График функции называется синусоидой.

1. D(f)=(-∞;+∞).

2. E(f)=[-1;1].

3. «x=π/2+πk; kÎZ.

4. (чётная функция); график симметричен относительно оси ординат.

5.

Основной период Т=2π; .

Т.к. функция чётная и периодическая, то достаточно исследовать функцию на интервале [0;π].

6.Если х возрастает от 0 до π, то функция убывает от 1 до -1.

7.min y=-1; «x=-π+2πk; kÎZ;

max y=1; «x=2πk; kÎZ.

График функции называется косинусоидой.

§5.Функция y=tg x.

Исследование:

y=tg x «у= .

1. D(f): «x≠π/2 +πk, kÎZ.

Прямые х=π/2 +πк, кÎZ-вертикальные асимптоты.

2. E(f)=(-∞;+∞).

3. tgx=0« «x=𝛑k; kÎZ.

4. tg(-x)=-tgx®нечётная функция.

5. Периодическая, основной период Т=𝛑.

tg(x±𝛑)=tgx.

6. На интервале (-π/2;π/2) функция возрастает от -∞ до +∞.

Экстремумов нет.

График функции называется тангенсоидой.

§6. Функция у=ctg x.

Исследование:

y=ctg x«y= .

1. D(f): «x≠𝛑k; kÎZ; прямые х=𝛑к, кÎZ- вертикальныеасимптоты.

2. E(f)=(- ∞;+∞).

3. ctg x=0« «x=π/2 +πk; kÎZ.

4. ctg(-x)=-ctg x®нечётная функция.

5. Периодическая, основной период Т=𝛑.

сtg(x±𝛑)=сtgx.

6. На интервале (0;π) функция убывает от +∞ до -∞.

Экстремумов нет.

График функции называется котангенсоидой.

§7. Функция y=arcsin x.

Определение:

arcsin a=𝛂 (угол)«

Рассмотрим функцию у= на интервале [-π/2; π/2].

Все условия существования обратной функции выполнены.

Действительно, если f(x)= , то:

1.D(f)=[-π/2;π/2].

Возрастает и непрерывна.

4.Формула обратной функции:

f^-1: x= .

y=

Исследование:

1.Область определения:[-1;1].

2.Множество значений: [-π/2;π/2].

3.arcsin x=0«x= «x=0

4.arcsin(-x)=-arcsin x® нечётная функция.

5.Если х возрастает от -1 до +1, то функция возрастает от – до .

Экстремумов нет.

=x

-

§8. Функция у=arсcos x.

Определение:

arсcos a=𝛂 (угол) «

Рассмотрим функцию у= на интервале [0;π].

Все условия существования обратной функции выполнены.

y=

4.Формула обратной функции:

f^-1: x=arсcos y

X«y

y=arсcos x.

Исследование:

1.Область определения функции: [-1;1].

2.Множество значений функции:[0;π].

3.arccos x=0 «x=

Функция общего вида.

Справедлива формула: arсcos(-x)=𝛑- arccos x

5.Если х возрастает от -1 до 1, то функция убывает от π до 0.

Экстремумов нет

§9. Функция у=arctg x.

Определение:

arctg a=𝛂 (угол)«

Рассмотрим функцию у=tg x на интервале (- .

Все условия существования обратной функции выполнены.

Если f(x)=tgx (y=tg x), то:

1.D(f)=(- .

2.E(f)=(-∞;+∞);

прямые х=-π/2 и х=π/2- вертикальные асимптоты.

Возрастает и непрерывна.

х=

4.Формула обратной функции:

f^-1: x=arctgy.

X«y

y=arctg x.

Исследование:

1.Область определения: (-∞;+∞).

2.Множество значений функции: (- .

Прямые у=-π/2 и у=π/2-горизонтальные асимптоты.

3.arctgx=0«x=tg0«x=0.

4.arctg(-x)=-arctg x®нечётная функция.

5.С возрастанием х от -∞ до+∞ функция возрастает от –π/2 до +π/2.

§10.Функция у=arcctg x.

Определение:

arcctga=𝛂 (угол)«

Все условия существования обратной функции выполнены.

Если f(x)=ctg x (y=ctg x), то:

1.D(f)=(0;π), прямые х=0 и х=π- вертикальные асимптоты.

2.E(f)=(-∞;+∞).

Убывает и непрерывна.

4.Формула обратной функции:

f^-1: x=arcctg x.

X«y

y=arcctg x.

Исследование:

1.Область определения функции: (-∞;+∞).

2.Множество значений функции:(0;π);

прямые у=0 и у=π-горизонтальные асимптоты.

3.Корней нет, т.к. у≠0; у(0)=π/2.

Функция общего вида.

Справедлива формула: arcctg(-x)=π- arcctg x.

5.Если х возрастает от -∞ до +∞, то функция убывает от π до 0.

Решение примеров.

Пример1

Найти область определения следующих функций

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

Решения

1)

Заметим, что:

Область определения функции:

« «

≤x< n; nÎZ.

Ответ: {( ; ),nÎZ}

2)

Заметим, что

Область определения:

Ответ:

3)

Заметим, что:

Тогда:

Область определения функции:

-

Ответ:

4)

Область определения функции:

Пусть cos x = t,

Ответ:

5)

Область определения функции:

(область определения y = tg x)

Ответ:

6)

Область определения функции:

Ответ:

7)

Область определения функции:

(условие существования тангенса)

Ответ:

Пример 2.

Найти область определения следующих функций (самостоятельно)

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

Ответы: 1)D(y)={( 2)

3) 4)

5) 6)

7)

Пример 2.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: