ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ

А. Осадка призматического бруса между плоскими шероховатыми плитами

(плоская задача в прямоугольных координатах)

Рассматривая этот вопрос как случай плоского деформированного состоя­ния, т. е. принимая длину бруса I = const, поместим начало прямоугольной системы координат XY в центре поперечного сечения осаживаемого бруса (рис.8.1)

Рис.8.1. Схема напряжений при осадке призматического

Бруса между плоскими параллельными плитами

Легко видеть, что знак касательных напряжений на противоположных контакт­ных плоскостях обратный и при изменении координаты у от до касательные напряжения изменяются от 0 до , т. е. до значения касательных напряжений на котактной плоскости.

Допустим, что напряжение не зависит от координаты. и, следовательно,

Тогда, взяв из системы дифференциальных уравнений равновесия для плоской задачи

­

(8.1)

лишь одно первое уравнение и проинтегрировав его по у в пределах от до ,

имеем

Учитывая, что не зависит от у, получим

Откуда, принимая, что изменяется по координате у от значения на контакте с инструментом до на оси ,после интегрирования получим следующее при­ближенное уравнение равновесия:

(8.2)

Отметим, что здесь при интегрировании мы не задавались законом рас­пределения касательных напряжений по высоте бруса, а лишь утверждали, что касательные напряжения изменяются от нуля на оси X (т. е. при у = 0)

до максимума на контактных плоскостях, т. е. при . Однако урав­нение

(8.2) можно сразу же получить из первого уравнения (8.1), если допустить линейный закон распределения касательных напряжений по высоте бруса, т. е. положить

Б. Осадка клиновидной поковки под плоскими наклонными шероховатыми плитами (плоская задача в полярных координатах)

Рассматривая эту задачу в полярных координатах как случай плоской деформации (т. е. принимая длину ребра клина = const), поместим начало координат в вершине клина (рис.8.2). Допускаем, что угол мал и что нор-

Рис. 8.2.Схема напряжений при осадке клиновидной поковки под

Плоскими плитами

мальные напряжения зависят только от и не зависят от . Замечаем также, что и в этом случае касательные напряжения , имея на контактных плоскостях максимальные значения , переходят через нулевое значение на продольной геометрической оси поковки.

Для вывода приближенного уравнения равновесия из системы уравнений равновесия для плоской задачи в полярных координатах

(8.3)

воспользуемся первым уравнением и проинтегрируем его по в пределах от 0 до с учетом сделанных предположений:

откуда, выполняя интегрирование и подставляя пределы интеграции, нахо­дим следующее приближенное уравнение для плоской задачи в полярных координатах:

(8.4)

Так же, как и в предыдущем случае, это уравнение может быть получено из первого уравнения (8. 3) подстановкой значения

вытекающего из допущения о линейном распределении касательных напряжений по толщине поковки.

В. Осадка цилиндрической поковки под плоскими шероховатыми плитами

(осесимметричная задача)

Рассматривая эту задачу как случай осесимметричной деформации в цилиндрических координатах , , поместим начало координат в геомет­рическом центре поковки (рис.8.3). Касательные напряжения изменяются

Рис.8.3. Схема напряжений при осадке цилиндрической поковки

Под плоскими плитами

от нуля на горизонтальной плоскости сечения поковки, проходящей через ее центр, до максимального значения на контактных плоскостях. Тогда, делая допущение о независимости нормальных напряжений от координаты , берем первое уравнение из системы дифференциальных уравнений равновесия для осесимметричной задачи

, (8.5)

и интегрируем его по z в пределах от 0 до ; имеем

Выполняя интегрирование, подставляя значения пределов и произведя необходимые преобразования, имеем следующее приближенное уравнение равновесия для осесимметричной задачи в цилиндрических координатах:

(8.6)

Этот же результат можно получить, подставив в первое из уравнений (8.5) значение , т.е. допустив линейный закон изменения касательных напряжений по высоте поковки.

Необходимо отметить, что относительно нормальных напряжений на «активной» контактной поверхности (в данном случае плоскости, через которую передается деформирующее усилие) уравнения (8. 2), (8. 4) и (8. 6) по существу являются не приближенными, а лишь ограниченными (поскольку определяются напряжения только на контактных плоскостях, т. е. при постоянном значении одной из координат) [40]. Как мы покажем в дальнейшем, решение этих уравнений для частных случаев закономерностей касательных напряжений весьма точно сходится с решениями уравнений (8. 1), (8. 3) и (8. 5), которые в дальнейшем в целях противопоставления уравнениям (8. 2), (8. 4) и (8. 6) мы будем называть «точными».

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: