Данная функция строго монотонна, а именно убывает.

Сделаем контрольную проверку.

Пусть х₁=2® f(2)=-1; x₂=1®f(1)=6.

x₁>x₂®f(x₁)<f(x₂)®функция убывает.

Следовательно, существует обратная функция, при этом

E(f^-1)=D(f)=(-∞; ]

Ответ: (-∞; ]

Пример 13 (самостоятельно).

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= .

Ответ: (-∞;- )∪(- ;+∞).

Пример 14 (самостоятельно).

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= .

Ответ: (-∞; ).

Пример 15.

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= -4.

Ответ: (-∞;5,5].

Пример 16 (самостоятельно).

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= -5.

Ответ: (-∞;+∞).

Пример 17.

Дано: у= -2.

Найти: 1)обратную функцию;2) построить графики функций f(x)и f^-1(x).

Решение:

1.Построим график функции у= -2 (можно использовать преобразования графиков: (1) у= ; (2) у= -2).

2.D(f)=(-∞;+∞)

3.E(f)=(-2;+∞); у=-2-горизонтальная асимптота.

Функция непрерывная и строго возрастает

Существует обратная функция.

Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.

у= -2«3^х+1=у+2«х+1= «х= 1 (f^-1)

6.Для построения графика обратной функции в старой системе координат поменяем местами переменные:х«у: у= -1 (f^—1).

7.D(f^-1)=E(f)=(-2;+∞); х=-2-вертикальная асимптота.

8.E(f^-1)=D(f)=(-∞;+∞).

9.f^-1 возрастает и непрерывна.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х.

Пример 18.

Дано: y= +2

Найти: 1)обратную функцию;2) построить графики функций f(x)и f^-1(x).

Решение:

2.D(f)=(1;+∞); x=1-вертикальная асимптота.

3.E(f)=(-∞;+∞).

Функция непрерывна и строго убывает.

Существует обратная функция.

Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.

y= +2« =у-2«х-1= «х=( +1.

Для построения графика обратной функции в старой системе

координат поменяем местами переменные:х«у =( +1 (f^-1)

7.D(f^-1)=E(f)=(-∞;+∞).

8.E(f^-1)=D(f)=(1;+∞); y=1-горизонтальная асимптота.

Функция непрерывна и убывает.

Пример 19.

Дано:

у=х²-7х+12.

Определить интервалы монотонности и на каждом интервале найти обратную функцию.

Построить графики.

Решение:

у=х²-7х+12«у=(х-3,5)²-0,25-это парабола.

ü х=3,5- ось симметрии

ü (3,5;-0,25)-вершина параболы

ü корни: х₁=3; х₂=4.

ü у(0)=12.

Имеем два интервала монотонности.

N	f1	f2
	D(f1)=(-∞;3,5]	D(f2)=[3,5;+∞)
	E(f1)=[0,25;+∞)	E(f2)=[0,25;+∞)
	Функция убывает	Функция возрастает
	Формула обратной функции: (х-3,5)2=у+0,25« |х-3,5|= « Х-3,5=- « Х=3.5-	Формула обратной функции: (х-3,5)2=у+0,25« |х-3,5|= « Х-3,5= « Х=3.5+
	x«y f1-1: y=3,5-	x«y f2-1: y=3,5+
	D(f1-1)=E(f1)=[0,25;+∞)	D(f2-1)=E(f2)=[0,25;+∞)
	E(f1-1)=D(f1)=(-∞;3,5]	E(f2-1)=D(f2)=[3,5;+∞)
	f1-1(x) убывает	f2-1(x)-возрастает
	f1-1 f1	f2-1 f2

Замечание:

Обратите внимание, что f₁=f₂= х²-7х+12.

Но обратные функции имеют различные формулы задания.

Но, если построить графики обратных функций в одной системе координат, то получим тоже параболу, которую задают уравнением:

(у-3,5)²=х+0,25.

Пример 19.

Дано:

у=

Определить интервалы монотонности и на каждом интервале найти обратную функцию.

Построить графики.

Решение:

Данная функция задаётся объединением двух формул, если раскрыть знак модуля.

у= .

Схема графика:

Имеем два интервала монотонности.

N	f1(x)=	f2(x)=
	D(f1)=(-∞;1]	D(f2)=[1;+∞)
	E(f1)=[-4;+∞)	E(f2)=[-4;+∞)
	Функция убывает	Функция возрастает
	Формула обратной функции: У= « 21-х=у+4« 1-х= « Х=1-	Формула обратной функции: У= « 2х-1=у+4« Х-1= « Х=1+
	х«у f1-1: y=1-	х«у f2-1: y=1+
	D(f1-1)=E(f1)=[-4;+∞)	D(f2-1)=E(f2)=[-4;+∞)
	E(f1-1)=D(f1)=(-∞;1]	E(f2-1)=D(f2)=[1;+∞)
	f1-1(x)-убывает	f2-1(x)-возрастает
	f1-1 f1 х=1 у=х -4 -4	f2-1 f2 -4 -4 x=1 y=x

Пример 20.

Имеем ломаную и три интервала монотонности.

D(f₁)=[-3;0]; проходит через точку (-3;0) с угловым

коэффициентом к₁=1/3

Уравнение прямой ищем в виде: у=к₁(х-х₀)+у₀®у=1/3(х+3).

коэффициентом к₂=-1

D(f₃)=[2;5]; проходит через две точки М₁(2;-1) и М₂(5;4).

Уравнение прямой ищем в виде: ® «

5(х-2)=3(у+1)«у= х- .

Окончательно получаем объединённую формулу задания данной функции.

f(x)=

Далее на каждом интервале монотонности определим обратную функцию и проведём полное исследование.

Обратите внимание, что нельзя найти единой обратной функции, но можно определить обратную функцию на выбранном участке монотонности.

N	f1(x)=	f2(x)=-x+1	f3(x)=
	D(f1)=[-3;0]	D(f2)=[0;2]	D(f3)=[2;5]
	E(f1)=[0;1]	E(f2)=[-1;1]	E(f3)=[-1;4]
	Возрастает	Убывает	Возрастает
	Формула обратной функции У= Х=3у-3	Формула обратной функции У=-х+1 Х=-у+1	Формула обратной функции У= Х=
	x«y f1-1(x)=	x«y f2-1(x)=-x+1	x«y f3-1(x)=
	D(f1-1)=E(f1)=[0;1]	D(f2-1)=E(f2)=[-1;1]	D(f3-1)=E(f3)=[-1;4]
	E(f1-1)=D(f1)=[-3;0]	E(f2-1)=D(f2)=[0;2]	E(f3-1)=D(f3)=[2;5]
	f1-1(x) возрастает	f2-1(x) убывает	f3-1(x) возрастает
	f1-1 f1 -3 -3 у=х	f2 f2-1 -1 y=x -1	y=x f3 f3-1 -1 -1

Пример 21.

Дано:

у=|х-1|+2|х+3|-2х+1.

Построить график данной функции и определить интервалы монотонности.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: