактных поверхностях. Экспериментально установлено также, что чем больше отношение контактной поверхности F_k к свободной поверхности деформируемого металла F_c, тем больше необходимое усилие и удельное давление деформирования. Есте­ственно поэтому, что наибольший для практики (с точки зрения расчета деформирующего усилия)^; интерес представляют именно процессы деформи-рования со значительной величиной отношения .

Касательные напряжения, вызванные силами трения на контактных поверхностях, вообще говоря, не постоянны и могут изменяться по тому или иному закону. Однако можно утверждать, что по одному из сечений дефор­мируемого тела они распределены таким образом, что имеют максимальное значение на контактной поверхности и равны нулю на нейтральной оси сече­ния. Далее, замечая, что в дифференциальных уравнениях равновесия для плоской и осесимметричной задач напряжения зависят от двух координат, в поисках дальнейшего упрощения, поставим перед собой более простую задачу — определить нормальные напряжения не в каждой точке объема тела, а лишь в каждой точке контактной поверхности. Решение этой задачи является достаточным для целей практики, так как интеграл нормальных напряжений по проекции контактной поверхности на плоскость, перпенди­кулярную к направлению действия равнодействующей усилия деформирования, сразу же даст величину усилия деформирования, вычисление которого и является нашей главной задачей. Частное от деления полученной величины на площадь проекции контактной поверхности представляет собой среднее удельное давление деформирования.

При решении задачи определения нормальных напряжений только на контактной поверхности, т. е. при определенных значениях одной из коор­динат естественно допустить, что нормальные напряжения не зависят от этой координаты. Последнее даст возможность использовать только одно из двух уравнений равновесия и свести систему уравнений в частных производных к одному уравнению уже в обычных производных. Физический смысл этих упрощений сводится к усреднению напряжений по одной из координат.

На основании изложенного выведем приближенные уравнения равновесия для плоской и осесимметричной задачи применительно к наиболее распро­страненным технологическим процессам обработки металлов давлением.

Рис.8.1. Схема напряжений при осадке призматического

Рис. 8.2.Схема напряжений при осадке клиновидной поковки под

Плоскими плитами

мальные напряжения зависят только от и не зависят от . Замечаем также, что и в этом случае касательные напряжения , имея на контактных плоскостях максимальные значения , переходят через нулевое значение на продольной геометрической оси поковки.

Для вывода приближенного уравнения равновесия из системы уравнений равновесия для плоской задачи в полярных координатах

(8.3)

воспользуемся первым уравнением и проинтегрируем его по в пределах от 0 до с учетом сделанных предположений:

откуда, выполняя интегрирование и подставляя пределы интеграции, нахо­дим следующее приближенное уравнение для плоской задачи в полярных координатах:

(8.4)

Так же, как и в предыдущем случае, это уравнение может быть получено из первого уравнения (8. 3) подстановкой значения

вытекающего из допущения о линейном распределении касательных напряжений по толщине поковки.

Рис.8.3. Схема напряжений при осадке цилиндрической поковки

Под плоскими плитами

от нуля на горизонтальной плоскости сечения поковки, проходящей через ее центр, до максимального значения на контактных плоскостях. Тогда, делая допущение о независимости нормальных напряжений от координаты , берем первое уравнение из системы дифференциальных уравнений равновесия для осесимметричной задачи

, (8.5)

и интегрируем его по z в пределах от 0 до ; имеем

Выполняя интегрирование, подставляя значения пределов и произведя необходимые преобразования, имеем следующее приближенное уравнение равновесия для осесимметричной задачи в цилиндрических координатах:

(8.6)

Этот же результат можно получить, подставив в первое из уравнений (8.5) значение , т.е. допустив линейный закон изменения касательных напряжений по высоте поковки.

Необходимо отметить, что относительно нормальных напряжений на «активной» контактной поверхности (в данном случае плоскости, через которую передается деформирующее усилие) уравнения (8. 2), (8. 4) и (8. 6) по существу являются не приближенными, а лишь ограниченными (поскольку определяются напряжения только на контактных плоскостях, т. е. при постоянном значении одной из координат) [40]. Как мы покажем в дальнейшем, решение этих уравнений для частных случаев закономерностей касательных напряжений весьма точно сходится с решениями уравнений (8. 1), (8. 3) и (8. 5), которые в дальнейшем в целях противопоставления уравнениям (8. 2), (8. 4) и (8. 6) мы будем называть «точными».

Рис.8.4. Схема напряжений при выдавливании металла

Из цилиндрической матрицы

Комбинируя первый и третий члены, замечая, что

и выполняя необходимые преобразования, находим приближенное уравнение равновесия для случая цилиндрической контактной поверхности:

(8.7)

Тот же результат можно получить, допустив линейное распределение касательных напряжении по радиусу поковки, т. е. приняв

Д. Выдавливание и волочение металла через коническую матрицу (рис.8.5)

Для вывода приближенного уравнения равновесия применительно к рас­сматриваемому случаю уже не достаточно принятых в предыдущем случае допущений. В целях получения уравнения, достаточно простого для дальнейшего интегрирования, для случая осесимметричной задачи в сферических координатах примем еще два дополнительных допущения:

Рис. 8.5. Схема напряжений при выдавливании или волочении

Через коническую матрицу

1. Следуя В. В. Соколовскому, полагаем т. е. что две из трех компонент нормальных напряжений равны между собой (случай «полной» пластичности — по терминологии А. Хаара и Т. Кармана [49]).

2. Допускаем, что угол при вершине конуса настолько мал, что можно положить

Дифференциальные уравнения равновесия в сферических координатах для осесимметричной задачи будут

(8.8)

Тогда, интегрируя первое уравнение (8.8) по в пределах от 0 до в предположении, что нормальные напряжения не зависят от , что касательные напряжения по углу изменяются по линейному закону от нуля при = 0 до при , и приравни­вая , имеем

откуда, проводя необходимые преобразования, находим следующее приближенное уравнение равновесия в сферических координатах:

(8.9)

Отметим, что к такому же результату можно прийти непосредственной подстановкой в уравнение (8.8) значения ;

и

Легко заметить, что при решении уравнений (8.7) и (8.9) (последнего для малых углов при вершине конуса) можно получить для распределения напряжений на цилиндрической и конической поверхностях матрицы точность результатов, аналогичную точности решений уравнений (8. 2), (8. 4) и (8. 6). Однако при определении осевых напряжений, что, в частности, для расчета усилия выдавливания или волочения представляет наибольший интерес, точность уравнений (8. 7) и (8. 9), которая, естественно, будет ниже [48].Это легко объяснить тем, что допущение о независимости нормальных напряжений в сечении, перпендикулярном к продольной оси матрицы, от коорди­наты по существу однозначно с допущением о равномерном распределении напряжений по этому же сечению матрицы, что противоречит физическим представлениям о процессе истечения вещества из трубки или сопла. Хорошо известно, что скорость истечения вязких жидкостей и пластических масс в средней части струи всегда больше, чем на контактной поверхности, вслед­ствие тормозящего влияния стенок трубки сопла. Распределение скоростей течения и нормальных напряжений по сечению выражается законом пара­болического вида.

Таким образом, в результате упрощений мы имеем пять достаточно про­стых дифференциальных уравнений равновесия, удобных для решения практических задач определения напряжений на контактных поверхностях при различных схемах деформирования.

МЕТОД РАБОТ

Метод работ основан на положении, что при пластической деформации работа внешних сил равна сумме работ внутрен­них сопротивлений [6]. При деформации нужно затратить работу на преодоление внутренних сопротивлений, определяемых проч­ностными свойствами тела, и на преодоление сил внешнего трения. Работа внешних сил равна разности работ активных сил, развиваемых машиной, и сил внешнего трения, т. е..

, (8.15)

или

,

где — работа внешних сил;

— работа активных сил;

—работа сил трения;

—работа внутренних сопротивлений, работа дефор­мации.

Определим приращение работы внутренних сил при ма­лой деформации. При упругой деформации работа равна поло­вине суммы произведений составляющих напряжений на состав­ляющие деформации (2.13). Коэффициент 0,5 принят потому, что напряжения возрастают линейно от нуля до конечного зна­чения.

При пластической деформации начальные напряжения от­личны от нуля и при незначительном изменении формы тела их можно принять постоянными. Поэтому приращение работы при пластической деформации можно определить выражением

но без коэффициента 1/2:

(8.16)

Подставим в это выражение значения деформаций из урав­нений (5.10):

. (8.17)

Выражение в квадратных скобках равно удвоенному квадра­ту интенсивности напряжений , согласно уравнению (3.16 а).

Модуль пластичности второго рода выразим через модуль пластичности первого рода Е' согласно уравнению , а последний — через интенсивность напряжений и деформаций, согласно выражению . Тогда

Подставив в выражение (8.17) вместо квадратных скобок и значение , получаем

(8.18)

Отсюда

(8.19)

Работу внешних (поверхностных) сил, включая работу кон­тактных сил трения, можно выразить так:

, (8.20)

где X, У, Z — проекции сил на оси координат;

и, v, w— соответствующие координатам перемещения.

Работу сил контактного трения в общем случае можно пред­ставить так:

(8.21)

где — напряжение трения (вынесено за интеграл, так как принято постоянным и изотропным). Подставив выражения (6.63) (8.19) и (6.65) (8.21) в уравнение (6.59) (8.15) и принимая абсолютное значение , получаем

. (8.22)

Во многих случаях работу активных сил можно определить как произведение полного усилия на перемещение инструмента (обжатие), т. е.

Тогда полное усилие

. . (8.23)

8.3. М ЕТОД ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ

8.3.1._: Основные понятия о линиях скольжения

Метод линий скольжения, применяемый для решений плоских (и отчасти осесимметричных) задач, сущность которого будет изло­жена в этом параграфе, ведет свое начало от работ М. Леви (1871 г.), Г. Генки и Л. Прандтля (20-е годы) [30]. Дальнейшее развитие он получил в работах советских ученых А. А. Илью­шина, А. Ю. Ишлинского, С. Г. Михлина, В. В. Соколовского, С. А. Христиановича и др., а также ряда иностранных ученых, как, например, Г. Гейрингер, В. Джонсона, Е. Ли, В. Прагера, Э. Томсена, Ф. Г. Ходжа, Р. Хилла. В теории процессов ковки и штамповки этим методом с успехом пользовались А. Д. Томленов, К. Н. Шевченко, Л. А. Шофман, а также Е. М. Макушок, И. П. Ренне и др.

Метод в конечном итоге выражается в построении сетки (поля) линий скольжения и использовании их свойств [41]. Возьмем на пло­скости xz в теле, находящемся в плоском деформированном состоя­нии, какую-нибудь точку (рис.8.7) и отложим от нее вектор главного касательного напряжения. Перейдем в направлении этого вектора к точке , весьма близко отстоящей от точки . От точки отложим вектор главного касательного напряжения на этой точке. Вектор в общем случае будет отличаться от век­тора как по направлению, так и по величине. Поступая таким же образом дальше, мы получим в результате ломаную линию и т. д.

Так как от взятой точки вследствие парности касательных напряжений можно отложить второй вектор , перпендикулярный к ранее отложенному, то аналогичным способом от точки можно построить вторую ломаную линию и т. д.

Рис. 8.7.Построение двух линий скольжения, Рис. 8.8.Семейства линий скольжения

проходящих через точку а и

В точке линии пересекаются под прямым углом. Понятно, что эти линии можно продолжить и по другую сторону от точки .

При неограниченном увеличении числа точек а и точек а' ло­маные линии превратятся в плавные кривые ос и р (рис.8.8), пред­ставляющие собой траектории главных касатель­ных напряжений или линий скольжения.

Из каждой точки а и а' (рис.8.7) данной пары линий сколь­жения можно начать построение других линий скольжения. В ре­зультате получим ортогональную сетку (поле) линий скольжения (рис.8.8), в общем случае криволинейную из двух семейств линий и . Точки пересечения линий скольжения двух семейств назы­вают узловыми точками (точка а на рис.8.8).

Из рассуждений, на основании которых показана возможность построения поля линий скольжения, явствует, что для разных на­пряженных состояний поля линий скольжения различны и каж­дому определенному напряженному состоянию соответствует опре­деленное поле линий скольжения.

Касательные к каждой из двух линий скольжения в любой точке совпадают с направлением главных касательных напряжений и пересекают ось х под какими-то углами и (рис.8.9), плавно изменяющимися при переходе от одной точки к соседней.

Так же как сетку линий скольжения, можно построить ортого­нальную сетку траекторий главных напряжений. Эти траектории пересекают линии скольжения под углом . Траектории главных напряжений и , проходящие через точку а, показаны на рис.8.9. Касательные к ним являются главными осями 1 и 3, кото­рые пересекают ось х соответственно под углами и .

Из рис. 8.9 следует, что для линий скольжения соответственно семейств и

, (8.24)

где .

Рис. 8.9. Линии скольжения и и троектории главных нормальных напряжений и

Уравнения (8.24) представляют собой дифференциальные урав­нения линий скольжения. Линии скольжения реально отобра­жаются в деформируемом теле в виде линий Людерса—Чернова.

Выпишем теперь формулы (3.48), выражающие компоненты напряжений при плоском деформированном состоянии в функции угла , т. е. угла между произвольной осью х и главной осью1:

;

Заменим в этих выражениях угол углом , одновременно уч­тем, что при плоской пластической деформации по уравнению (6.17а) .

В результате получим

(8.25)

Заметим, что выражения (8.25) обладают тем свойством, что они тождественно удовлетворяют условию пластичности (6.17):

Действительно, подставляя уравнения (8.25) в (6.17), получим

.

Следовательно, в дальнейшем при оперировании выражениями (8.25) можно не обращаться к условию пластичности, поскольку последнее будет удовлетворяться при любом значении . Подста­вив значения напряжений из (8.25) в дифференциальные уравне­ния равновесия (8.1)

получим

- (8.26)

.Перейдем в уравнениях (8.26) к криволинейной системе коор­динат и , где в качестве координатной сетки примем сетку линий скольжения.

Поскольку сетка линий скольжения является вполне законо­мерной, постольку можно рассматривать, например, линии О' и О' (рис.8.10) как начальные или нулевые (криволинейные оси) и по отношению к ним определять положение на сетке любой точки а координатами аир взамен координат х и z. Ясно, что декартовы координаты и криволинейные будут функционально связаны между собой.

Рис. 8.10. Схема для перехода к криволинейной системе координат

Как во всякой системе координат, в рассматриваемом случае при перемещении точки а вдоль одной из координатных линий, например, вдоль линии (в положении и далее), ее коорди­ната останется постоянной; при перемещении же точки вдоль линии (в положение и далее) постоянной останется коорди­ната .

Поместим теперь начало координат О системы в произволь­ную точку а пересечения двух линий скольжения и направим оси х и z по касательным х' и z' к паре линий скольжения, пересекаю­щихся в данной точке. Уравнения (8.25), а следовательно, и (8.26) при этом останутся в силе, так как при выводе уравнения (8.25) направления осей принимались произвольными.

В бесконечно малой окрестности точки а элементы дуг системы , можно считать совпадающими с касательными, по которым направлены новые оси х', z', и, следовательно, можно принять

Угол же теперь равен нулю в силу совпадения осей с каса­тельными к линиям скольжения. Однако и в нуль не обратятся, так как угол изменяется вдоль криволинейных коор­динатных направлений. Учтя сказанное и заменяя в уравнении (8.26) производные по x; z производными по , , получим

(8.27)

Поскольку точка а при выводе (8.27) являлась произвольной, постольку эти уравнения будут действительны для любой точки.

Таким образом, от координат х, z в (8.26) мы перешли к новым координатам , . Уравнения (8.27) являются также дифферен­циальными уравнениями равновесия и притом удовлетворяющими условию пластичности.

Интегрируя уравнения (8.27), первое по , второе по , полу­чим

(a)

. (б)

В приведенное выше решение следует внести корректив, по­скольку мы интегрировали уравнения в частных производных. Дело в том, что при дифференцировании по одной переменной функция другой принимается за постоянную и производная ее обращается в нуль. Следовательно, уравнение (а) может содержать какую-то функцию от , производная которой обратилась в нуль в первом уравнении (8.27). Это обстоятельство надо учесть, заменяя в уравнении (а) произвольную постоянную произвольной функ­цией от . То же относится к уравнению (б), где постоянную С₂ необходимо заменить произвольной функцией от .

В качестве произвольных функций от и примем соответ­ственно

и

Тогда уравнения (а) и (б) можно написать в окончательной фор­ме

(по линии ); (8.28,а)

(по линии ). (8.28,б)

Уравнения (8.28) носят название интегра­лов Генки.

Произвольные функции и имеют постоянные значения при перемещении точки вдоль одной и той же линии скольжения соответственно системы и системы и изменяются при переходе от одной линии скольжения к другой.

Если бы линии скольжения , были нам всегда известны, то интегралы Генки представляли бы общее решение задачи о плоской деформации при отсутствии упрочнения.

Пусть в какой-либо точке М данной линии скольжения напря­жение и , а в другой точке N той же линии и .

Подставляя эти данные, например, в первое уравнение системы (8.28), получим

Но так как при перемещении точки вдоль одной и той же ли­нии скольжения произвольная функция не изменяется, то

;

соответственно другое уравнение даст

.

Объединяя и несколько преобразовывая последние уравнения, получим

(8.29)

а обозначая через , где представляет собой угол поворота линии скольжения при переходе от точки М к точкеN, имеем

(8.30)

Уравнение (8.30) показывает, что изменение _ср пропорцио­нально углу поворота линии скольжения, а коэффициентом пропор­циональности является величина 2k.

Выражения (8.28)—(8.30) имеют существенное значение. Дей­ствительно, если дана линия скольжения, а также известно на­пряжение в одной ее точке (например, из граничных условий), то уравнения (8.28)—(8.30) позволяют легко определить среднее напряжение в любой другой ее точке. Если же известно поле линий скольжения и напряжение в какой-либо одной узловой точке, то, переходя от одной узловой точки к другой, нетрудно установить распределение средних напряжений по всему полю. Зная же сред­ние напряжения и углы , легко определить и компоненты на­пряжений , и , используя систему уравнений (8.25), что и будет показано дальше.

Если некоторый отрезок линии скольжения прямой, то напря­женное состояние не изменяется при движении вдоль этого отрезка. Если в некоторой области прямолинейны оба семейства линий скольжения, то напряженное состояние в этой области будет одно­родным, и, наоборот, при однородном напряженном состоянии поле линий скольжения представляет собой сетку ортогональных прямых.

Свойства линий скольжения

Выделим в поле линий скольжения произвольный криволи­нейный четырехугольник MNQP (рис.8.11), ограниченный двумя линиями скольжения MN и PQ системы и двумя линиями MP и NQ системы . Учитывая, что разность средних напряжений в двух точках не может зависеть от того, с помощью каких промежуточ­ных точек N и Р она вычислена, на основании уравнений (6.16) можно написать

Рис. 8.11.Произвольный криволинейный четырех- Рис. 8.12.Схема семейства линий

угольник, ограниченный системами и скольжения

а также

Из этих двух уравнений получим

(8.31)

где — угол между двумя касательными линиями MN и PQ си­стемы в точках пересечения каждой из них одной и той же линией системы (рис.8.11). Аналогичным способом можно получить та­кой же результат для любой пары линий другого семейства.

Таким образом, угол между касательными к двум линиям сколь­жения одного семейства

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: