На каждом интервале монотонности найти обратную функцию.

Решение:

Раскроем знак модуля и получим задание данной функции как объединение формул:

у=

у=

Строим график данной функции и определяем интервалы монотонности.

N	f1(x)=-5x-4	f2(x)=-x-8	f3(x)=x+6
	D(f1)=(-∞;-3]	D(f2)=[-3;1]	D(f3)=[1;+∞)
	E(f1)=[11;+∞)	E(f2)=[7;11]	E(f3)=[7;+∞)
	убывает	Убывает	Возрастает
	Формула обратной функции У=-5х-4« Х=-	Формула обратной функции У=-х-8« Х=-у+8	Формула обратной функции У=х+6« Х=у-6
	х«у f1-1(x)=-	х«у f2-1(x)=-х+8	х«у f3-1(x)=х-6
	D(f1-1)=E(f1)=[11;+∞)	D(f2-1)=E(f2)=[7;11]	D(f3-1)=E(f3)=[7;+∞)
	E(f1-1)=D(f1)=(-∞;-3]	E(f2-1)=D(f2)=[-3;1]	E(f3-1)=D(f3)=[1;+∞)
	f1-1(x) убывает	f2-1(x) убывает	f3-1(x) возрастает
	f1-1 -3 f1 -3	f2-1 f2 -3 -3	f3-1 f3

Пример22 (творческое задание)

Задайте график ломаной.

Найдите аналитическое задание этой функции.

На каждом интервале монотонности найдите обратную функцию и проведите полное исследование.

Пример 23 (творческое задание)

Дано:

у=к₁|х-а|+к₂|х-b|+k₃x+c

1) Задайте параметры (к₁;к₂;к₃;a;b)

Постройте график данной функции.

На каждом интервале монотонности найдите обратную функцию.

Примечание:

Обратите внимание на задание функции:

Не должно быть участков, где функция постоянная.

В противном случае Вы не сможете найти обратную функцию.

Желаю успеха!

Глава 8. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их свойства.

Периодические функции и их свойства.

Определение:

Функция у=f(x), заданная на множестве X, называется периодической, если существует такое число L (L 0), что выполняются два условия:

1) ∀xÎX, x±LÎX;

2)∀xÎX; f(x±L)=f(x).

Число L называется периодом данной функции, а сама функция периодической.

Основные свойства периодических функций

1. Если L -период функции y=f(x), то функция имеет бесконечное множество периодов вида {kL}, k Z k 0

Другими словами, если L-период функции y=f(x), то числа: ±2L;±3L;…тоже периоды данной функции.

Действительно, пусть L -период функции y=f(x).

Покажем, что число 2L - тоже период этой функции.

∀xÎX, x±LÎX®x±2LÎX

f(x+2 L)=f((x+ L)+L)=f(x+L)=f(x)

f(x+2 L)=f(x)

Определение:

Наименьшее положительное число из множества всех периодов называется основным периодом, который мы будем обозначать Т.

Напомним основные периоды для тригонометрических функций:

1) y=sin x, T=2π (sin(x±2π)=sin x)

2) y=cosx, T=2π (cos(x 2π)=cos x)

3) y=tgx, T=π (tg(x π)=tgx)

4) y=ctgx, T=π (ctg(x π)=ctgx)

При построении графика периодической функции можно сначала построить график на интервале длины T, а затем периодически продолжить график на всю числовую ось.

Замечание: Если y=f(x) – чётная, то строим график на интервале [0; ]

Затем чётным образом на интервале [- ; 0].

Аналогично для нечётной функции, только на интервале [- ; 0] – нечётное продолжение.

3. Если функция y=f(x) имеет период Т, то функция y=Аf(kx+b)+ B имеет период

(А, В, k, b) – постоянные)

4. Если функция f₁(x) имеет период Т₁, функция f₂(x) имеет период Т_2, то функция y=Аf₁(x)+ B f₂(x) тоже периодическая с периодом T.

Для нахождения T используем соотношение: kТ₁₌nТ₂ (k,n N)

= = - несократимая дробь

Тогда, Т= Т_{1 (}или Т= Т₂ )

Определение тригонометрических функций.

Рассмотрим окружность, заданную уравнением:

х²+у²=1; R=1.

(В дальнейшем будем называть эту окружность тригонометрической).

Пусть радиус-вектор при повороте на угол 𝛂 против часовой стрелки перейдёт в радиус-вектор

Пусть координаты точки М(х.; у).

Определение: R=1®

Ось (оу) называют осью синусов.

R=1®

Ось (ох) называют осью косинусов.

Таким образом, точка М на тригонометрической окружности имеет координаты М(

Замечание:

Аргументом синуса и косинуса является угол поворота 𝛂.

Если этот угол выражается в радианах, то значениями 𝛂 являются действительные числа.

Напомним, что радиан (от лат radius) можно определить как центральный угол, который опирается на дугу, равную радиусу.

10= рад.≈0,017 рад. 1 рад.= ≈570

tg 𝛂= « tg 𝛂=

tgα=AB.

Прямая х=1 называется осью тангенсов.

ctg α= « ctgα=

Рассмотрим прямую у=1.

В-точка пересечения с прямой у=1.

Тогда =ctg𝛂, т.к. ОС=1® ctg 𝛂=CB.

Прямая у=1 называется осью котангенсов.

§3. Функция у= .

Исследование:

1. D(f)=(-∞;+∞).

2. E(f)=[-1;1].

3. «x=πk; kÎZ.

4. (нечётная функция); график симметричен относительно начала координат.

5.

Основной период Т=2π; .

Т.к. функция нечётная и периодическая, то достаточно исследовать функцию на интервале [0;π].

6.Если х возрастает от 0 доπ/2, то функция возрастает от 0 до 1.

Если х возрастает от π/2 до π, то функция убывает от 1до 0.

7.min y=-1; «x=-π/2 +2πk; kÎZ;

max y=1; «x=π/2 +2πk; kÎZ.

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: